In der Mathematik bezeichnet komplexe Konjugation die Abbildung einer komplexen Zahl als eine Zahl mit gleichem Realteil und einem Imaginärteil mit gleichem Betrag, aber entgegengesetztem Vorzeichen. Sie ist definiert als:
Sie hat also bei unverändertem Betrag den im Vorzeichen entgegengesetzten Winkel von . Man kann die Konjugation in der komplexen Zahlenebene also als die Spiegelung an der reellen Achse identifizieren. Insbesondere werden bei der Konjugation genau die reellen Zahlen wieder auf sich selbst abgebildet.
Eine alternative Schreibweise für ist , welche vor allem in der Physik, genauer in der Quantenmechanik, gebräuchlich ist (mit wird die zu konjugierte Wellenfunktion bezeichnet). Diese Schreibweise wird auch bei adjungierten Matrizen gebraucht, für die in der Quantenmechanik wiederum die Schreibweise gebräuchlich ist.
Die Konjugierte einer Matrix ist die Matrix, deren Komponenten die komplex konjugierten Komponenten der ursprünglichen Matrix sind. Die Transposition einer zuvor komplex konjugierten Matrix wird hermitesche Transposition genannt. Für Matrizen auf dem Euklidischen Raum gilt weiterhin, dass die hermitesch transponierte Matrix identisch ist mit der adjungierten Matrix.
Da die Operation eine einfache Erweiterung der Konjugation von Matrixelementen auf Matrizen ist, wird die komplex Konjugierte einer Matrix oft ebenfalls mit einem Oberstrich gekennzeichnet. Ein einfaches Rechenbeispiel:
Zwei über algebraische Elemente einer Körpererweiterung heißen zueinander konjugiert, wenn sie dasselbe Minimalpolynom über haben. Die Nullstellen des Minimalpolynoms von in heißen „Konjugierte von (in )“. Jeder -Automorphismus von (d. h. ein -Automorphismus, der punktweise festhält) bildet auf eine seiner Konjugierten ab.
Analog definiert man Konjugiertheit von Elementen und Idealen bezüglich einer Ringerweiterung.