In der Topologie und der Analysis ist die abgeschlossene Hülle (auch Abschließung oder Abschluss) einer Teilmenge
eines topologischen oder metrischen Raums die kleinste abgeschlossene Obermenge von
.
Ist
ein topologischer Raum, so ist die abgeschlossene Hülle oder der Abschluss
einer Teilmenge
der Durchschnitt aller abgeschlossenen Teilmengen von
, die
beinhalten. Die Menge
ist selbst abgeschlossen, also ist sie die kleinste abgeschlossene Obermenge von
.
Ein Punkt
heißt Berührpunkt oder Adhärenzpunkt von
, wenn in jeder Umgebung von
mindestens ein Element von
enthalten ist.
besteht genau aus den Berührpunkten von
.
Erfüllt
das erste Abzählbarkeitsaxiom (dies gilt beispielsweise dann, wenn
ein metrischer Raum ist), so ist
die Menge aller Grenzwerte von konvergenten Folgen, deren Glieder in
liegen.
Ist
ein beliebiger topologischer Raum, so ist der Abschluss einer Teilmenge
die Menge der Grenzwerte konvergenter Netze, deren Glieder in
liegen.
Es sei
ein metrischer Raum mit Metrik
. Man beachte, dass im Allgemeinen die abgeschlossene Hülle
einer offenen Kugel

mit Radius
und Mittelpunkt
nicht dasselbe ist wie die abgeschlossene Kugel

Da die abgeschlossene Kugel eine abgeschlossene Menge ist, die die offene Kugel enthält, enthält sie auch ihren Abschluss:

Um ein Beispiel zu geben, in dem diese Inklusion echt ist, sei X eine Menge (mit mindestens zwei Elementen), auf der eine Metrik durch

definiert ist. Dann gilt für jedes
:

Darüber hinaus gibt es auch metrische Räume, in denen für einen Punkt x und einen Radius r beide Inklusionen gleichzeitig echt sind:

Ein Beispiel ist die Menge
mit der vom euklidischen Raum
induzierten Metrik. Hier erfüllt
die angegebene Inklusionsbedingung:



- Gabriele Castellini: Categorical Closure Operators. Birkhäuser, Boston MA u. a. 2003, ISBN 0-8176-4250-1.