In der Mathematik sind holomorphe Funktionen (von altgriechisch ὅλος holos „ganz, vollständig“ und μορφή morphē „Form, Gestalt“) komplexwertige Funktionen (Abbildungen von komplexen Zahlen in komplexe Zahlen), die in der Funktionentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, untersucht werden. Eine komplexwertige Funktion mit Definitionsbereich ${\displaystyle U}$ heißt holomorph, falls sie an jeder Stelle von ${\displaystyle U}$ komplex differenzierbar ist.

Die aus der Schulmathematik bekannten Rechenregeln zum Ableiten vormals reeller Funktionen gelten dabei weiterhin für komplexe Funktionen, obgleich der Holomorphiebegriff viel weitreichendere Konsequenzen nach sich zieht. Anschaulich bedeutet Holomorphie, dass sich die betroffene Funktion an jeder Stelle „fast“ wie eine aus mathematischer Sicht leicht zu verstehende (komplexwertige) lineare Funktion verhält. Erstmals eingeführt und studiert wurden holomorphe Funktionen im 19. Jahrhundert von Augustin-Louis Cauchy, Bernhard Riemann und Karl Weierstraß, obgleich sich die Terminologie der Holomorphie erst im 20. Jahrhundert flächendeckend durchsetzte. Besonders in älterer Literatur werden solche Funktionen auch „regulär“ genannt. Aufgrund ihrer breiten Anwendungsmöglichkeiten zählen sie zu den wichtigsten Funktionstypen innerhalb der Mathematik.

Durch die Möglichkeit der Linearisierung in jedem Punkt ihres Definitionsbereichs ${\displaystyle U}$ können für holomorphe Funktionen ${\displaystyle f\colon U\to \mathbb {C} }$, wobei ${\displaystyle \mathbb {C} }$ die Menge der komplexen Zahlen bezeichnet, sehr fruchtbare Resultate hervorgebracht werden. Anschaulich kann die mathematische Rechenvorschrift ${\displaystyle z\mapsto f(z)}$ in der Nähe jedes Wertes ${\displaystyle w}$ ihres Definitionsbereichs ${\displaystyle U}$ sehr gut durch die lineare Funktion ${\displaystyle z\mapsto f(w)+f'(w)(z-w)}$ angenähert werden. Die Annäherung ist dabei so gut, dass sie für die lokale Analyse der Funktion bzw. der Rechenvorschrift ausreicht. Das Symbol ${\displaystyle f'(w)}$ bezeichnet dabei die komplexe Ableitung von ${\displaystyle f}$ in ${\displaystyle w}$. Auch wenn diese Definition analog zur reellen Differenzierbarkeit ist, zeigt sich in der Funktionentheorie, dass die Holomorphie eine sehr starke Eigenschaft ist. Sie produziert eine Vielzahl von Phänomenen, die im Reellen kein Pendant besitzen. Beispielsweise ist jede holomorphe Funktion bereits beliebig oft differenzierbar und lässt sich lokal in jedem Punkt in eine Potenzreihe entwickeln. Das bedeutet, dass man die betreffende Funktion in ihrem Definitionsbereich lokal durch Polynome annähern kann, also unter Verwendung nur der vier Grundrechenarten, wobei zur Konstruktion dieser Polynome nur die Ableitungen der Funktion in einem einzigen Punkt, dem Entwicklungspunkt, benötigt werden. Besonders bei transzendenten holomorphen Funktionen, wie Exponentialfunktionen, trigonometrischen Funktionen (etwa Sinus und Kosinus) und Logarithmen, aber auch bei Wurzelfunktionen, ist dies eine sehr nützliche Eigenschaft, etwa dann, wenn man diese Funktionen und ihre Ableitungen im Entwicklungspunkt gut versteht. Dabei ist zu beachten, dass die genannten Funktionen natürliche Fortsetzungen von den reellen in die komplexen Zahlen besitzen.

Hintergrund der Begriffsstärke der Holomorphie ist, dass die Differenzierbarkeit im Komplexen auf einer offenen „Fläche“ statt nur einem offenen Intervall gelten muss. Dabei müssen beim Grenzübergang zum Differentialquotienten unendlich viele Richtungen (alle Kombinationen aus Nord, Ost, West und Süd) betrachtet werden – eine höhere Anforderung als nur die beiden Richtungen „positiv“ und „negativ“ auf dem reellen Zahlenstrahl. Im Laufe des 19. und 20. Jahrhunderts wurde darauf aufbauend im Rahmen der Funktionentheorie ein eigener Rechenkalkül für holomorphe Funktionen entwickelt. Während Begriffe wie Ableitung, Differenzenquotient und Integral weiterhin existieren, kommen zusätzliche Eigenschaften zum Tragen. Dies betrifft das Abbildungsverhalten holomorpher Funktionen, zusätzliche Techniken in der Integrationstheorie oder auch das Konvergenzverhalten von Funktionenfolgen.

In vielen Teilgebieten der Mathematik bedient man sich der starken Eigenschaften holomorpher Funktionen, um Probleme zu lösen. Beispiele sind die analytische Zahlentheorie, in der über holomorphe Funktionen auf Zahlen rückgeschlossen wird, sowie die komplexe Geometrie oder auch die theoretische Physik. Besonders im Rahmen der Theorie der Modulformen nehmen holomorphe Funktionen eine wichtige Position ein, wobei tiefe Verbindungen zur Darstellungstheorie und zu elliptischen Kurven aufgebaut werden können. Gleich zwei Millennium-Probleme der Mathematik, die Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer und die Riemannsche Vermutung, drehen sich um das Nullstellenverhalten gewisser holomorpher Funktionen.

Komplexe Zahlen erweitern den Bereich der reellen Zahlen durch Hinzunehmen sog. imaginärer Zahlen. Diese sollen die Eigenschaft haben, algebraische Gleichungen zu lösen, die im Reellen nicht lösbar sind. Ein Beispiel ist die quadratische Gleichung ${\displaystyle x^{2}+1=0}$. Sie hat keine reelle Lösung, da das Quadrat einer reellen Zahl stets nicht-negativ ist. Fügt man jedoch den reellen Zahlen eine imaginäre Zahl ${\displaystyle i}$ mit der Eigenschaft ${\displaystyle i^{2}=-1}$ hinzu, so kann die obige Gleichung gelöst werden.

Während die reellen Zahlen eine Zahlengerade aufspannen, breiten die komplexen Zahlen eine Ebene aus. Jede komplexe Zahl ${\displaystyle z}$ ist von der Form ${\displaystyle z=x+iy}$ mit reellen Zahlen ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$. Geht man ${\displaystyle x}$ Schritte in „reelle Richtung“ und ${\displaystyle y}$ Schritte in „imaginäre Richtung“, so wird die komplexe Zahl ${\displaystyle x+iy}$ mit dem Punkt ${\displaystyle (x,y)}$ in der Euklidischen Ebene identifiziert. Dabei wird ${\displaystyle x}$ als Realteil und ${\displaystyle y}$ als Imaginärteil von ${\displaystyle z}$ bezeichnet.

Eine wichtige Eigenschaft komplexer Zahlen ist, dass man mit ihnen, wie im Falle der reellen Zahlen, rechnen kann. Damit ist gemeint, dass Plus, Minus, Mal und Geteilt auch für komplexe Zahlen definiert ist. Um dies umzusetzen, ist lediglich das Beherrschen der reellen Rechenregeln sowie die Regel ${\displaystyle i^{2}=-1}$ vonnöten. Die Addition wird in Real- und Imaginärteil separat ausgeführt, also zum Beispiel ${\displaystyle (-3+2i)+(4+10i)=1+12i}$, und beim Multiplizieren müssen die Klammern verrechnet werden:

${\displaystyle (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i.}$

Dabei entsteht der Term ${\displaystyle -bd}$ beim Ausmultiplizieren aus dem Produkt ${\displaystyle bidi}$. Auch die Division ist möglich, etwa dadurch, den Nenner durch passendes Erweitern und die dritte binomische Formel reell zu machen:

${\displaystyle {\frac {1+i}{1-2i}}={\frac {(1+i)(1+2i)}{(1-2i)(1+2i)}}={\frac {-1+3i}{5}}=-{\frac {1}{5}}+{\frac {3}{5}}i.}$

Somit bilden auch die komplexen Zahlen eine Zahlenstruktur, in der algebraisch gerechnet werden kann. Man sagt auch, dass die Menge der komplexen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {C} }$, genau wie die reellen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {R} }$, einen Körper bilden.

Die Holomorphie ist eine Eigenschaft komplexer Funktionen. Dabei stellt eine Funktion ganz allgemein eine Beziehung zwischen zwei Mengen ${\displaystyle M}$ und ${\displaystyle N}$ über eine Abbildungsvorschrift her. Funktionen ${\displaystyle f\colon M\rightarrow N}$ müssen die Regel erfüllen, dass jedem Element aus ${\displaystyle M}$ genau ein Element in ${\displaystyle N}$ zugeordnet wird.

Einige Beispiele reeller Funktionen lassen sich direkt auf die komplexen Zahlen übertragen. Dazu zählt etwa die quadratische Funktion ${\displaystyle f(z)=z^{2}}$.

Reelle Funktionen induzieren Tabellendaten der Form ${\displaystyle (x,f(x))}$, wobei die Eingabewerte ${\displaystyle x}$ den Definitionsbereich von ${\displaystyle f}$ durchlaufen. Die Analogie zu einer Tabelle entsteht dadurch, dass Daten ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle f(x)}$ in Zeilen- oder Spaltenform zusammengestellt werden können. Es ist jedoch nicht möglich, alle Werte einer reellen Funktion in eine Tabelle einzutragen, da es zum Beispiel bereits nicht möglich ist, alle Werte ${\displaystyle 0<x<1}$ aufzulisten. Alle nicht leeren, echten Intervalle der reellen Zahlen sind überabzählbar. Daher ist die Darstellung einer reellen Funktion anhand eines Schaubildes üblich. Dabei macht man sich zunutze, dass der Definitionsbereich ein Teil eines Zahlenstrahles ist, ebenso der Wertebereich. Ergo sammeln sich die Informationen ${\displaystyle (x,f(x))}$ zu Punkten ${\displaystyle (x,y)}$ in einer zweidimensionalen Ebene. Hebt man diese in der Ebene hervor, bekommt man einen Überblick über das Verhalten einer reellen Funktion.

Für komplexe Funktionen ist die Situation anders. Hier ist bereits der Eingangsbereich eine Fläche. Von daher müsste ein Schaubild nach Art reeller Funktionen vierdimensional sein, was nicht verständlich darstellbar ist.^[1] Ein Weg, komplexe, insbesondere holomorphe, Funktionen darzustellen, bedient sich eines Farbschlüssels. Einer komplexen Zahl wird je nach „Himmelsrichtung“ eine Farbe zugeordnet, wobei der Ursprung, also die Null, den Orientierungspunkt bildet. Zusätzlich wird mit der Helligkeit des Farbtons die Größe im Sinne des Abstands zum Ursprung visualisiert. Dabei bedeutet „dunkel“ nahe bei Null, und „hell“ nahe bei „Unendlich“.

• 
  Der Farbschlüssel, gezeigt durch das Schaubild der Selbstabbildung ${\displaystyle z\mapsto z}$. In etwa stehen rötliche Farben für komplexe Zahlen, die annähernd positiv reell sind.
• 
  Schaubild der komplexen Quadratfunktion. Im Zentrum ist ihr Wert 0. Von dort aus nimmt sie links und rechts, also auf der reellen Achse, rote Werte an, denn Quadrate reeller Zahlen sind nie negativ. Von der Mitte startend nach Nord oder Süd ist Türkis präsent: Die Quadrate rein imaginärer Zahlen sind negativ.
• 
  Die komplexe Fortsetzung der Exponentialfunktion. Ihre Beträge werden mit wachsendem Realteil schnell größer, das Schaubild also heller, und für fallende Realteile kleiner, das Schaubild also dunkler. Parallel zur imaginären Achse des Eingabebereichs ist sie eine periodische Funktion.

Die Darstellung komplexer Funktionen durch Kolorierung ist besonders zur Hervorhebung von Null- oder Polstellen sowie anderer Singularitäten einer Funktion üblich.^[2] Die Software Wolfram Mathematica bietet seit Version 12 ein entsprechendes Werkzeug an.^[3]

Im Englischen trägt eine solche Art der Visualisierung die Bezeichnung domain coloring. Diese wurde von Frank Farris geprägt.^[4] Es gab viele frühere Verwendungen von Farbe zur Visualisierung komplexer Funktionen, typischerweise die Zuordnung von Argumenten (Phasen) zu Farbtönen.^[5] Larry Crone verwendete die Methode in den späten 1980er Jahren.^[6] Die Technik der Verwendung kontinuierlicher Farbe zur Abbildung von Punkten des Definitionsbereiches in die Zielmenge wurde 1999 von George Abdo und Paul Godfrey verwendet, und farbige Raster wurden in Grafiken von Doug Arnold benutzt, die er auf 1997 datiert.^[7] Menschen, die farbenblind sind, können jedoch Schwierigkeiten haben, solche Diagramme zu interpretieren, wenn sie mit Standard-Farbkarten erstellt werden.^[8] Dieses Problem kann möglicherweise durch die Erstellung alternativer Versionen unter Verwendung von Farbkarten behoben werden, die in den Farbraum passen, der für Menschen mit Farbenblindheit erkennbar ist. Zum Beispiel kann eine Farbkarte, die auf Blau/Grau/Gelb basiert, für Menschen mit vollständiger Deuteranopie besser lesbar sein als das herkömmliche Schaubild, das auf Blau/Grün/Rot basiert.^[9]

Da mit komplexen Zahlen im Wesentlichen genau wie mit reellen Zahlen gerechnet werden kann, stellt sich die Frage, inwieweit sich die reelle Analysis, mit Begriffen wie Funktionen, Ableitung oder auch Integral, auf die komplexen Zahlen ausweiten lässt.

Im Reellen ist eine Funktion ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ in einem Punkt ${\displaystyle a}$ differenzierbar, wenn sie dort linearisiert werden kann. Das bedeutet, dass sie sich um ${\displaystyle a}$ herum sehr ähnlich zu einer linearen Funktion ${\displaystyle x\mapsto m(x-a)+c}$ verhält. Es gilt also für sehr kleine Werte ${\displaystyle h}$ die Approximation ${\displaystyle f(a+h)\approx mh+c}$, wobei man mit ${\displaystyle h=0}$ auch ${\displaystyle c=f(a)}$ erhält. Um die Begriffe „Linearisierung“, „sehr ähnlich“ und „Approximation“ präzise zu fassen, bedient man sich des Konzepts des Grenzwertes. Demnach ist ${\displaystyle f}$ in ${\displaystyle a}$ genau dann differenzierbar, wenn der Differentialquotient

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}=f'(a)}$

existiert, der auch als Ableitung von ${\displaystyle f}$ an der Stelle ${\displaystyle a}$ bezeichnet wird. Da bei der Berechnung dieses Quotienten nur die Grundrechenarten Addition, Subtraktion und Division verwendet werden, stellt sich die Frage nach einem Analogon im Komplexen. Da die komplexen Zahlen diese Rechnungen auch zulassen, kann die Bedingung

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(z+h)-f(z)}{h}}=:f'(z)\,\,\,}$ existiert

eins zu eins übernommen werden. Der entscheidende Unterschied ist hier aber, dass bei der Berechnung des komplexen Differenzenquotienten das kleiner werdende ${\displaystyle h}$ eine komplexe Zahl sein kann. Es kann sich also aus jeder Richtung in der komplexen Ebene genähert werden. Im Gegensatz dazu sind im Reellen nur endlich viele, nämlich zwei, Richtungen möglich, von links (${\displaystyle h<0}$) und von rechts (${\displaystyle h>0}$).

Für das Verständnis der komplexen Differenzierbarkeit ist essentiell, den Definitionsbereich der komplexen Funktion auch geometrisch wahrzunehmen. Eingabewerte in die Funktion sind somit nicht bloß komplexe Zahlen, sondern auch Punkte einer Ebene. Auf dieser Ebene ist ein Abstandsbegriff definiert, also können Punkte „nah“ und „weit weg“ zu anderen Punkten liegen. Erst diese Vorstellung erlaubt die Formulierung des für die Differenzierbarkeit essentiellen Lokalitätsbegriffs: Eine in einem Punkt ${\displaystyle z}$ komplex differenzierbare Funktion sieht an Punkten sehr nahe zu ${\displaystyle z}$ einer linearen Funktion „sehr ähnlich“. Genau diese Aussage wird durch den Differentialquotienten analytisch präzisiert. Nach Umformung des Differentialquotienten erhält man

${\displaystyle f(z+h)\approx f'(z)h+f(z),}$

wobei der Fehler in dieser Annäherung „viel kleiner“ ist als der „kleine“ Wert ${\displaystyle h}$.

Ist eine komplexe Funktion ${\displaystyle f}$ in ihrem Definitionsbereich holomorph, bedeutet dies, dass sie in jedem Punkt komplex differenzierbar ist. Wegen der ohnehin restriktiveren Bedingung der komplexen (statt nur reellen) Differenzierbarkeit, gepaart mit deren Gültigkeit für alle Punkte auf einer Fläche statt nur eines Intervalls (einer Linie), ist die Holomorphie eine sehr starke Eigenschaft.

Ein zentrales Problem der Analysis besteht darin, „komplizierte“ Funktionen zu studieren. Dabei bedeutet „kompliziert“ zum Beispiel, dass die Rechenvorschrift nicht aus einer endlichen Abfolge aus Anwendungen der vier Grundrechenarten besteht. Eine in diesem Sinne „einfache“ Vorschrift wäre: Nimm die Eingangszahl mal Zwei, dann das Ergebnis plus Eins, multipliziere dies mit sich selbst, teile dann alles durch die Drei. In Kurzform: ${\displaystyle \textstyle z\mapsto {\frac {1}{3}}(2z+1)^{2}}$. Jedoch lassen sich sehr viele Phänomene in der Natur nicht so einfach beschreiben. Die Mathematik ist demnach bestrebt, Analyseverfahren nichttrivialer Funktionen zu entwickeln. Solche Verfahren kommen zum Beispiel dann zum Einsatz, wenn Änderungsraten bei Naturgesetzen oder Bilanzen in der Wirtschaft erstellt werden müssen. Eine Möglichkeit besteht darin, die Funktion zunächst sehr stark einzuschränken, also nur Eingabewerte aus einem sehr „kleinen“ Vorrat einzusetzen. Klein bedeutet in diesem Kontext, dass die betrachteten Eingabewerte sehr nahe beieinander liegen. Soll eine Funktion etwa um 0 herum studiert werden, würden Werte wie 0,000001 möglicherweise noch in Betracht gezogen, möglicherweise aber nicht mehr 1, geschweige denn 100. In diesem Kontext nennt man die 0 auch den Entwicklungspunkt. Phänomene wie die Holomorphie besagen nun, dass betroffene Funktionen in sehr kleinen Bereichen deutlich verständlicheren Funktionen sehr stark ähneln. Diese verständlicheren Funktionen sind Vorschriften, die sich nur aus den vier Grundrechenarten zusammensetzen. Hinter diesem Prinzip steckt eine gewisse Form der „Stetigkeit“: Wurde eine holomorphe Funktion im Punkt 0 gut verstanden, so lässt sich daraus schon auf ihr Verhalten in z. B. 0,000001 schließen, und das nur anhand der vier Grundrechenarten. Präziser wird die Annäherung über Polynome realisiert, also Ausdrücke wie ${\displaystyle z+2}$, ${\displaystyle z^{3}-4z^{2}+3z-1}$ und ganz allgemein

${\displaystyle a_{n}z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots +a_{0}.}$

Eine holomorphe Funktion kann also um jeden Wert ihres Definitionsbereichs durch Anwendung der Grundrechenarten entwickelt werden. Dabei ist zu beachten, dass es sich bei hinreichend „komplizierten“ Funktionen nur um eine Näherung handelt. Eine zentrale Eigenschaft der Holomorphie ist aber, dass für solche komplizierten Funktionen beliebig lange Polynomketten, also addierte ${\displaystyle z^{n}}$-Terme, zur Annäherung gefunden werden können. Je länger diese Terme sind, desto besser. Lässt man diesen Prozess gegen Unendlich streben, ist die Annäherung in den umliegenden Punkten perfekt, es herrscht also Gleichheit. In diesem Sinne sind also holomorphe Funktionen, zumindest lokal, gerade „unendlich lange Polynome“. Obwohl dabei unendlich viele Terme addiert werden, kann Konvergenz vorliegen, wenn das Funktionsargument nahe genug am Entwicklungspunkt liegt. Wählt man zum Beispiel den Entwicklungspunkt 0 und für die Koeffizienten die Dezimalstellen der Kreiszahl ${\displaystyle \pi }$, also

${\displaystyle f(z):=3+z+4z^{2}+z^{3}+5z^{4}+9z^{5}+2z^{6}+6z^{7}+\cdots ,}$

so gilt

${\displaystyle f\left({\frac {1}{10}}\right)=3+{\frac {1}{10}}+{\frac {4}{100}}+{\frac {1}{1000}}+{\frac {5}{10000}}+\cdots =3{,}1415926\dotsc =\pi .}$

Für Werte ${\displaystyle |z|<{\tfrac {1}{10}}}$ wird dann ${\displaystyle f(z)}$ „erst recht“ endlich sein. Dabei bezeichnet ${\displaystyle |z|}$ die Euklidische Länge der Zahl ${\displaystyle z}$ in der Ebene, was dem Abstand zum Punkt 0 entspricht. Diesem Gedanken folgend kann man zeigen, dass Potenzreihen entweder überall oder innerhalb von Kreisscheiben konvergieren. Dennoch kann es sein, dass im Falle der Potenzreihen nicht immer Holomorphie auf ganz ${\displaystyle \mathbb {C} }$ vorliegt. Ein Beispiel ist die Funktion ${\displaystyle f(z)={\tfrac {1}{1-z}}}$, die an der Stelle ${\displaystyle z=1}$ nicht komplex differenzierbar (ja nicht mal definiert) ist. Jedoch liegt Holomorphie im Bereich aller ${\displaystyle z}$ mit ${\displaystyle |z|<1}$ vor, und es gilt mit der geometrischen Reihe

${\displaystyle 1+z+z^{2}+z^{3}+z^{4}+z^{5}+\cdots ={\frac {1}{1-z}}.}$

Demnach ist Holomorphie stets zunächst nur eine lokale Eigenschaft.

Es folgen einige Beispiele für holomorphe Funktionen.

• Eine in der Schule behandelte Funktion, die sich im Allgemeinen nicht durch nur endlichfache Anwendung der vier Grundrechenarten berechnen lässt, ist der Sinus, also die Vorschrift ${\displaystyle z\mapsto \sin(z)}$. Hier wird die Vorschrift im Reellen zunächst nicht über eine Zahlenrechnung, sondern geometrisch erklärt. Zur Länge eines Kreisbogens soll die zugehörige gerade Strecke gefunden werden, die den Endpunkt des Bogens mit der Grundachse verbindet, analog beim Kosinus (siehe Bild). Alle betrachteten Strecken haben Längen, im Verhältnis zur Einheit dimensionslos, also entspricht dies einer Abbildung von Zahlen auf Zahlen. Krumme Kreislinien („komplizierte Strecken“) werden auf ungleich lange gerade Linien („einfache Strecken“) abgebildet, was vermuten lässt, dass sich diese Umrechnung nicht in einfacher Weise mit den vier Grundrechenarten darstellen lässt. Es zeigt sich jedoch, dass der Sinus eine holomorphe Funktion ist, weshalb eine Annäherung durch einfache Terme möglich ist. Es gilt zum Beispiel für sehr kleine Werte von ${\displaystyle z}$

${\displaystyle \sin(z)\approx z-{\frac {z^{3}}{6}}.}$

Dies entspricht einem „Studium“ der Sinusfunktion in oben erklärtem Sinne, da die komplizierte Sinusfunktion durch eine einfache Abbildung ${\displaystyle \textstyle z\mapsto z-{\frac {z^{3}}{6}}}$ angenähert wurde. Dabei war der Entwicklungspunkt 0, in der Tat ist wegen ${\displaystyle \sin(0)=0}$ die Annäherung hier perfekt, doch auch für umliegende Werte ist sie brauchbar. Es gilt zum Beispiel ${\displaystyle \sin(0{,}2)=0{,}1986693308\dots }$ und ${\displaystyle \textstyle 0{,}2-{\frac {0{,}2^{3}}{6}}=0{,}1986666\dots }$. Für eine exakte Berechnung erhält man für den Sinus

${\displaystyle \sin(z)=z-{\frac {z^{3}}{6}}+{\frac {z^{5}}{120}}-{\frac {z^{7}}{5040}}+{\frac {z^{9}}{362880}}-{\frac {z^{11}}{39916800}}+{\frac {z^{13}}{6227020800}}-{\frac {z^{15}}{1307674368000}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{(2n+1)!}},}$

wobei ${\displaystyle !}$ die Fakultät bezeichnet und ${\displaystyle \Sigma }$ das Summenzeichen. Die Formel erweitert sich auf alle komplexen Zahlen und setzt den Sinus dort als Funktion fort, wobei dort keine geometrische Interpretation über Dreiecke mehr zur Verfügung steht.

• Für das lokale Verständnis holomorpher Funktionen werden Polynome herangezogen, jedoch ist die Frage entscheidend, wie man auf die Koeffizienten dieser Polynome schließt, also auf die Zahlen vor den Termen ${\displaystyle z^{n}}$. Dafür werden die komplexen Ableitungen der Funktionen am Entwicklungspunkt benötigt. Genau gesagt gilt eine Formel, die in der Mathematik Taylorreihe genannt wird:

${\displaystyle f(z)=f(c)+f'(c)(z-c)+{\frac {f''(c)}{2}}(z-c)^{2}+{\frac {f'''(c)}{6}}(z-c)^{3}+\cdots }$

Hier ist ${\displaystyle z}$ eine Zahl, die nahe am Entwicklungspunkt ${\displaystyle c}$ liegen sollte. Dies lässt sich zum Beispiel an der Wurzelfunktion ${\displaystyle z\mapsto {\sqrt {z}}}$ demonstrieren, etwa um den Punkt ${\displaystyle c=25}$. Diese ist dort holomorph, man hat die Ableitungen ${\displaystyle \textstyle ({\sqrt {z}})'={\frac {1}{2{\sqrt {z}}}}}$ und ${\displaystyle \textstyle ({\sqrt {z}})''=-{\frac {1}{4{\sqrt {z}}^{3}}}}$. Also gilt mit der Taylor-Formel die Approximation

${\displaystyle {\sqrt {z}}\approx {\sqrt {25}}+{\frac {1}{2{\sqrt {25}}}}(z-25)-{\frac {1}{8\cdot {\sqrt {25}}^{3}}}(z-25)^{2}=5+{\frac {1}{10}}(z-25)-{\frac {1}{1000}}(z-25)^{2}}$

für komplexe Zahlen ${\displaystyle z}$, die nahe an ${\displaystyle 25}$ liegen. Der Ausdruck ${\displaystyle \textstyle 5+{\tfrac {1}{10}}(z-25)-{\tfrac {1}{1000}}(z-25)^{2}}$ auf der rechten Seite kann, wie oben, durch Anwendung nur der vier Grundrechenarten schnell berechnet werden. Er stimmt nach Einsetzen von ${\displaystyle z=25}$ exakt mit dem Funktionswert ${\displaystyle 5}$ überein, doch auch in der näheren Umgebung von ${\displaystyle 25}$ ist die Annäherung noch sehr genau. Man hat etwa

${\displaystyle {\sqrt {26}}\approx 5+{\frac {1}{10}}-{\frac {1}{1000}}=5{,}099}$

und es gilt für den exakten Wert ${\displaystyle {\sqrt {26}}=5{,}0990195\dots }$. Da Holomorphie eine Eigenschaft komplexer Funktionen ist, gilt die Annäherung auch für nicht-reelle Zahlen in der Nähe von 25. Für ${\displaystyle 25+0{,}4i}$ erhält man zum Beispiel ${\displaystyle 5{,}00016+0{,}04i}$ als Näherung für ${\displaystyle {\sqrt {25+0{,}4i}}}$, und es gilt rückwirkend ${\displaystyle (5{,}00016+0{,}04i)^{2}=25{,}0000000256+0{,}4000128i}$.

Die Stärke des Holomorphiebegriffs stützt sich auf folgende Säulen.

• Einfache Handhabung der Taylorpolynome: Durch die Eigenschaft einer holomorphen Funktion, durch Polynome, also Summen von Termen ${\displaystyle z^{n}}$, lokal beliebig gut angenähert werden zu können, ist das Betreiben von Analysis für diesen Funktionstyp besonders einfach. So können etwa sowohl Ableitungen als auch Stammfunktionen der einzelnen Ausdrücke ${\displaystyle z^{n}}$ schnell bestimmt werden. Weiß man, dass ${\displaystyle nz^{n-1}}$ die Ableitung von ${\displaystyle z^{n}}$ ist, so kann man aus ${\displaystyle 1+z+z^{2}+z^{3}+\cdots ={\frac {1}{1-z}}}$ bereits ${\displaystyle 1+2z+3z^{2}+4z^{3}+\cdots ={\frac {1}{(1-z)^{2}}}}$ folgern.

Dies ermöglicht es, komplizierte Ableitungen oder Stammfunktionen erneut durch Polynome anzunähern und lokal zu beschreiben.

• Jede Ableitung ist holomorph: Ist eine Funktion holomorph, so auch wieder ihre komplexe Ableitungsfunktion. Wie in einer Kettenreaktion kann gefolgert werden, dass jede holomorphe Funktion bereits unendlich oft komplex differenzierbar ist. Zu dieser Aussage gibt es im Reellen überhaupt keine Entsprechung. So gibt es etwa reelle Funktionen, die zweimal, aber nicht dreimal differenzierbar sind.
• Gleichmäßige Approximation: Die lokale Approximation durch die Polynome erfolgt nicht „willkürlich“, sondern gleichmäßig. Zum Beispiel soll eine holomorphe Funktion ${\displaystyle f}$ auf einer Kreisfläche inklusive Rand bis auf einen Fehler von ${\displaystyle 0{,}001}$ durch Polynome ${\displaystyle p}$ angenähert werden. Es soll also ${\displaystyle |f(z)-p(z)|<0{,}001}$ gelten. Nach Abbruch einer gewissen Schranke im Grad des Polynoms gilt dann für jeden Wert ${\displaystyle z}$ aus der Kreisfläche ${\displaystyle |f(z)-p(z)|<0{,}001}$. Die Annäherung vollzieht sich also nicht unkontrolliert, sondern breitet sich mit „gleicher Geschwindigkeit“ auf Flächen aus. Die untere Bildserie illustriert diese Gleichmäßigkeit bei der Approximation des Sinus um den Nullpunkt anhand seiner Taylorpolynome ${\displaystyle \textstyle p_{k}(z):=\sum _{n=0}^{k}{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{(2n+1)!}}.}$ Bereits im Fall ${\displaystyle p_{0}(z)}$ ist um die Null (schwarzer Punkt im Zentrum) eine lokale Ähnlichkeit zu sehen. Erkennbar ist dies an der Farbverteilung und Intensität, die um das Zentrum herum ${\displaystyle \sin(z)}$ (ganz linkes Bild) sehr ähnelt, etwa „gelb in Nord-Ost“.

• 
  Komplexer Graph der Sinusfunktion
• 
  ${\displaystyle p_{0}(z)=z}$
• 
  ${\displaystyle p_{1}(z)=z-{\tfrac {z^{3}}{6}}}$
• 
  ${\displaystyle p_{2}(z)=z-{\tfrac {z^{3}}{6}}+{\tfrac {z^{5}}{120}}}$

• 
  ${\displaystyle p_{3}(z)}$
• 
  ${\displaystyle p_{4}(z)}$
• 
  ${\displaystyle p_{5}(z)}$
• 
  ${\displaystyle p_{6}(z)}$

Zu beachten ist, dass der ausgesuchte Fehler immer größer als 0 sein muss und die Approximation in der Nähe des Entwicklungspunktes grundsätzlich besser ist. Diese Eigenschaft der gleichmäßigen Konvergenz ist in der Mathematik enorm nützlich. Sie erlaubt es zum Beispiel, dass es bei der Ausführung nichttrivialer Prozesse, wie Ableiten, Integrieren oder unendliches Summieren holomorpher Funktionen, die Reihenfolge vertauscht werden darf. Im Falle unendlich vieler Terme ist dies mathematisch nicht trivial. Beispielsweise erhält man unter Kenntnis der Stammfunktionen ${\displaystyle {\tfrac {z^{n+1}}{n+1}}}$ von ${\displaystyle z^{n}}$ für die Logarithmusfunktion ${\displaystyle \textstyle -\log(1-z)=\int \!{\frac {1}{1-z}}\,\mathrm {d} z}$:

${\displaystyle \int \!\left(1+z+z^{2}+z^{3}+z^{4}+\cdots \right)\,\mathrm {d} z=\int \!{\frac {1}{1-z}}\,\mathrm {d} z{\overset {(*)}{\implies }}z+{\frac {z^{2}}{2}}+{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{4}}{4}}+\cdots =-\log(1-z).}$

Aus der geometrischen Reihe kann also die Taylorreihe der Logarithmusfunktion in der Nähe von 1 bestimmt werden. In der Umformung ${\displaystyle (*)}$ wurde der Prozess „die Summe wird integriert“ durch „die integrierten Terme werden summiert“, ersetzt. Dies entspricht der Vertauschung ${\displaystyle \textstyle \int (1+z+z^{2}+\cdots )=\int 1+\int z+\int z^{2}+\cdots }$, was wegen der gleichmäßigen Konvergenz der Taylorreihe aber erlaubt ist.

• Wenige Daten reichen aus: Die Regel, dass zwei Punkte eine „Gerade“, also eine lineare Funktion ${\displaystyle z\mapsto az+b}$ eindeutig bestimmen, gilt auch im Komplexen. Weiter sind es drei Punkte für quadratische Funktionen, vier Punkte für kubische Funktionen, und so weiter. Da holomorphe Funktionen lokal wie „unendlich lange Polynome“ aussehen, besagt dies heuristisch, dass auch hier „verhältnismäßig wenige“ Funktionswerte ausreichen sollten, die Funktion eindeutig zu charakterisieren. Stimmen zwei holomorphe Funktionen auf einer Menge von Zahlen ${\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3},\dots ,z_{n},\dots }$ überein, die sich einer Zahl ${\displaystyle z_{\infty }}$ beliebig stark annähern, und gilt auch Gleichheit in ${\displaystyle z_{\infty }}$, dann sind diese schon lokal identisch. Sie sehen also um den Punkt ${\displaystyle z_{\infty }}$ herum absolut gleich aus. Die Bedingung der Übereinstimmung in unendlich vielen Zahlen wirkt zunächst schwach, es ist jedoch zu beachten, dass es möglich ist, diese Stellen wie ${\displaystyle 1,2,3,4,\dots }$ aufzulisten. Im Gegensatz dazu kann der Definitionsbereich einer holomorphen Funktion niemals aufgelistet werden, da es sich dabei um zu viele Zahlen handelt. Dazu müssen zwei verschiedene Unendlichkeitsstufen unterschieden werden, nämlich Abzählbarkeit und Überabzählbarkeit. Besonders in Definitionsbereichen, in denen es möglich ist, jeden Punkt durch einen Weg „zu Fuß zu erreichen“, ohne dabei die Fläche zu verlassen, entpuppt sich Holomorphie als sehr stark. Hier genügt die Kenntnis der Funktion in einem lokalen „Ballungsraum“ ${\displaystyle z_{1},z_{2},\dotsc \to z_{\infty }}$, um die Funktion im gesamten Bereich eindeutig zu charakterisieren. Würde eine Funktion etwa jedem Punkt des deutschen Festlandes – hier kann man zu Fuß jeden Ort von jedem Startpunkt aus erreichen, ohne Deutschland zu verlassen – einen komplexen Wert zuordnen, und wäre diese überall holomorph, so reichte die Kenntnis im Ballungsraum Hamburg aus, um ihr Verhalten in München oder Passau zu rekonstruieren, obwohl diese Orte weit weg liegen.

Bedeutsam sind holomorphe Funktionen auch in Anwendungen für reelle Integrale. Es lassen sich einige wichtige Integrale berechnen, ohne eine Stammfunktion angeben zu müssen. Dazu zählt zum Beispiel

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\!\mathrm {e} ^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t={\sqrt {\pi }}}$,

und es ist zu beachten, dass zu ${\displaystyle t\mapsto \mathrm {e} ^{-t^{2}}}$ keine geschlossene elementare Stammfunktion angegeben werden kann. Integrale wie das obige spielen eine Rolle in der Wahrscheinlichkeitstheorie, hier im Kontext mit der Gaußschen Normalverteilung.

In der Analysis, die sich mit Grenzwerten von Funktionen oder Zahlenfolgen beschäftigt, treten auch Reihen auf. Diese sind spezielle Folgen, und werden durch unendliche Summen ${\displaystyle a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots }$ ausgedrückt. Wenn die Summanden ${\displaystyle a_{n}}$ schnell genug klein werden, hat die betroffene Reihe einen Grenzwert. Ein Beispiel ist

${\displaystyle 1+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{10^{2}}}+{\frac {1}{10^{3}}}+{\frac {1}{10^{4}}}+\cdots =1+0{,}1+0{,}01+0{,}001+0{,}0001+\cdots =1{,}11111\ldots ={\frac {10}{9}}.}$

Mit holomorphen Funktionen können in manchen Fällen Grenzwerte weit komplizierterer Reihen bestimmt werden. Beispiele sind

${\displaystyle 1+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$ (siehe auch Basler Problem),

${\displaystyle 1+{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{3^{3}}}+{\frac {1}{4^{3}}}+{\frac {1}{5^{3}}}+\cdots ={\frac {7\pi ^{3}}{180}}-2\left({\frac {1}{\mathrm {e} ^{2\pi }-1}}+{\frac {1/8}{\mathrm {e} ^{4\pi }-1}}+{\frac {1/27}{\mathrm {e} ^{6\pi }-1}}+\cdots \right)}$ (siehe auch Apéry-Konstante),^[10]

aber auch Identitäten wie zum Beispiel die für alle ${\displaystyle x>0}$ gültige Transformation^[11]

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }\mathrm {e} ^{-\pi xn^{2}}=1+2\mathrm {e} ^{-\pi x}+2\mathrm {e} ^{-4\pi x}+2\mathrm {e} ^{-9\pi x}+\cdots ={\frac {1}{\sqrt {x}}}\left(1+2\mathrm {e} ^{-\pi /x}+2\mathrm {e} ^{-4\pi /x}+2\mathrm {e} ^{-9\pi /x}+\cdots \right)={\frac {1}{\sqrt {x}}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\mathrm {e} ^{-\pi n^{2}/x}.}$

Es bezeichnen dabei ${\displaystyle e}$ die Eulersche Zahl und ${\displaystyle \pi }$ die Kreiszahl. Die letzte Identität geht auf den Mathematiker Carl Gustav Jacobi zurück und hat weitreichende Konsequenzen in der Zahlentheorie. So lässt sich jede positive ganze Zahl als Summe von vier Quadratzahlen schreiben,^[12] zum Beispiel ist ${\displaystyle 78=8^{2}+3^{2}+2^{2}+1^{2}}$, siehe auch Satz von Jacobi.

Holomorphe Funktionen treten in der Zahlentheorie besonders dann in Erscheinung, wenn eine Folge von Zahlen studiert werden soll. Eine Folge ist wie eine Tabelle, wobei den Zahlen ${\displaystyle 0,1,2,3,4,\dots ,n,\dots }$ jeweils Zahlen ${\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},\dots ,a_{n},\dots }$ zugeordnet werden. Berühmte Beispiele für Folgen sind die Folge der Quadratzahlen ${\displaystyle 0,1,4,9,16,25,\dots }$, die Folge der Primzahlen ${\displaystyle 2,3,5,7,\dots }$ oder auch die Fibonacci-Folge ${\displaystyle 1,1,2,3,5,8,\dots }$ Möchte man eine Zahlenfolge ${\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},\dots }$ mit analytischen Mitteln, also holomorphen Funktionen, untersuchen, kann es helfen, die zugehörige Potenzreihe

${\displaystyle f(z)=a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+a_{3}z^{3}+\cdots +a_{n}z^{n}+\cdots }$

zu betrachten. Wie oben gesehen, handelt es sich dabei um eine um 0 holomorphe Funktion, zumindest dann, wenn die ${\displaystyle a_{n}}$ nicht zu schnell anwachsen. ${\displaystyle f}$ ist durch die ${\displaystyle a_{n}}$ eindeutig festgelegt, und umgekehrt. Das bedeutet, dass die erzeugte Funktion ${\displaystyle f}$ gewissermaßen charakteristisch für die Zahlenfolge ${\displaystyle a_{n}}$ ist, sie also Eigenschaften der Folge „kodieren“ sollte. Im Allgemeinen ist es jedoch schwer oder nahezu unmöglich, daraus exakte Informationen zu erhalten. Allerdings kann in einigen Fällen das Wachstumsverhalten der ${\displaystyle a_{n}}$ für größer werdende ${\displaystyle n}$ ermittelt werden.

Historisches Beispiel ist die Analyse der Partitionsfunktion ${\displaystyle p}$. Diese ordnet einer natürlichen Zahl die Anzahl der Möglichkeiten zu, diese als Summe kleinerer natürlicher Zahlen zu schreiben. Wegen

${\displaystyle {\begin{aligned}4&=4\\&=3+1\\&=2+2\\&=2+1+1\\&=1+1+1+1\end{aligned}}}$

gilt ${\displaystyle p(4)=5}$. Die Folge der Partitionen wächst schnell an. So gilt bereits ${\displaystyle p(100)=190\ 569\ 292}$ und

${\displaystyle p(1000)=24\ 061\ 467\ 864\ 032\ 622\ 473\ 692\ 149\ 727\ 991.}$

Lange Zeit galt ein „geschlossenes Verständnis“ dieser Folge als unerreichbar. Godfrey Harold Hardy und Srinivasa Ramanujan studierten intensiv die von den Partitionen (formal setzt man ${\displaystyle p(0)=1}$) erzeugte holomorphe Funktion

${\displaystyle P(z)=\sum _{n=0}^{\infty }p(n)z^{n}=1+z+2z^{2}+3z^{3}+5z^{4}+{\color {red}{7}}z^{\color {blue}{5}}+11z^{6}+15z^{7}+22z^{8}+\cdots }$

• 
  Die Zahl 5 (blau markiert in obiger Reihe) hat genau 7 Partitionen (rot markiert in obiger Reihe)
• 
  Allgemeinere schematische Übersicht der ersten Partitionen. Man vergleiche mit den ersten Koeffizienten der Potenzreihe ${\displaystyle P.}$
• 
  Komplexes Schaubild der Funktion ${\displaystyle P}$. Am Rand zeichnen sich Bereiche starken Wachstums ab. Diese können genutzt werden, auf die Natur der Koeffizienten ${\displaystyle p(n)}$ der Potenzreihe rückzuschließen

Für jede komplexe Zahl ${\displaystyle z}$ mit ${\displaystyle |z|<1}$ ist diese Reihe im Grenzwert endlich (siehe oberes Bild). Es ist keine holomorphe Fortsetzung in den Bereich ${\displaystyle |z|>1}$ möglich, dieser Bereich ist in Grau gehalten. Hardy und Ramanujan konnten das Verhalten der Funktion nahe an der Kreislinie mit Radius 1 und Mittelpunkt 0, wo also Konvergenz endet, detailliert beschreiben, und rekonstruierten aus ihren Analysen die asymptotische Schätzformel^[13]

${\displaystyle p(n)\approx {\frac {1}{4{\sqrt {3}}n}}\mathrm {e} ^{\pi {\sqrt {\frac {2n}{3}}}},}$

die prozentual immer genauer wird, wenn ${\displaystyle n}$ anwächst. Es bezeichnet dabei ${\displaystyle e^{x}}$ die natürliche Exponentialfunktion, ${\displaystyle \pi =3{,}14159\dots }$ die Kreiszahl und ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$ die Quadratwurzel von 3.

Viele Anwendungen machen sich die starken Eigenschaften holomorpher Funktionen zu Nutze. So kann zum Beispiel anhand logischer Argumente, die sich auf die grundlegenden Eigenschaften der Holomorphie gründen, bewiesen werden, dass jede in allen komplexen Zahlen holomorphe Funktion, die global beschränkt ist, bereits konstant sein muss. Interessanterweise ist die analoge Aussage im Reellen falsch. So ist zum Beispiel die Funktion ${\displaystyle x\mapsto {\tfrac {1}{x^{2}+1}}}$ in ganz ${\displaystyle \mathbb {R} }$ differenzierbar und außerdem beschränkt (da der Nenner niemals kleiner und der Zähler niemals größer als 1 wird), aber ganz offensichtlich keine konstante Funktion ${\displaystyle x\mapsto c}$. Für reelle Eingaben beschränkte Funktionen wie der Sinus, die überall komplex differenzierbar sind, müssen folglich durch Eingabe beliebiger komplexer Werte über alle Grenzen hinauswachsen. Es gilt zum Beispiel ${\displaystyle \sin(2+10i)=10014{,}30435528\ldots +4583{,}12202096\dots i.}$

Mit Hilfe dieser Aussage kann man logisch begründen, dass jede Gleichung der Form

${\displaystyle a_{n}z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots +a_{1}z+a_{0}=0}$

mit ${\displaystyle a_{n}\not =0}$ und ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, eine komplexe Lösung besitzt. Das Argument kann exemplarisch am Beispiel

${\displaystyle z^{4}-z^{3}+2z^{2}+17z+20=0}$

nachvollzogen werden. Die Funktion ${\displaystyle f(z)=z^{4}-z^{3}+2z^{2}+17z+20}$ ist, da sie ein Polynom ist, holomorph für alle komplexen Zahlen. Wegen der Quotientenregel ist auch ihr Kehrwert ${\displaystyle z\mapsto {\tfrac {1}{f(z)}}}$ komplex differenzierbar an Punkten ${\displaystyle z}$ mit ${\displaystyle f(z)\not =0}$, da sonst durch 0 geteilt wird. Geht man davon aus, dass die Gleichung ${\displaystyle z^{4}-z^{3}+2z^{2}+17z+20=0}$ nicht lösbar ist, so ist

${\displaystyle z\mapsto {\frac {1}{f(z)}}={\frac {1}{z^{4}-z^{3}+2z^{2}+17z+20}}}$

ebenfalls auf ganz ${\displaystyle \mathbb {C} }$ holomorph. Da ${\displaystyle f(z)}$ als Polynom aber in jeder Richtung für wachsende ${\displaystyle z}$ langfristig beliebig anwächst, kann man folgern, dass ${\displaystyle {\tfrac {1}{f(z)}}}$ beschränkt ist. Damit ist es als global holomorphe Funktion konstant. Das ist offenbar falsch, somit ist ein Widerspruch gefunden, und die Gleichung muss über den komplexen Zahlen lösbar sein.^[14]

Dieses Resultat wird auch als der Fundamentalsatz der Algebra bezeichnet.

Auch in der theoretischen Physik treten holomorphe Funktionen auf. Ein Anwendungsgebiet betrifft die sogenannte Stringtheorie. Der Ausgangsgedanke dieser Theorie entspringt der „klassischen“ Quantenfeldtheorie (QFT). In der QFT sind die grundlegenden Objekte Teilchen. Während sie sich durch den Raum ausbreiten und miteinander interagieren, beschreiben sie einen Graphen, der als Feynman-Diagramm bezeichnet wird. Diese Diagramme dienen also der Veranschaulichung von Wechselwirkungen zwischen Teilchen, die unsere bekannte Welt aufbauen. In der Stringtheorie sind die grundlegenden Objekte 1-dimensional (Linien bzw. Strings) und nicht 0-dimensional (Punkte bzw. Teilchen). Sie können sich durch den Raum ausbreiten und interagieren, genau wie Punktpartikel, aber anstatt einen Graphen aufzufächern, fächern sie eine Oberfläche auf.^[15] Diese Oberflächen können mit Hilfe der Theorie der Riemannschen Flächen beschrieben werden. Das sind zweidimensionale Strukturen im Raum, die lokal wie eine flache Ebene aussehen, deren Koordinaten sich also durch komplexe Zahlen ${\displaystyle x+iy}$ beschreiben lassen. Auf diesen Ebenen können holomorphe Funktionen definiert werden. Diese helfen dabei, alle möglichen Flächen eines Typs zu charakterisieren, wobei nur „geschlossene Flächen mit Henkeln“ interessant sind.

• 
  Eine Sphäre: Geschlecht 0, also ohne Löcher bzw. „Henkel“
• 
  Ein Torus: Geschlecht 1
• 
  Geschlecht 2
• 
  Geschlecht 3
• 
  Aus rein topologischer Sicht sieht jeder Torus gleich aus. Sogar eine stetige Umformung in eine Tasse ist möglich.
• 
  Veranschaulichung der Interaktion zweier Strings auf einem Torus

Obwohl etwa verschiedene Tori (Donuts), Flächen vom Geschlecht 1, aus Sicht der Topologie („Theorie der Formen“) nicht zu unterscheiden sind, können sie als Riemannsche Flächen aufgefasst in eine sehr große Schar verschiedener Klassen unterteilt werden. In diesem Sinne „ungleiche“ Riemannsche Flächen können allgemein durch sogenannte Moduli unterschieden werden. Anschaulich sind Moduli Parameter, in etwa Zahlen, die ohne Doppelungen alle Riemannschen Flächen eines Geschlechts bis auf „holomorphe Äquivalenz“ auflisten. Alle Riemannschen Flächen mit ihren zugehörigen Moduli zu konstruieren, ist ein schwieriges mathematisches Problem. Untersuchungen der Stringwechselwirkungen liefern jedoch deutliche Hinweise darauf, dass die sogenannten world-sheets (dt.: „Weltblätter“) der wechselwirkenden Strings genau diese Konstruktion wiedergeben.^[16] Bei world-sheets handelt es sich um Einbettungen von Strings in die Raumzeit.

Die Redeweise „holomorph in (einer offenen Menge) ${\displaystyle U}$“ für „komplex differenzierbar in allen Punkten in ${\displaystyle U}$“ hat sich in der deutschen Literatur erst in den letzten Jahrzehnten etabliert. Etwa noch bei Marvin Knopp war der Begriff „regulär“ bzw. „analytisch“ üblich. Letzterer wird jedoch in manchen Lehrbüchern bis heute konsequent verwendet, etwa bei Eberhard Freitag. Das Wort „holomorph“ wurde im Jahr 1875 von den Mathematikern Charles Briot und Jean-Claude Bouquet im Rahmen ihres Werkes „Théorie des fonctions elliptiques“ eingeführt.^[17] Dabei handelt es sich um das erste Lehrbuch zur Funktionentheorie.^[18] Allerdings tauchte „holomorph“ erst in der zweiten Auflage auf; in der ersten Auflage verwendeten sie noch die auf Cauchy zurückgehende Bezeichnung „synectisch“.^[17]

Es werden durchweg folgende Bezeichnungen verwendet:

• ${\displaystyle \mathbb {N} }$, ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, ${\displaystyle \mathbb {R} }$ und ${\displaystyle \mathbb {C} }$ bezeichnen die natürlichen, ganzen, rationalen, reellen bzw. komplexen Zahlen. Zudem bedeutet ${\displaystyle \mathbb {E} :=\{z\in \mathbb {C} \colon |z|<1\}}$ die offene Einheitskreisscheibe.
• Es bezeichnen ${\displaystyle \mathrm {Re} (z)}$ bzw. ${\displaystyle \mathrm {Im} (z)}$ den Real- bzw. Imaginärteil der komplexen Zahl ${\displaystyle z}$.
• ${\displaystyle U\subset \mathbb {C} }$ ist eine (nicht leere) offene Menge, speziell ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} }$ ist ein Gebiet und ${\displaystyle B_{r}(c):=\{z\in \mathbb {C} \colon |z-c|<r\}}$ die offene Kreisscheibe um ${\displaystyle c}$ mit Radius ${\displaystyle r>0}$.
• Es bezeichnet ${\displaystyle {\mathcal {O}}(U)}$ den Ring der holomorphen Funktionen auf der offenen Menge ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {C} }$.
• Das Symbol ${\displaystyle \partial M}$ bezeichnet den Rand der (offenen) Menge ${\displaystyle M}$.
• Das Symbol ${\displaystyle \textstyle \oint _{\gamma }}$ bezeichnet ein geschlossenes Integral, also ein Integral gebildet über eine geschlossene Kurve ${\displaystyle \gamma }$.
• Es bezeichnet ${\displaystyle f^{(n)}}$ die ${\displaystyle n}$-te (komplexe) Ableitung der (holomorphen) Funktion ${\displaystyle f}$. In den Fällen ${\displaystyle n=1}$, ${\displaystyle n=2}$ bzw. ${\displaystyle n=3}$ werden auch die Kurzschreibweisen ${\displaystyle f',f''}$ bzw. ${\displaystyle f'''}$ benutzt.

Die Euklidische Norm induziert auf den komplexen Zahlen eine Topologie. Analog wie in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ gilt für die Norm ${\displaystyle |x+iy|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$. Eine Menge ${\displaystyle U\subset \mathbb {C} }$ heißt offen, wenn jeder Punkt ${\displaystyle z_{0}\in U}$ innerer Punkt ist. Für jedes ${\displaystyle z_{0}\in U}$ gibt es also ein ${\displaystyle \varepsilon >0}$, sodass die Kreisscheibe ${\displaystyle B_{\varepsilon }(z)}$ ganz in ${\displaystyle U}$ liegt. Es gilt also

${\displaystyle B_{\varepsilon }(z):=\{w\in \mathbb {C} \mid |w-z|<\varepsilon \}\subset U.}$

Für die Definition der komplexen Differenzierbarkeit ist der Begriff der offenen Menge essentiell. Er stellt sicher, dass für jeden Punkt des Definitionsbereichs das Verhalten der Funktion in einer Umgebung dieses Punktes studiert werden kann.

Es sei ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {C} }$ eine offene Teilmenge der komplexen Ebene und ${\displaystyle z_{0}\in U}$ ein Punkt dieser Teilmenge. Eine Funktion ${\displaystyle f\colon U\to \mathbb {C} }$ heißt komplex differenzierbar im Punkt ${\displaystyle z_{0}}$, falls der Grenzwert

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(z_{0}+h)-f(z_{0})}{h}}}$

existiert. Man bezeichnet ihn dann als ${\displaystyle f'(z_{0})}$.^[19] Bei dieser Definition ist zu beachten, dass der Limes ${\displaystyle \textstyle \lim _{h\to 0}}$ eine Annäherung aus beliebiger Richtung in der komplexen Ebene darstellt. Äquivalent ist also, dass für jede komplexe Nullfolge ${\displaystyle h_{n}}$, mit ${\displaystyle h_{n}\not =0}$ für alle ${\displaystyle n}$, der Wert

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {f(z_{0}+h_{n})-f(z_{0})}{h_{n}}}}$

existiert und das Ergebnis unabhängig von der gewählten Folge ${\displaystyle h_{n}}$ ist.

Zu bemerken ist, dass der Differentialquotient von allen Richtungen gebildet werden kann, da ${\displaystyle U}$ offen ist und somit um jeden Punkt aus ${\displaystyle U}$ eine umliegende Kreisscheibe auch noch in ${\displaystyle U}$ enthalten ist. Ist ${\displaystyle h}$ hinreichend klein, liegt also ${\displaystyle z+h}$ in ${\displaystyle U}$, egal welches komplexe Argument ${\displaystyle h}$ besitzt.

Jede komplexwertige Funktion ${\displaystyle f}$ lässt sich in der Form ${\displaystyle f(z)=\operatorname {Re} (f(z))+i\operatorname {Im} (f(z))=u(x,y)+i\ v(x,y)}$ schreiben. Dabei sind ${\displaystyle u,v\colon \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} }$ reellwertige Abbildungen. Man sagt, dass ${\displaystyle f}$ genau dann reell differenzierbar in einem Punkt ${\displaystyle z_{0}=x_{0}+i\ y_{0}}$ ist, wenn

${\displaystyle u(x,y)=u(x_{0},y_{0})+a\Delta x+b\Delta y+o(\Delta x,\Delta y),}$

${\displaystyle v(x,y)=v(x_{0},y_{0})+c\Delta x+d\Delta y+o(\Delta x,\Delta y),}$

wobei die ${\displaystyle o}$-Fehlerterme, siehe Landau-Symbol, für kleiner werdende ${\displaystyle \Delta x,\Delta y}$ gegen 0 gehen. Es gilt also^[20]

${\displaystyle {\frac {o(\Delta x,\Delta y)}{\sqrt {(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}}\rightarrow 0}$ für ${\displaystyle (\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}\rightarrow 0.}$

Dabei handelt es sich bei ${\displaystyle a,b,c,d}$ um reelle Zahlen, die sich über die partiellen Ableitungen der Funktionen ${\displaystyle u}$ und ${\displaystyle v}$ bestimmen lassen. Präziser gesagt, bilden sie die sog. Jacobi-Matrix von ${\displaystyle f}$ als Abbildung von ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ in sich selbst aufgefasst, via

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial u}{\partial x}}&{\frac {\partial u}{\partial y}}\\{\frac {\partial v}{\partial x}}&{\frac {\partial v}{\partial y}}\end{pmatrix}}.}$

Die reelle Differenzierbarkeit impliziert unter anderem, dass Differentialquotienten existieren, wenn separat die reellen Variablendifferenzen ${\displaystyle \Delta x}$ und ${\displaystyle \Delta y}$ in ${\displaystyle f(x_{0}+iy_{0}+i\Delta y)}$ bzw. ${\displaystyle f(x_{0}+\Delta x+iy_{0})}$ betrachtet werden. Die Richtungsableitungen können sich indes, je nach Gewichtung von ${\displaystyle \Delta x}$ und ${\displaystyle \Delta y}$, unterscheiden.

Bei der komplexen Differenzierbarkeit liegt insbesondere reelle Differenzierbarkeit vor, allerdings kommt hinzu, dass die Richtungsableitungen alle identisch sein müssen. Es werden also die Komponenten ${\displaystyle \Delta x}$ und ${\displaystyle \Delta y}$ zu Gunsten einer zusammenfassenden Komponente ${\displaystyle \Delta z}$ „vergessen“. Es gilt im Falle komplexer Differenzierbarkeit an einer Stelle ${\displaystyle z_{0}}$ also

${\displaystyle f(z)=f(z_{0})+\omega \Delta z+o(\Delta z),}$ mit ${\displaystyle \Delta z:=z-z_{0}}$.

Die Körperstruktur von ${\displaystyle \mathbb {C} }$ erlaubt es, diesen Sachverhalt nach gewohntem Rechenverfahren in die Gleichung

${\displaystyle {\frac {f(z)-f(z_{0})}{\Delta z}}=\omega +{\frac {o(\Delta z)}{\Delta z}}}$, wobei ${\displaystyle \lim _{\Delta z\to 0}{\frac {o(\Delta z)}{\Delta z}}=0}$,

umzuwandeln. Spaltet man dies nun rückwirkend in den reellen Fall auf, so ergibt sich mit ${\displaystyle \Delta z=\Delta x+i\Delta y}$ und ${\displaystyle \omega =\operatorname {Re} (\omega )+i\operatorname {Im} (\omega )}$ die Gleichheit:

${\displaystyle \omega \Delta z=(\operatorname {Re} (\omega )+i\operatorname {Im} (\omega ))(\Delta x+i\Delta y)=(\operatorname {Re} (\omega )\Delta x-\operatorname {Im} (\omega )\Delta y)+i(\operatorname {Im} (\omega )\Delta x+\operatorname {Re} (\omega )\Delta y)}$.

Es folgt für die Jacobi-Matrix zwingend die Gleichheit

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\operatorname {Re} (\omega )&-\operatorname {Im} (\omega )\\\operatorname {Im} (\omega )&\operatorname {Re} (\omega )\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial u}{\partial x}}&{\frac {\partial u}{\partial y}}\\{\frac {\partial v}{\partial x}}&{\frac {\partial v}{\partial y}}\end{pmatrix}}.}$

Dies impliziert

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}}$ und ${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}}$

was den Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen entspricht. Eine Funktion ${\displaystyle f\colon U\rightarrow \mathbb {C} }$ ist also genau dann komplex differenzierbar an einer Stelle ${\displaystyle z_{0}\in U}$, wenn sie dort reell stetig differenzierbar ist und zusätzlich die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen erfüllt.^[21] Es ergibt sich daraus, dass die Funktion ${\displaystyle f=u+iv}$ genau dann holomorph auf ${\displaystyle U}$ ist, wenn sowohl Realteil ${\displaystyle u}$ als auch Imaginärteil ${\displaystyle v}$ überall in ${\displaystyle U}$ stetig partiell differenzierbar sind und die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen erfüllen.

Die komplexe Differenzierbarkeit in einem einzelnen Punkt bietet noch nicht viel Struktur. Wichtig für die Funktionentheorie ist der Fall, wenn eine Funktion in ihrer Gänze komplex differenzierbar ist. Die Funktion ${\displaystyle f}$ heißt holomorph in ${\displaystyle U}$, falls sie in jedem Punkt ${\displaystyle z\in U}$ komplex differenzierbar ist.^[22] Ist zudem sogar ${\displaystyle U=\mathbb {C} }$, so nennt man ${\displaystyle f}$ eine ganze Funktion.^[23]

In der Fachliteratur werden die Begriffe holomorph und analytisch häufig synonym verwendet. Dies hat den keinesfalls trivialen Hintergrund, dass eine in ${\displaystyle U}$ holomorphe Funktion eine in ${\displaystyle U}$ analytische Funktion ist, und umgekehrt.^[24]

Die Menge der auf einer offenen Menge ${\displaystyle U}$ holomorphen Funktionen wird in der Literatur häufig mit ${\displaystyle {\mathcal {O}}(U)}$ bezeichnet. Diese Schreibweise wird etwa seit 1952 von der französischen Schule um Henri Cartan vor allem in der Funktionentheorie mehrerer Veränderlicher verwendet. Aussagen, es handele sich bei ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ um eine Ehrung des japanischen Mathematikers Oka Kiyoshi, oder eine Reflexion der französischen Aussprache des Wortes holomorph, sind unbestätigt. Vielmehr sei die Notation laut Reinhold Remmert „rein zufällig“, und es heißt in einem Brief von Cartan an Remmert vom 22. März aus dem Jahr 1982:

Sind ${\displaystyle f,g\colon U\to \mathbb {C} }$ an einer Stelle ${\displaystyle z\in U}$ komplex differenzierbar, so auch ${\displaystyle f+g}$, ${\displaystyle f-g}$ und ${\displaystyle f\cdot g}$. Das gilt auch für ${\displaystyle {\tfrac {f}{g}}}$, wenn ${\displaystyle z}$ keine Nullstelle von ${\displaystyle g}$ ist. Es gelten ferner Summen-, Produkt-, Quotienten- und Kettenregel.^[25]

Eine komplexe Abbildung ist winkeltreu, wenn sie zwei sich in einem Punkt schneidende Geradenstücke auf wiederum zwei Geradenstücke abbildet, die sich im gleichen Winkel schneiden.^[26] So sind etwa Drehungen winkeltreue Abbildungen. Nicht-lokalkonstante holomorphe Funktionen sind in, bis auf eine diskrete Teilmenge, allen Punkten ihres Definitionsbereichs winkeltreu. Es sind durch diese Eigenschaft im Wesentlichen sogar holomorphe Funktionen charakterisiert. Verlangt man zusätzlich noch Orientierungstreue, d. h., dass für ${\displaystyle f=u+iv}$ die Funktionaldeterminante

${\displaystyle \operatorname {det} {\begin{pmatrix}u_{x}&u_{y}\\v_{x}&v_{y}\end{pmatrix}}}$

in, bis auf eine diskrete Menge, allen Punkten positiv ist, so ist ${\displaystyle f}$ bereits holomorph.^[27]

Die Winkeltreue holomorpher Funktionen in einem Punkt lässt sich zudem anhand ihrer Jacobi-Matrix an der entsprechenden Stelle erklären. Dazu muss bekannt sein, dass die Abbildung

${\displaystyle \Phi \colon \mathbb {C} \to \mathbb {R} ^{2\times 2}}$

${\displaystyle \Phi (a+ib):={\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}}}$

nach Einschränkung ihrer Zielmenge auf ihr Bild einen Isomorphismus zwischen Körpern induziert. Wegen Eulers Formel gilt zudem für ${\displaystyle r>0}$ und ${\displaystyle 0\leq \theta <2\pi }$ die Relation

${\displaystyle \Phi (r\mathrm {e} ^{i\theta })=r{\begin{pmatrix}\cos(\theta )&-\sin(\theta )\\\sin(\theta )&\cos(\theta )\end{pmatrix}}.}$

Eine komplexe Zahl kann demzufolge als lineare Abbildung gedeutet werden, nämlich als eine Drehstreckung, wie die rechte Form als Verkettung von Skalierung und Rotationsmatrix verdeutlicht.^[28] Die Cauchy-Riemann-Gleichungen verlangen nichts anderes, als dass die Jacobi-Matrix von dieser Struktur sein soll, wobei dann ${\displaystyle Df(x,y)=\Phi (f'(z))}$ mit ${\displaystyle z=x+iy}$ gilt. Darin liegt die Verbindung zu konformen Abbildungen: Winkeltreue bedeutet schlicht, dass die Jacobi-Matrix eine nichtverschwindende Drehstreckung ist.^[29]

In Punkten, in denen die Ableitung einer holomorphen Funktion verschwindet, liegt keine Winkeltreue vor, wie man am Beispiel der Funktion ${\displaystyle f(z)=z^{n}}$ mit ${\displaystyle n\geq 2}$ sieht. Im Nullpunkt werden die Winkel ver-${\displaystyle n}$-facht.^[30]

Einige klassische Resultate der reellen Analysis besitzen Pendants im Komplexen.

Sei ${\displaystyle f\colon D\to \mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion auf einem konvexen Gebiet ${\displaystyle D}$, und ${\displaystyle a,b\in D}$ mit ${\displaystyle a\not =b}$. Dann existieren^[31]

${\displaystyle z_{1},z_{2}\in (a,b):=\{z=at+b(1-t)\colon t\in (0,1)\}\subset D}$

so dass

${\displaystyle \operatorname {Re} \left({\frac {f(a)-f(b)}{a-b}}\right)=\operatorname {Re} (f'(z_{1}))}$

und

${\displaystyle \operatorname {Im} \left({\frac {f(a)-f(b)}{a-b}}\right)=\operatorname {Im} (f'(z_{2})).}$

Auf gewisse Weise lässt sich dies auf die komplexe Ebene ausweiten, wobei jedoch auf intervallförmige Strukturen verzichtet werden muss. Ist ${\displaystyle f}$ holomorph auf einer offenen Teilmenge ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {C} }$ und ${\displaystyle z_{0}\in U}$ ein (innerer) Punkt, so existieren in jeder Umgebung ${\displaystyle z_{0}\in V\subseteq U}$ ein Paar ${\displaystyle z_{2}\not =z_{1}}$, so dass^[32]

${\displaystyle {\frac {f(z_{2})-f(z_{1})}{z_{2}-z_{1}}}=f'(z_{0}).}$

Damit garantiert ist, dass diese mit ${\displaystyle z_{0}}$ auf einer Geraden liegen, ist es im Allgemeinen hinreichend aber auch notwendig, dass ${\displaystyle f}$ eine konstante, lineare oder quadratische Funktion ist.

Sei ${\displaystyle f\colon D\to \mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion auf einem konvexen Gebiet ${\displaystyle D}$, und ${\displaystyle a,b\in D}$ mit ${\displaystyle a\not =b}$, so dass ${\displaystyle f(a)=f(b)=0}$. Dann existieren^[31]

${\displaystyle z_{1},z_{2}\in (a,b):=\{z=at+b(1-t)\colon t\in (0,1)\}\subset D}$

so dass ${\displaystyle \operatorname {Re} (f'(z_{1}))=\operatorname {Im} (f'(z_{2}))=0.}$

Seien ${\displaystyle f,g\colon U\to \mathbb {C} }$ holomorphe Funktionen sowie ${\displaystyle a\in U}$ und ${\displaystyle f(a)=f'(a)=\cdots =f^{(n-1)}(a)=0}$ und ${\displaystyle g(a)=g'(a)=\cdots =g^{(n-1)}(a)=0}$, sowie ${\displaystyle f^{(n)}(a)\not =0\not =g^{(n)}(a)}$ mit einem ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$. Dann gilt^[33]

${\displaystyle \lim _{z\to a}{\frac {f(z)}{g(z)}}={\frac {f^{(n)}(a)}{g^{(n)}(a)}}.}$

Die Integrationstheorie im Komplexen unterscheidet sich in einigen Punkten von der im Reellen. Wichtigstes Merkmal ist das Problem, dass es auf einer Ebene unendlich viele Möglichkeiten gibt, sich von einem Punkt ${\displaystyle a}$ zu einem Punkt ${\displaystyle b}$ zu „bewegen“. Im Reellen gibt es (sieht man von nichtigen Rückwärtsbewegungen ab) stets nur eine Möglichkeit entlang des Zahlenstrahls. Die hohe Anzahl an Integrationswegen zwischen ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ zwingt dazu, den Integralbegriff zum sog. Kurvenintegral auszuweiten. Das bedeutet, dass ein Integral zunächst nicht nur von Anfangs- und Endpunkt, sondern auch von der Wahl der Kurve abhängt.

• 
  Es gibt wegen des eindimensionalen Zahlenstrahls im Reellen nur eine Möglichkeit, sich von a nach b zu bewegen
• 
  Bei Kurven in flächenförmigen Definitionsbereichen gibt es viele Möglichkeiten, von a nach b zu gelangen.
• 
  Im Fall a = b spricht man von einer geschlossenen Kurve. Das Integral wird hier auch mit ${\displaystyle \textstyle \oint }$ bezeichnet.

Ist ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} }$ ein Gebiet, ${\displaystyle f\colon D\to \mathbb {C} }$ stetig und ${\displaystyle \gamma \colon [0,1]\to D}$ eine unendlich oft differenzierbare (also glatte) Kurve, so definiert man^[34]

${\displaystyle \int _{\gamma }\!f(z)\,\mathrm {d} z:=\int _{0}^{1}\!f(\gamma (t))\gamma '(t)\,\mathrm {d} t.}$

Das hintere Integral kann nun analog wie im Reellen berechnet werden, etwa durch Aufspalten in die ebenfalls stetigen Komponenten ${\displaystyle \operatorname {Re} (f)+i\operatorname {Im} (f)}$. Hinter dem Differential ${\displaystyle \gamma '(t)\mathrm {d} t}$ verbirgt sich die Umformung ${\displaystyle \mathrm {d} \gamma (t)}$, die bereits andeutet, dass der Integrationsweg in kleine Intervalle ${\displaystyle \gamma ({\tfrac {1}{n}})-\gamma (0),\gamma ({\tfrac {2}{n}})-\gamma ({\tfrac {1}{n}}),\ldots ,\gamma (1)-\gamma ({\tfrac {n-1}{n}})}$ mit ${\displaystyle n\to \infty }$ unterteilt wird, was den anschaulichen Bogen zur klassischen Integralrechnung schließt.

Der Wert eines Integrals

${\displaystyle \int _{\gamma }\!f(z)\,\mathrm {d} z}$

wird bei Endpunkten ${\displaystyle \gamma (0)=a}$ und ${\displaystyle \gamma (1)=b}$ im Allgemeinen nicht nur von ${\displaystyle f}$, sondern auch von der Wahl der Kurve ${\displaystyle \gamma }$ abhängen. Dies ist dann der Fall, wenn die Funktion ${\displaystyle f}$ nicht über eine komplexe Stammfunktion ${\displaystyle F}$ verfügt. Liegt andererseits eine solche vor, gilt^[35]

${\displaystyle \int _{\gamma }\!f(z)\,\mathrm {d} z=F(\gamma (1))-F(\gamma (0))=F(b)-F(a),}$

und die letzte Gleichheit zeigt, dass der Wert des Integrals jetzt nicht mehr von ${\displaystyle \gamma }$ abhängt. Analog zum Reellen zeigt es sich, dass der Begriff der Stammfunktion erneut als Umkehrung zum Ableiten gefasst werden kann. Da jedoch der Ausgangspunkt ein Gebiet ${\displaystyle D}$ ist, also eine „Fläche“, muss die Stammfunktion ${\displaystyle F}$ in ganz ${\displaystyle D}$ komplex differenzierbar, also holomorph, sein. Damit ist ${\displaystyle F}$ bereits unendlich oft komplex differenzierbar und es zeigt sich, dass notwendigerweise auch ihre Ableitung ${\displaystyle f}$ eine in ${\displaystyle D}$ holomorphe Funktion gewesen sein muss. Es zeigt sich wieder die Stärke des Holomorphiebegriffes. Aufgrund der „richtungsunabhängigen“ Existenz des Differenzenquotienten ergibt die Berechnung eines Kurvenintegrals ungeachtet der Richtungswahl immer denselben Wert. Man kann dann schreiben

${\displaystyle \int _{\gamma }\!f(z)\,\mathrm {d} z=\int _{a}^{b}\!f(z)\,\mathrm {d} z}$.

Zwar muss zur Existenz einer Stammfunktion die Funktion ${\displaystyle f}$ notwendigerweise holomorph sein, jedoch ist Holomorphie nicht hinreichend für die Existenz einer Stammfunktion. Wählt man zum Beispiel ${\displaystyle D=\mathbb {C} \setminus \{0\}}$ und ${\displaystyle f(z)={\tfrac {1}{z}}}$, so kann zu ${\displaystyle f}$ keine Stammfunktion gefunden werden.^[36] Hintergrund ist, dass es eine „Lücke“ in ${\displaystyle D}$ gibt, in der ${\displaystyle f}$ nicht holomorph ist und daher situationsbedingt Schwierigkeiten bereiten kann. In der Tat besitzt die Logarithmusfunktion kein global holomorphes Pendant in den komplexen Zahlen. Unter zusätzlichen Voraussetzungen an ${\displaystyle D}$ ist jedoch auch die Rückrichtung korrekt. Ganz allgemein dann, wenn ${\displaystyle D}$ ein Elementargebiet ist, besitzt jede holomorphe Funktion ${\displaystyle f\colon D\to \mathbb {C} }$ eine holomorphe Stammfunktion. In etwa ist jedes Sterngebiet ein Elementargebiet, d. h., es gibt einen zentralen Punkt ${\displaystyle z_{0}\in D}$, von dem aus jeder Punkt ${\displaystyle z\in D}$ durch eine gerade Linie erreicht werden kann, ohne dabei ${\displaystyle D}$ zu verlassen. Beispiel für ein Sterngebiet ist das Innere eines Kreises mit irgendeinem seiner Punkte als Zentrum. Eine Stammfunktion kann dann über

${\displaystyle F(z):=\int _{z_{0}}^{z}\!f(w)\,\mathrm {d} w}$

bestimmt werden, wobei hier als Integrationskurve die gerade Verbindungslinie zwischen ${\displaystyle z_{0}}$ und ${\displaystyle z}$ gewählt wird.

Es gelten auch im Komplexen die aus der reellen Analysis bekannten Rechenregeln, wie die partielle Integration und die Integration durch Substitution.^[37]

Ist ${\displaystyle D\subseteq \mathbb {C} }$ einfach zusammenhängend, also ein Elementargebiet, und ${\displaystyle \gamma }$ ein Zyklus in ${\displaystyle D}$, so gilt der Cauchysche Integralsatz^[38]

${\displaystyle \int _{\gamma }\!f(z)\,\mathrm {d} z=0.}$

Der Satz gilt also insbesondere dann, wenn ${\displaystyle D}$ ein Sterngebiet und ${\displaystyle \gamma }$ ein geschlossener Weg ist.

Nicht jede auf einer offenen Menge holomorphe Funktion besitzt eine Stammfunktion. Allerdings besitzt jede holomorphe Funktion eine lokale Stammfunktion. Dies ist gleichzeitig ein hinreichendes Kriterium für globale Holomorphie. Es stellt zudem eine Umkehrung des Integralsatzes von Cauchy dar, wenn auch in abgeschwächter Form.^[39] Ist ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} }$ offen und ${\displaystyle f\colon D\to \mathbb {C} }$ stetig und gilt für jeden Dreiecksweg ${\displaystyle \langle z_{1},z_{2},z_{3}\rangle }$, dessen Dreiecksfläche ${\displaystyle \Delta }$ ganz in ${\displaystyle D}$ enthalten ist,

${\displaystyle \oint _{\langle z_{1},z_{2},z_{3}\rangle }\!f(z)\,\mathrm {d} z=0,}$

so ist ${\displaystyle f}$ holomorph.^[40]

Mit Hilfe der Integrationstheorie holomorpher Funktionen kann etwas über die Struktur holomorpher Funktionen auf Elementargebieten ausgesagt werden. Ist ${\displaystyle f\colon D\to \mathbb {C} }$ auf dem Elementargebiet ${\displaystyle D}$ etwa holomorph und nullstellenfrei, existiert eine holomorphe Funktion ${\displaystyle g\colon D\to \mathbb {C} }$ mit der Eigenschaft ${\displaystyle f=e^{g}}$. Ein solches ${\displaystyle g}$ wird auch als analytischer Zweig des Logarithmus von ${\displaystyle f}$ bezeichnet.^[41]

Eine unmittelbare Folgerung ist die Aussage, dass ${\displaystyle f}$ ebenso eine ${\displaystyle n}$-te Wurzel, mit ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, auf ${\displaystyle D}$ besitzt, es gibt also ein holomorphes ${\displaystyle h\colon D\to \mathbb {C} }$ mit ${\displaystyle f=h^{n}}$.^[42]

Im Jahr 1831 fand Augustin-Louis Cauchy in seinem Exil in Turin^[43] eine Integralformel, die erlaubt, eine holomorphe Funktion mit Hilfe der „Randwerte ihres Definitionsbereichs“ zu rekonstruieren. Sie ist von großer Bedeutung in der Theorie holomorpher Funktionen.

Sei ${\displaystyle U}$ offen, ${\displaystyle B_{r}(a)}$ die offene Kreisscheibe mit Radius ${\displaystyle r}$ um den Punkt ${\displaystyle a\in U}$ und ${\displaystyle f\colon U\to \mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion. Liegt dann der Abschluss von ${\displaystyle B_{r}(a)}$ noch ganz in ${\displaystyle U}$, so gilt für alle ${\displaystyle z\in D}$ die Cauchysche Integralformel^[44]

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\partial B_{r}(a)}\!{\frac {f(w)}{w-z}}\,\mathrm {d} w.}$

Dabei wird die Integrationskurve in mathematisch positivem Sinn, also gegen den Uhrzeigersinn, einfach durchlaufen. Die (stärkere) Version, die alle Ableitungen behandelt, besagt für alle ${\displaystyle k\in \mathbb {N} _{0}}$^[45]

${\displaystyle f^{(k)}(z)={\frac {k!}{2\pi i}}\oint _{\partial B_{r}(a)}\!{\frac {f(w)}{(w-z)^{k+1}}}\,\mathrm {d} w.}$

Dabei bedeutet ${\displaystyle k!}$ die Fakultät von ${\displaystyle k}$. Der Wert der Funktion (und jeder ihrer Ableitungen) eines Punktes in einem Gebiet hängt also nur von den Funktionswerten am Rand dieses Gebietes ab.

Eine Folgerung aus der Cauchyschen Integralformel ist, dass in der komplexen Ebene der Begriff der Analytizität äquivalent zur Holomorphie ist: Jede in ${\displaystyle z_{0}}$ holomorphe Funktion ist in ${\displaystyle z_{0}}$ analytisch.^[46] Umgekehrt stellt jede in ${\displaystyle z_{0}}$ analytische Funktion eine in ${\displaystyle z_{0}}$ holomorphe Funktion dar.^[47]

Eine weitere Folgerung ist die Mittelwertsgleichung

${\displaystyle f(a)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\!f(a+re^{i\varphi })\,\mathrm {d} \varphi ,}$

die unter oberen Voraussetzungen gilt. Aus dieser folgt über die Standardabschätzung für Kurvenintegrale

${\displaystyle |f(a)|\leq \sup _{|z-a|=r}|f(z)|}$,

ein Vorläufer des Maximumprinzips der Funktionentheorie.^[48] Sie spielt zudem eine wichtige Rolle bei den Beweisen tieferer funktionentheoretischer Sätze, wie zum Beispiel des Satzes von Liouville oder des Residuensatzes.

Die Cauchysche Integralformel lässt sich mannigfach umformulieren. Ist etwa ${\displaystyle f}$ holomorph in einer Umgebung von ${\displaystyle {\overline {B_{r}(0)}}}$, so gilt bereits für alle ${\displaystyle z\in B_{r}(0)}$

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\partial B_{r}(0)}\!{\frac {f(w)}{w}}{\frac {r^{2}-|z|^{2}}{|w-z|^{2}}}\,\mathrm {d} w,}$

wobei die Kreiskurve in mathematisch positiver Richtung den Ursprung einfach umläuft. Diese Version wird auch als Schwarzsche Integralformel bezeichnet.^[49] Des Weiteren gilt die Formel

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\partial B_{r}(0)}\!{\frac {\operatorname {Re} (f(w))}{w}}{\frac {w+z}{w-z}}\,\mathrm {d} w+i\operatorname {Im} (f(0))}$

unter denselben Voraussetzungen wie oben. Erneut ist zu beachten, dass als Mittelpunkt der Kreisscheibe der Ursprung gewählt wurde.^[50]

Diese Integrale lassen sich auch in Polarform schreiben. Ist ${\displaystyle f}$ holomorph auf ${\displaystyle {\overline {B_{R}(0)}}}$, dann gilt für ${\displaystyle 0<r<R}$ die Poissonsche Formel^[51]

${\displaystyle f(re^{i\theta })={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(Re^{i\Theta }){\frac {R^{2}-r^{2}}{R^{2}-2Rr\cos(\Theta -\theta )+r^{2}}}\mathrm {d} \Theta .}$

Diese Formel betont die Beziehung zwischen der Integrationstheorie von Cauchy und harmonischen Analysis.

Ein zentrales Resultat der Funktionentheorie ist, dass holomorphe Funktionen analytisch sind. Das bedeutet, dass sie in jedem Punkt ihres (offenen) Definitionsbereichs in eine Potenzreihe entwickelt werden können, die in einer offenen Kreisscheibe konvergiert und dort die Funktion darstellt.^[46] Präziser gilt der Cauchysche Entwicklungssatz: Ist ${\displaystyle c\in U}$ mit offenem ${\displaystyle U}$, ${\displaystyle B_{r}(c)}$ die größte Kreisscheibe um ${\displaystyle c}$ in ${\displaystyle U}$ und ${\displaystyle f\colon U\to \mathbb {C} }$ holomorph, so ist ${\displaystyle f}$ um ${\displaystyle c}$ in eine Taylorreihe ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-c)^{n}}$ entwickelbar, die in ${\displaystyle B_{r}(c)}$ auf kompakten Teilmengen absolut und gleichmäßig konvergiert. Die Koeffizienten sind gegeben durch^[46]

${\displaystyle a_{n}={\frac {f^{(n)}(c)}{n!}}={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\partial B_{d}(c)}{\frac {f(w)}{(w-c)^{n+1}}}\mathrm {d} w}$, wobei ${\displaystyle 0<d<r.}$

Dabei wird der Integrationsweg in mathematisch positiver Richtung einfach durchlaufen. Bemerkenswert ist die Tatsache, dass für den Beweis des Entwicklungssatzes lediglich die Reihenentwicklungen der Funktionen ${\displaystyle z\mapsto (z-c)^{-k-1}}$ benötigt werden (siehe auch geometrische Reihe), sowie Vertauschbarkeit von Summation und Integration. Für den Fall ${\displaystyle k=0}$ wurde dies bereits 1831 von Cauchy durchgeführt.^[52]

Da jede holomorphe Funktion analytisch ist und umgekehrt, lassen sich Eigenschaften von Potenzreihen direkt auf holomorphe Funktionen übertragen. Dies stellt gleichzeitig den Weierstraßschen Zugang zur Funktionentheorie dar, der die Darstellbarkeit von Funktionen als Potenzreihen zum Ausgangspunkt hat.^[53]

Da Potenzreihen beliebig oft komplex differenzierbar sind (und zwar durch gliedweise Differentiation), erhält man insbesondere, dass holomorphe Funktionen beliebig oft differenzierbar^[54] und alle ihre Ableitungen wiederum holomorphe Funktionen sind. Hieran erkennt man deutliche Unterschiede zur reellen Differentialrechnung.

Der Konvergenzradius einer außerhalb ihres Entwicklungspunktes irgendwo konvergenten Potenzreihe ${\displaystyle \textstyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-c)^{n}}$ ist definiert als die Zahl ${\displaystyle R>0}$, sodass ${\displaystyle f(z)}$ für alle ${\displaystyle |z-c|<R}$ konvergiert und für alle ${\displaystyle |z-c|>R}$ divergiert.^[55] Über das Konvergenzverhalten auf dem Rand der Kreisscheibe kann die Zahl ${\displaystyle R}$ keine Aussage treffen, es kann sehr unterschiedlich sein. In den folgenden Beispielen haben alle Potenzreihen den Konvergenzradius 1, aber ein unterschiedliches Verhalten am Rand des Konvergenzbereichs:

• Es konvergiert die geometrische Reihe ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }z^{n}}$ in keinem Punkt ${\displaystyle |z|=1}$.
• Es konvergiert die Reihe ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n}}}$ in jedem Punkt ${\displaystyle |z|=1}$ mit ${\displaystyle z\not =1}$ (siehe harmonische Reihe).
• Es konvergiert die Reihe ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n^{2}}}}$ in jedem Punkt ${\displaystyle |z|=1}$.

Es gilt die Formel von Cauchy-Hadamard^[55]

${\displaystyle R={\frac {1}{\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}}}.}$

Nach dem Quotientenkriterium hat man im Falle ${\displaystyle a_{n}\not =0}$ für fast alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$:^[56]

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right|\leq R\leq \limsup _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right|.}$

Dabei darf der Wert ${\displaystyle +\infty }$ ebenfalls durch die Limiten angenommen werden. In den Fällen ${\displaystyle R=\infty }$ bzw. ${\displaystyle \infty \leq R}$ ist die betroffene Funktion ganz.

Im Falle holomorpher Funktionen kann der Satz von Taylor „effektiv“ gemacht werden. Ist ${\displaystyle f}$ innerhalb einer offenen Menge, die die Kreisscheibe ${\displaystyle {\overline {B_{R}(0)}}}$ enthält, holomorph, so gilt für alle ${\displaystyle |z|<R}$^[57]

${\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{N-1}{\frac {f^{(k)}(0)}{k!}}z^{k}+{\frac {z^{N}}{2\pi i}}\oint _{\partial B_{R}(0)}{\frac {f(w)}{w^{N}(w-z)}}\mathrm {d} w.}$

Damit folgt für ${\displaystyle |z|<R}$ die Restgliedabschätzung

${\displaystyle \left|\sum _{k=N}^{\infty }{\frac {f^{(k)}(0)}{k!}}z^{k}\right|\leq {\frac {|z|^{N}}{2\pi }}\oint _{\partial B_{R}(0)}\left|{\frac {f(w)}{w^{N}(w-z)}}\mathrm {d} w\right|\leq \left({\frac {|z|}{R}}\right)^{N}R\max _{|w|=R}\left|{\frac {f(w)}{w-z}}\right|}$.

Ist insbesondere ${\displaystyle z}$ hinreichend klein, etwa ${\displaystyle |z|<{\tfrac {R}{2}}}$, so kann dies vereinfacht durch^[57]

${\displaystyle \left|\sum _{k=N}^{\infty }{\frac {f^{(k)}(0)}{k!}}z^{k}\right|\ll _{R,N}z^{N}\max _{|w|=R}|f(w)|}$

ausgedrückt werden, wobei die implizite Konstante von ${\displaystyle R}$ und ${\displaystyle N}$, aber nicht von ${\displaystyle z}$ und ${\displaystyle f}$ abhängt.

Die Lokalität besagt, dass es nicht sein muss, dass die Potenzreihe die Funktion in ihrem gesamten Definitionsbereich darstellt. Zum Beispiel ist

${\displaystyle f(z):={\frac {1}{1-z}}=\sum _{n=0}^{\infty }z^{n},}$

mit Entwicklungspunkt 0, aber die Reihe konvergiert nur für Werte ${\displaystyle |z|<1}$. In der Tat besitzt die Funktion zur Linken eine Singularität in ${\displaystyle z=1}$ und ist sonst holomorph in ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{1\}}$, weshalb der Konvergenzradius der Reihe genau ${\displaystyle R=1}$ ist. Obwohl also ${\displaystyle f(2)=-1}$ definiert ist, wird die Reihe die Funktion an der Stelle ${\displaystyle z=2}$ nicht mehr darstellen. Es ist bei dieser Eigenschaft von Potenzreihen auch stets auf die genaue Funktionsvorschrift zu achten. Nur weil die Reihe für solche Werte ${\displaystyle z}$ konvergiert, die nahe genug am Entwicklungspunkt liegen, heißt das nicht, dass dort die Funktion noch nach der ursprünglichen (holomorphen) Vorschrift definiert ist. Zum Beispiel stellt für ${\displaystyle f\colon B_{1}(0)\cup B_{1}(3)\to \mathbb {C} }$ mit

${\displaystyle f(z)={\begin{cases}e^{z},&\quad z\in B_{1}(0)\\0,&\quad z\in B_{1}(3)\end{cases}}}$

die Reihe

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}}$

die holomorphe Funktion ${\displaystyle f}$ nur im Bereich ${\displaystyle B_{1}(0)}$ dar, nicht aber in ${\displaystyle z=3}$, obwohl sie dort konvergiert. Ein weiteres Beispiel ist ${\displaystyle f\colon \mathbb {C} \setminus \mathbb {R} _{\leq 0}\to \mathbb {C} }$ mit ${\displaystyle f(z):=\mathrm {Log} (z)}$.^[58][59] Zwar konvergiert die zugehörige Potenzreihe um ${\displaystyle z_{0}=-5+i}$ mit Radius ${\displaystyle R={\sqrt {26}}}$, doch stellt sie die Funktion zum Beispiel an ${\displaystyle -5-i}$ nicht mehr dar, obwohl ${\displaystyle |-5+i-(-5-i)|=2<{\sqrt {26}}}$. Hintergrund ist die Festlegung auf den Hauptwert des Logarithmus, der entlang der negativen reellen Achse unstetig verläuft (siehe Bild).

Es wird eine Potenzreihe

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-c)^{n}}$

mit Konvergenzradius ${\displaystyle 0<R<\infty }$ betrachtet. Ein Randpunkt ${\displaystyle w\in \partial B_{R}(c)}$ heißt singulärer Punkt, wenn es keine Umgebung ${\displaystyle W}$ von ${\displaystyle w}$ zusammen mit einer holomorphen Funktion ${\displaystyle {\widehat {f}}\colon W\to \mathbb {C} }$ gibt, sodass ${\displaystyle f|_{B_{R}(c)\cap W}={\widehat {f}}|_{B_{R}(c)\cap W}}$. Die Menge der singulären Punkte auf ${\displaystyle \partial B_{R}(c)}$ bezüglich ${\displaystyle f}$ ist stets abgeschlossen. Ist jeder Punkt in ${\displaystyle \partial B_{R}(c)}$ bezüglich ${\displaystyle f}$ ein singulärer Punkt, so entspricht ${\displaystyle B_{R}(c)}$ dem Holomorphiegebiet von ${\displaystyle f}$.^[60] Außerdem ist die Menge der singulären Punkte auf dem Rand der Konvergenzkreisscheibe niemals leer; es gibt also stets mindestens einen singulären Punkt.^[61] Zu beachten ist, dass die Potenzreihe in jedem Punkt am Rand ihres Konvergenzbereichs durchaus konvergieren kann. Lediglich eine holomorphe Fortsetzung ist nicht um jeden Punkt des Randes möglich.

Der Lückensatz liefert ein hinreichendes Kriterium dafür, dass die offene Konvergenzkreisscheibe einer Potenzreihe das Holomorphiegebiet der dargestellten holomorphen Funktion ist. Die Potenzreihe

${\displaystyle f(z)=\sum _{\nu =0}^{\infty }b_{\nu }z^{\lambda _{\nu }}}$, wobei ${\displaystyle 0\leq \lambda _{0}<\lambda _{1}<\cdots ,}$

habe den Konvergenzradius ${\displaystyle 0<R<\infty }$. Es gebe eine feste Zahl ${\displaystyle \delta >0}$, sodass die Lückenbedingung

${\displaystyle \lambda _{\nu +1}-\lambda _{\nu }\geq \delta \lambda _{\nu }}$

für alle ${\displaystyle \nu \in \mathbb {N} _{0}}$ erfüllt ist. Dann ist ${\displaystyle B_{R}(0)}$ das Holomorphiegebiet von ${\displaystyle f}$.^[62] Dieser Satz wurde erstmals von Jacques Hadamard im Jahr 1892 gezeigt, wobei der Beweis durch Louis Mordell 1927 stark vereinfacht wurde. Mittlerweile gibt es umfangreiche Literatur und Verallgemeinerungen zum Lückensatz.^[62] Bemerkenswerterweise besitzt jede Potenzreihe

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}}$

mit Konvergenzradius ${\displaystyle R=1}$ die „Fähigkeit“, zu einer holomorphen Funktion mit Holomorphiegebiet ${\displaystyle \mathbb {E} }$ abgewandelt zu werden. Nach einem von Pierre Fatou vermuteten und von Adolf Hurwitz bewiesenen Satz gibt es stets eine Folge ${\displaystyle \varepsilon _{n}\in \{-1,1\}}$, sodass

${\displaystyle z\mapsto \sum _{n=0}^{\infty }\varepsilon _{n}a_{n}z^{n}}$

das Holomorphiegebiet ${\displaystyle \mathbb {E} }$ besitzt.^[63]

Die Laurent-Reihe verallgemeinert den Begriff der Potenzreihe dahingehend, dass auch negative Exponenten zugelassen werden. Es kann mit dem Cauchyschen Integralsatz für Sterngebiete gezeigt werden, dass sich holomorphe Funktionen auf Ringgebieten in Laurent-Reihen entwickeln lassen.^[64] Jede auf einem Ringgebiet

${\displaystyle {\mathcal {R}}=\{z\in \mathbb {C} \mid 0\leq r<|z|<R\leq \infty \}}$

holomorphe Funktion ${\displaystyle f}$ gestattet eine Zerlegung

${\displaystyle f(z)=g(z)+h\left({\frac {1}{z}}\right)}$,

wobei ${\displaystyle g\colon B_{R}(0)\to \mathbb {C} }$ und ${\displaystyle \textstyle h\colon B_{\frac {1}{r}}(0)\to \mathbb {C} }$ holomorphe Funktionen sind. Mit der Forderung ${\displaystyle h(0)=0}$ wird diese Zerlegung eindeutig.^[65] Insbesondere lassen sich holomorphe Funktionen auf Ringgebieten mit Radien ${\displaystyle 0\leq r<R\leq \infty }$ und Zentrum ${\displaystyle c}$ in Laurent-Reihen entwickeln:

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(z-c)^{n}.}$

Die Reihe konvergiert dabei absolut und lokal gleichmäßig. Eine Berechnung der Koeffizienten ist über die Formel

${\displaystyle a_{n}={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\partial B_{\rho }(c)}{\frac {f(w)}{(w-c)^{n+1}}}\mathrm {d} w,\qquad r<\rho <R,}$

möglich.^[66]

Ein besonderer Fall tritt auf, wenn eine holomorphe Funktion gleichzeitig eine periodische Funktion ist. Dabei reicht es aus, die Periode 1 zu betrachten. Ist ${\displaystyle f}$ auf dem offenen Streifen

${\displaystyle D=\{z\in \mathbb {C} \mid a<\operatorname {Im} (z)<b\},}$

holomorph und 1-periodisch, gilt also stets ${\displaystyle f(z+1)=f(z)}$, so besitzt ${\displaystyle f}$ eine Fourier-Entwicklung

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}e^{2\pi izn}.}$

Dies ist auf ganz ${\displaystyle D}$ absolut und lokal gleichmäßig konvergent. Eine Berechnung der Koeffizienten ist für jedes ${\displaystyle a<y<b}$ durch

${\displaystyle a_{n}=\int _{0}^{1}f(x+iy)e^{-2\pi in(x+iy)}\mathrm {d} x}$

möglich.^[67] Entscheidend für die Herleitung der Existenz einer Fourier-Reihe auf horizontalen Streifen ist das Abbildungsverhalten der komplexen Exponentialfunktion ${\displaystyle z\mapsto e^{2\pi iz}}$ sowie die Existenz der Laurent-Reihe.^[68] Die Entwicklung in Fourier-Reihen spielt eine große Rolle in der Theorie der Modulformen.^[69]

Beispiele für holomorphe Funktionen sind Polynome, da diese aus einfachen algebraischen Operationen (Addition und Multiplikation) gewonnen werden. Zum Beispiel ist für die Funktion ${\displaystyle f(z)=z^{2}}$ der Differentialquotient

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(z+h)-f(z)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {(z+h)^{2}-z^{2}}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {2zh+h^{2}}{h}}=\lim _{h\to 0}(2z+h)=2z=f'(z).}$

Es sind diesem Prinzip folgend alle Polynome holomorphe Funktionen. Es stellt sich jedoch die Frage, ob es darüber hinaus noch holomorphe Funktionen gibt und wie diese aussehen. Viele im Reellen differenzierbare Funktionen, wie (außer an der Stelle 0) die Betragsfunktion, sind nicht holomorph. Zum Beispiel gilt

${\displaystyle \lim _{h\to 0 \atop h\in \mathbb {R} }{\frac {|1+h|-1}{h}}\not =\lim _{h\to 0 \atop h\in \mathbb {R} }{\frac {|1+ih|-1}{ih}},}$

da die rechte Seite, falls existent, keine reelle Zahl ist, die linke jedoch schon.

Jede Polynomfunktion ${\displaystyle p(z)=a_{n}z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots +a_{1}z+a_{0}}$ ist eine in ganz ${\displaystyle \mathbb {C} }$ holomorphe Funktion. Die Polynomfunktionen sind gerade die Potenzreihen, deren Koeffizienten fast alle verschwinden. Als solche sind sie auch die einzigen ganzen Funktionen, die, falls nicht konstant, im unendlich fernen Punkt eine Polstelle und keine wesentliche Singularität besitzen.^[70]

Die zunächst über den reellen Zahlen definierte natürliche Exponentialfunktion ${\displaystyle x\mapsto e^{x}}$ besitzt eine holomorphe Fortsetzung auf ganz ${\displaystyle \mathbb {C} }$. Dort kann sie, wie auch im Reellen, über ihre Potenzreihe definiert werden:

${\displaystyle e^{z}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}=1+z+{\frac {z^{2}}{2}}+{\frac {z^{3}}{6}}+\cdots .}$

Sie erfüllt für alle ${\displaystyle z,w\in \mathbb {C} }$ die Funktionalgleichung ${\displaystyle e^{z+w}=e^{z}e^{w}}$^[71] und es gilt ${\displaystyle (e^{z})'=e^{z}}$, sie ist also gleich ihrer eigenen Ableitung.^[72]

Erst über den komplexen Zahlen wird die enge Beziehung zwischen der Exponentialfunktion und den trigonometrischen Funktionen sichtbar. Diese kann mittels der Potenzreihenentwicklungen und einem Vergleich der Koeffizienten hergeleitet werden und zieht wichtige Konsequenzen für die Geometrie der komplexen Zahlen und ganz allgemein in der Mathematik nach sich. Die erstmals von Leonhard Euler gefundene Beziehung, auch Eulersche Formel genannt, lautet

${\displaystyle e^{iw}=\cos(w)+i\sin(w),}$

wobei ${\displaystyle w}$ in vielen Anwendungen eine reelle Zahl ist, jedoch auch beliebige komplexe Werte annehmen darf.^[71] Daraus folgt insbesondere, dass sie als Funktion ${\displaystyle 2\pi i}$-periodisch ist. Es gilt also für alle ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$

${\displaystyle e^{z+2\pi i}=e^{z}}$.

Die komplexe Exponentialfunktion ${\displaystyle z\mapsto \exp(z)}$ ist global betrachtet nicht injektiv, weshalb sie als ganze Funktion nicht umkehrbar ist. Jedoch kann bei Einschränkung auf den Bereich ${\displaystyle -\pi <\operatorname {Im} (z)\leq \pi }$ die Injektivität wieder hergestellt werden. Da dieser Bereich nicht offen ist, so ist etwa ${\displaystyle z=\pi i}$ kein innerer Punkt, ist es zweckmäßig, auf den offenen Streifen

${\displaystyle S:=\{z\in \mathbb {C} \mid -\pi <\operatorname {Im} (z)<\pi \}}$

überzugehen. Es gilt dann^[73]

${\displaystyle \exp(S)=\mathbb {C} \setminus \mathbb {R} _{\leq 0}=:\mathbb {C} _{-},}$

das Bild der Einschränkung entspricht also genau der komplexen Ebene mit Ausnahme der nicht positiven reellen Zahlen. Als bijektive holomorphe Funktion zwischen zwei offenen Mengen ist die Umkehrfunktion, die als Hauptzweig des Logarithmus bekannt ist, wieder holomorph. Diese wird als ${\displaystyle \mathrm {Log} \colon \mathbb {C} _{-}\rightarrow S}$ geschrieben, und es gilt ${\displaystyle \exp(\mathrm {Log} (z))=z}$ im gesamten Bereich ${\displaystyle \mathbb {C} _{-}}$. Der Begriff Hauptzweig motiviert sich daraus, dass die Wahl des Streifens ${\displaystyle S}$ naheliegend, aber keinesfalls eindeutig ist. Es hätte etwa auch der Streifen ${\displaystyle \pi <\operatorname {Im} (z)<3\pi }$ gewählt werden können – dies liegt in der ${\displaystyle 2\pi i}$-Periodizität der komplexen Exponentialfunktion begründet. Der komplexe Logarithmus ist wegen der Eulerschen Formel verwandt zum Hauptzweig des Arguments ${\displaystyle \mathrm {Arg} (z)}$ über die Relation^[74]

${\displaystyle \mathrm {Log} (z)=\log |z|+i\mathrm {Arg} (z)}$.

Dabei bezeichnet ${\displaystyle \log(x)}$ den reellen natürlichen Logarithmus. Daraus folgt insbesondere für reelle Zahlen ${\displaystyle a<0}$

${\displaystyle \lim _{z\to a \atop \operatorname {sgn}(\operatorname {Im} (z))=\pm 1}\mathrm {Log} (z)=\log |a|\pm \pi i,}$

und die Signumfunktion ${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)}$ deutet an, ob sich der Limes von oben oder unten nähert.^[75] Es gilt in ganz ${\displaystyle \mathbb {C} _{-}}$ die Ableitungsformel^[76]

${\displaystyle \mathrm {Log} '(z)={\frac {1}{z}}.}$

Als Kompositionen aus Exponentialfunktionen sind Sinus und Kosinus bzw. Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus ganze Funktionen.^[77][78] Exemplarisch gilt

${\displaystyle \sin(z)={\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}}$

und dies ist eine ganze Funktion. Im Gegensatz dazu sind die Funktionen Tangens und Kotangens bzw. Tangens hyperbolicus und Kotangens hyperbolicus keine ganzen Funktionen, jedoch in ganz ${\displaystyle \mathbb {C} }$ meromorph, also holomorph bis auf eine diskrete Menge von Polstellen. Zum Beispiel hat der Tangens hyperbolicus im Komplexen die Polstellenmenge ${\displaystyle \{{\tfrac {2k+1}{2}}\pi i\mid k\in \mathbb {Z} \}}$.

Die Arkusfunktionen lassen sich, betrachtet um den Punkt ${\displaystyle z=0}$, holomorph in die Einheitskreisscheibe fortsetzen. Man definiert etwa^[79]

${\displaystyle \arcsin(z):=\int _{0}^{z}{\frac {\mathrm {d} w}{\sqrt {1-w^{2}}}},\qquad |z|<1.}$

Der Integrand ist eine in der offenen Einheitskreisscheibe holomorphe Funktion, weshalb das Integral erneut eine holomorphe Funktion darstellt.

Über den komplexen Logarithmus lassen sich beliebige Potenzfunktionen auch im Komplexen verstehen. Diese stellen im Allgemeinen jedoch keine ganzen Funktionen dar.

Ist ${\displaystyle s\in \mathbb {C} }$ beliebig, so definiert man für ${\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \{0\}}$

${\displaystyle z^{s}:=e^{s\operatorname {Log} (z)}.}$

Dies stellt als Verkettung holomorpher Funktionen eine auf dem Elementargebiet ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \mathbb {R} _{\leq 0}}$ holomorphe Funktion dar. In manchen Anwendungen ist es jedoch von Vorteil, die Unstetigkeitsgerade als die positive reelle Achse zu wählen. Dann setzt man alternativ

${\displaystyle z^{s}=e^{s(\pi i+\operatorname {Log} (-z))}.}$

In keinem ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$ komplex differenzierbar und damit auch nirgendwo holomorph sind beispielsweise

• die Betragsfunktion ${\displaystyle z\mapsto |z|}$,
• die Projektionen auf den Realteil ${\displaystyle z\mapsto \operatorname {Re} (z)}$ beziehungsweise auf den Imaginärteil ${\displaystyle z\mapsto \operatorname {Im} (z)}$,
• die komplexe Konjugation ${\displaystyle z\mapsto {\overline {z}}}$.

Die Funktion ${\displaystyle z\mapsto |z|^{2}}$ ist nur an der Stelle ${\displaystyle z=0}$ komplex differenzierbar, aber dort nicht holomorph, da sie nicht in einer ganzen Umgebung von ${\displaystyle 0}$ komplex differenzierbar ist.

Ist ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {C} }$ offen, so sind folgende Eigenschaften komplexer Funktionen ${\displaystyle f\colon U\to \mathbb {C} }$ gleichwertig:^[80]

1. Die Funktion ist in ganz ${\displaystyle U}$ einmal komplex differenzierbar.
2. Die Funktion ist in ganz ${\displaystyle U}$ beliebig oft komplex differenzierbar.
3. Real- und Imaginärteil erfüllen die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen und sind zumindest einmal stetig reell differenzierbar.
4. Die Funktion lässt sich überall in ${\displaystyle U}$ lokal in eine komplexe Potenzreihe entwickeln.
5. Die Funktion ist stetig und das Wegintegral der Funktion über einen beliebigen geschlossenen zusammenziehbaren Weg verschwindet.
6. Die Funktion besitzt lokal eine Stammfunktion, d. h., für jedes ${\displaystyle a\in U}$ gibt es eine Umgebung ${\displaystyle U(a)\subset U}$, sodass ${\displaystyle f|_{U(a)}}$ eine Stammfunktion besitzt.
7. Die Funktionswerte im Inneren einer Kreisscheibe, deren Abschluss in ${\displaystyle U}$ liegt, lassen sich aus den Funktionswerten am Rand mit Hilfe der Cauchyschen Integralformel ermitteln.
8. Die Funktion ${\displaystyle f}$ ist reell differenzierbar und es gilt

${\displaystyle \quad {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}=0,}$

wobei ${\displaystyle {\tfrac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}}$ der Cauchy-Riemann-Operator ist, der durch ${\displaystyle {\tfrac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}:={\tfrac {1}{2}}\left({\tfrac {\partial }{\partial x}}+i{\tfrac {\partial }{\partial y}}\right)}$ definiert ist.^[81]

Im Gegensatz zu beliebigen reell differenzierbaren Funktionen haben holomorphe Funktionen ein sehr kontrolliertes Nullstellenverhalten. Hintergrund ist der sog. Identitätssatz für holomorphe Funktionen, der sicherstellt, dass eine auf einem Gebiet ${\displaystyle D}$ nicht konstante holomorphe Funktion in dessen Innerem keine Werte häufen kann. Insbesondere gilt: Ist ${\displaystyle a\in \mathbb {C} }$ und ${\displaystyle f\colon D\to \mathbb {C} }$ holomorph und nicht konstant, so ist jede der Fasern genannten Urbilder

${\displaystyle f^{-1}(\{a\}):=\{z\in D\mid f(z)=a\}}$

lokal endlich in ${\displaystyle D}$, und es folgt, dass ${\displaystyle f}$ nur höchstens abzählbar viele sog. ${\displaystyle a}$-Stellen besitzt.^[82] Von besonderem Interesse ist ${\displaystyle a=0}$, also gerade die Nullstellen von ${\displaystyle f}$.

Es seien ${\displaystyle f,g}$ holomorphe Funktionen auf einem Elementargebiet ${\displaystyle D}$ und ${\displaystyle \gamma }$ eine stückweise glatte geschlossene Kurve in ${\displaystyle D}$, sodass diese jeden Punkt in deren Innerem genau einmal positiv umläuft. Es gelte ${\displaystyle |g(z)|<|f(z)|}$ für alle ${\displaystyle z\in \gamma ([0,1])}$. Dann haben die Funktionen ${\displaystyle f}$ und ${\displaystyle f+g}$ keine Nullstellen auf ${\displaystyle \gamma ([0,1])}$ und, mit Vielfachheit gerechnet, gleich viele Nullstellen im Innern der Kurve.^[83]

Der Satz von Rouché kann auch auf meromorphe Funktionen ausgeweitet werden.

Die Jensensche Formel stellt einen Zusammenhang zwischen dem Wachstum einer holomorphen Funktion auf Kreisrändern und deren Nullstellenverteilung her. Ist ${\displaystyle f\not =0}$ eine auf einem Gebiet ${\displaystyle D}$ holomorphe Funktion, sodass ${\displaystyle D}$ die Kreisscheibe ${\displaystyle {\overline {B_{r}(0)}}}$ enthält, und sind ${\displaystyle z_{1},z_{2},\dots ,z_{n}}$ die Nullstellen von ${\displaystyle f}$ in ${\displaystyle B_{r}(0)}$ (bei Vielfachheit mehrfach wiederholt), so gilt mit ${\displaystyle f(0)\not =0}$ bereits^[84]

${\displaystyle \log |f(0)|=-\sum _{k=1}^{n}\log \left({\frac {r}{|z_{k}|}}\right)+{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\log |f(re^{i\theta })|\mathrm {d} \theta .}$

Eine Verallgemeinerung stellt die Poisson-Jensen-Formel dar, die unter obigen Voraussetzungen für jedes ${\displaystyle |z|<r}$ mit ${\displaystyle f(z)\not =0}$ anwendbar ist:^[84]

${\displaystyle \log |f(z)|=-\sum _{k=1}^{n}\log \left|{\frac {r^{2}-{\overline {z_{k}}}z}{r(z-z_{k})}}\right|+{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\operatorname {Re} \left({\frac {re^{i\theta }+z}{re^{i\theta }-z}}\right)\log |f(re^{i\theta })|\mathrm {d} \theta .}$

Sie spielt eine wichtige Rolle beim Beweis des Produktsatzes von Hadamard für holomorphe Funktionen, zum Beispiel im Umfeld von L-Funktionen.^[85]

Holomorphie einer Funktion auf einer offenen Menge ist eine starke Eigenschaft und zieht viele Konsequenzen hinsichtlich Integrationstheorie oder Abbildungseigenschaften nach sich. So strahlt die Analytizität in einem Punkt stets auf umliegende Punkte aus. Es kann die Frage gestellt werden, was ausgehend von einem bestimmten Punkt ${\displaystyle a\in U}$ einer offenen Menge über das Verhalten einer holomorphen Funktion ${\displaystyle f\colon U\setminus \{a\}\rightarrow \mathbb {C} }$ ausgesagt werden kann. Dabei befindet sich ${\displaystyle a}$ im Innern von ${\displaystyle U}$ und liegt damit isoliert in einer lückenlosen Menge von Punkten, auf denen ${\displaystyle f}$ ein aus analytischer Sicht sehr starkes Verhalten hat. Man bezeichnet ein solches ${\displaystyle a}$ auch als isolierte Singularität.^[86]

Es ist ein wichtiges Resultat, dass die holomorphe Funktion ${\displaystyle f\colon U\setminus \{a\}\rightarrow \mathbb {C} }$ „um ${\displaystyle a}$ herum“ nur drei verschiedene Arten von Verhalten aufweisen kann. Exemplarisch sind die Funktionen

${\displaystyle z\mapsto {\frac {\sin(z)}{z}}}$, ${\displaystyle z\mapsto {\frac {1}{z}}}$ und ${\displaystyle z\mapsto \exp \left({\frac {1}{z}}\right)}$

allesamt holomorph in ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\}}$, weisen aber um den Nullpunkt herum ein sehr unterschiedliches Verhalten auf.^[86]

Der Typ einer Singularität lässt sich eindeutig aus den Koeffizienten der in ihr entwickelten Laurent-Reihe der Funktion ${\displaystyle f}$ ablesen.^[87]

Eine hebbare Singularität in einem Punkt ${\displaystyle a\in U}$ liegt vor, wenn die holomorphe Funktion ${\displaystyle f\colon U\setminus \{a\}\to \mathbb {C} }$ um ${\displaystyle a}$ herum beschränkt ist, also „ganz normales“ Verhalten aufweist. Es ist also ${\displaystyle |f(z)|\leq M}$ für alle ${\displaystyle z}$ in einer hinreichend kleinen punktierten Umgebung von ${\displaystyle a}$ in ${\displaystyle U}$. Nach dem Riemannschen Hebbarkeitssatz kann ${\displaystyle f}$ in einem solchen Fall immer stetig, ja sogar holomorph, auf ganz ${\displaystyle U}$ fortgesetzt werden.^[88] Es gibt also eine holomorphe Funktion ${\displaystyle {\widehat {f}}\colon U\rightarrow \mathbb {C} }$, die auf ganz ${\displaystyle U\setminus \{a\}}$ mit ${\displaystyle f}$ übereinstimmt.^[86]

Beispiele für Funktionen mit hebbaren Singularitäten sind

${\displaystyle f(z)={\frac {z^{2}-1}{z-1}}}$ an der Stelle ${\displaystyle a=1}$, holomorphe Fortsetzung ist ${\displaystyle {\widehat {f}}(z)=z+1}$,

oder auch

${\displaystyle f(z)={\frac {\sin(z)}{z}}}$