Ext ist ein Bifunktor, der in der homologischen Algebra eine zentrale Rolle spielt.

Sei ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ eine abelsche Kategorie, zum Beispiel die Kategorie der Moduln eines Ringes, die nach dem Einbettungssatz von Mitchell das Standardbeispiel ist. Zu zwei Objekten ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Z}$ aus ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ sei ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ die Klasse der kurzen exakten Sequenzen der Form

${\displaystyle 0\rightarrow X\rightarrow Y\rightarrow Z\rightarrow 0.}$

Auf ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ wird nun eine Äquivalenzrelation definiert. Zwei exakte Sequenzen ${\displaystyle 0\rightarrow X\rightarrow Y\rightarrow Z\rightarrow 0}$ und ${\displaystyle 0\rightarrow X\rightarrow Y'\rightarrow Z\rightarrow 0}$ sind äquivalent, wenn es einen Morphismus ${\displaystyle g\colon Y\to Y'}$ gibt, so dass das Diagramm

${\displaystyle {\begin{matrix}0&\to &X&\to &Y&\to &Z&\to &0\\&&\downarrow \operatorname {id} &&\downarrow g&&\downarrow \operatorname {id} \\0&\to &X&\to &Y'&\to &Z&\to &0\end{matrix}}}$

kommutiert. Dabei ist ${\displaystyle \operatorname {id} }$ der identische Morphismus.

Aus dem Fünferlemma folgt sofort, dass wenn es solch einen Morphismus ${\displaystyle g}$ gibt, dieser ein Isomorphismus sein muss. Die Klasse ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ modulo dieser Äquivalenzrelation ist eine Menge und wird mit ${\displaystyle \mathrm {Ext} (Z,X)}$ bezeichnet. Auf dieser Menge lässt sich eine Gruppenstruktur definieren.^[1][2]

Morphismen in der abelschen Kategorie induzieren auf folgende Weise Morphismen zwischen den Ext-Gruppen, so dass ${\displaystyle \mathrm {Ext} }$ zu einem zweistelligen Funktor wird.

Zu ${\displaystyle g\colon X\to X'}$ und der Sequenz ${\displaystyle 0\rightarrow X\rightarrow Y\rightarrow Z\rightarrow 0}$ kann man den Push-out bilden:

${\displaystyle {\begin{matrix}0&\to &X&\to &Y&\to &Z&\to &0\\&&\downarrow g&&\downarrow &&\\0&\to &X'&\to &Y'\end{matrix}}}$

Wegen der universellen Eigenschaft des Push-outs gibt es einen induzierten Epimorphismus von Y' nach Z, so dass das folgende Diagramm kommutiert:

${\displaystyle {\begin{matrix}0&\to &X&\to &Y&\to &Z&\to &0\\&&\downarrow g&&\downarrow &&\downarrow \operatorname {id} \\0&\to &X'&\to &Y'&\to &Z&\to &0\end{matrix}}}$

Dabei ist die untere Zeile ebenfalls exakt und ihre Äquivalenzklasse somit ein Element in ${\displaystyle \mathrm {Ext} (Z,X')}$.

Bildet man die Äquivalenzklasse von ${\displaystyle 0\rightarrow X\rightarrow Y\rightarrow Z\rightarrow 0}$ auf die Äquivalenzklasse von ${\displaystyle 0\rightarrow X'\rightarrow Y'\rightarrow Z\rightarrow 0}$ ab, so erhält man einen wohldefinierten Gruppenhomomorphismus ${\displaystyle \mathrm {Ext} (Z,X)\rightarrow \mathrm {Ext} (Z,X')}$.

Dual funktioniert das auch mit Morphismen von Z' nach Z. Zu ${\displaystyle g\colon Z'\to Z}$ und der Sequenz ${\displaystyle 0\rightarrow X\rightarrow Y\rightarrow Z\rightarrow 0}$ kann man folgenden Pull-back bilden:

${\displaystyle {\begin{matrix}&&&&Y'&\to &Z'&\to &0\\&&&&\downarrow &&\downarrow g\\0&\to &X&\to &Y&\to &Z&\to &0\end{matrix}}.}$

Wegen der universellen Eigenschaft des Pull-backs gibt es einen induzierten Monomorphismus von X nach Y', so dass das folgende Diagramm kommutiert:

${\displaystyle {\begin{matrix}0&\to &X&\to &Y'&\to &Z'&\to &0\\&&\downarrow \operatorname {id} &&\downarrow &&\downarrow g\\0&\to &X&\to &Y&\to &Z&\to &0\end{matrix}}}$

Dabei ist die obere Zeile ebenfalls exakt und definiert somit ein Element in ${\displaystyle \mathrm {Ext} (Z',X)}$.

Bildet man die Äquivalenzklasse von ${\displaystyle 0\rightarrow X\rightarrow Y\rightarrow Z\rightarrow 0}$ auf die Äquivalenzklasse von ${\displaystyle 0\rightarrow X\rightarrow Y'\rightarrow Z'\rightarrow 0}$ ab, so erhält man wieder einen wohldefinierten Gruppenhomomorphismus ${\displaystyle \mathrm {Ext} (Z,X)\rightarrow \mathrm {Ext} (Z',X)}$.

Eine andere Möglichkeit der Definition verwendet die abgeleiteten Funktoren von Hom. Die oben definierte Konstruktion kann mit der ersten Rechtsableitung des Hom-Funktors identifiziert werden.

Genauer betrachtet man eine abelsche Kategorie mit ausreichend vielen projektiven Objekten (d. h. jedes Objekt ist Quotient eines projektiven Objektes) den kontravarianten Funktor ${\displaystyle \mathrm {Hom} (-,X)}$ und definiert

${\displaystyle \mathrm {Ext} ^{n}(Z,X):=R_{n}\mathrm {Hom} (-,X)(Z)}$,

das heißt man bildet die ${\displaystyle n}$-te Rechtsableitung von ${\displaystyle \mathrm {Hom} (-,X)}$ und wendet den so entstandenen Funktor auf ${\displaystyle Z}$ an.

Etwas konkreter bedeutet das folgendes: Es sei ${\displaystyle n\geq 1}$ und

${\displaystyle {\begin{array}{ccccc}\ldots \rightarrow &P_{n}&\rightarrow &P_{n-1}&\rightarrow \ldots \rightarrow Z\rightarrow 0\\&\lambda _{n}\downarrow &\nearrow \kappa _{n}\\&K_{n}\end{array}}}$

eine projektive Auflösung von ${\displaystyle Z}$ mit einem Epimorphismus ${\displaystyle \lambda _{n}:P_{n}\rightarrow K_{n}}$ und einem Monomorphismus ${\displaystyle \kappa _{n}:K_{n}\rightarrow P_{n-1}}$, so dass ${\displaystyle (P_{n}\rightarrow P_{n-1})=\kappa _{n}\circ \lambda _{n}}$. Weiter sei ${\displaystyle \kappa _{n}^{*}=\mathrm {Hom} (\kappa _{n},X)}$ der induzierte Homomorphismus

${\displaystyle \kappa _{n}^{*}:\mathrm {Hom} (P_{n-1},X)\rightarrow \mathrm {Hom} (K_{n},X),\,f\mapsto f\circ \kappa _{n}}$.

Dann ist

${\displaystyle \mathrm {Ext} ^{n}(Z,X)\cong \mathrm {coker} (\kappa _{n}^{*})=\mathrm {Hom} (K_{n},X)/\kappa _{n}^{*}(\mathrm {Hom} (P_{n-1},X))}$.

Die Elemente aus ${\displaystyle \mathrm {Ext} ^{n}(Z,X)}$ sind also gewisse Äquivalenzklassen von Elementen aus ${\displaystyle \mathrm {Hom} (K_{n},X)}$.^[3]

Schließlich sei darauf hingewiesen, dass man die Rollen von ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Z}$ auch vertauschen kann, man erhält

${\displaystyle \mathrm {Ext} ^{n}(Z,X)\cong R_{n}\mathrm {Hom} (Z,-)(X)}$.

In diesem Abschnitt soll erläutert werden, wie die oben definierten Konstrukte ${\displaystyle \mathrm {Ext} }$ und ${\displaystyle \mathrm {Ext} ^{1}}$ zusammenhängen. Wir konstruieren eine Abbildung ${\displaystyle \mathrm {Ext} (Z,X)\rightarrow \mathrm {Ext} ^{1}(Z,X)}$.

Sei ${\displaystyle 0\rightarrow X\rightarrow Y\rightarrow Z\rightarrow 0}$ eine kurze exakte Sequenz, die ein Element aus ${\displaystyle \mathrm {Ext} (Z,X)}$ definiert. Weiter sei ${\displaystyle 0\rightarrow K\rightarrow P\rightarrow Z\rightarrow 0}$ eine kurze exakte Sequenz mit projektivem ${\displaystyle P}$. Mittels der Projektivität von ${\displaystyle P}$ kann man ein kommutatives Diagramm

${\displaystyle {\begin{array}{ccccccc}0\rightarrow &K&\rightarrow &P&\rightarrow &Z&\rightarrow 0\\&\downarrow \psi &&\downarrow \varphi &&\Vert \\0\rightarrow &X&\rightarrow &Y&\rightarrow &Z&\rightarrow 0\end{array}}}$

konstruieren. Dann ist ${\displaystyle \psi \in \mathrm {Hom} (K,X)}$ ein Homomorphismus, dessen Äquivalenzklasse nach obiger Darstellung von ${\displaystyle \mathrm {Ext} ^{n}(Z,X)}$ ein Element aus ${\displaystyle \mathrm {Ext} ^{1}(Z,X)}$ definiert.

Bildet man die Äquivalenzklasse von ${\displaystyle 0\rightarrow X\rightarrow Y\rightarrow Z\rightarrow 0}$ in ${\displaystyle \mathrm {Ext} (Z,X)}$ auf die Äquivalenzklasse von ${\displaystyle \psi }$ in ${\displaystyle \mathrm {Ext} ^{1}(Z,X)}$ ab, so erhält man eine wohldefinierte Abbildung ${\displaystyle \mathrm {Ext} (Z,X)\rightarrow \mathrm {Ext} ^{1}(Z,X)}$, von der man zeigen kann, dass es sich um einen Gruppenisomorphismus handelt.^[4]

Daher kann man ${\displaystyle \mathrm {Ext} }$ mit ${\displaystyle \mathrm {Ext} ^{1}}$ identifizieren, das heißt ${\displaystyle \mathrm {Ext} }$ kann in diesem Sinne als erste Rechtsableitung des ${\displaystyle \mathrm {Hom} }$-Funktors definiert werden.

Der Hom-Funktor ist linksexakt, das heißt für eine kurze exakte Sequenz

${\displaystyle 0\rightarrow X\rightarrow Y\rightarrow Z\rightarrow 0}$

und ein weiteres Objekt (Modul) ${\displaystyle A}$ hat man eine exakte Sequenz

${\displaystyle 0\rightarrow \mathrm {Hom} (A,X)\rightarrow \mathrm {Hom} (A,Y)\rightarrow \mathrm {Hom} (A,Z)}$,

und diese lässt sich im Allgemeinen nicht exakt mit 0 fortsetzen. Wegen der Linksexaktheit stimmt die 0-te Ableitung des Hom-Funktors mit Hom überein, das heißt, wenn man obige Definition von ${\displaystyle \mathrm {Ext} ^{n}}$ auf ${\displaystyle n=0}$ ausdehnt, so hat man ${\displaystyle \mathrm {Ext} ^{0}=\mathrm {Hom} }$. Die lange exakte Sequenz für abgeleitete additive Funktoren liefert daher die folgende exakte Sequenz

${\displaystyle 0\rightarrow \mathrm {Hom} (A,X)\rightarrow \mathrm {Hom} (A,Y)\rightarrow \mathrm {Hom} (A,Z)}$

${\displaystyle \rightarrow \mathrm {Ext} ^{1}(A,X)\rightarrow \mathrm {Ext} ^{1}(A,Y)\rightarrow \mathrm {Ext} ^{1}(A,Z)\rightarrow \mathrm {Ext} ^{2}(A,X)\rightarrow \ldots }$.

Analog erhält man eine lange exakte Sequenz

${\displaystyle 0\rightarrow \mathrm {Hom} (Z,A)\rightarrow \mathrm {Hom} (Y,A)\rightarrow \mathrm {Hom} (X,A)}$

${\displaystyle \rightarrow \mathrm {Ext} ^{1}(Z,A)\rightarrow \mathrm {Ext} ^{1}(Y,A)\rightarrow \mathrm {Ext} ^{1}(X,A)\rightarrow \mathrm {Ext} ^{2}(Z,A)\rightarrow \ldots }$.

In diesem Sinne schließen die Ext-Funktoren die durch die fehlende Exaktheit des Hom-Funktors entstandene Lücke.^[5]

1. ↑ Sergei I. Gelfand & Yuri Ivanovich Manin: Homological Algebra, Springer, Berlin, 1999, ISBN 978-3-540-65378-3
2. ↑ Charles A. Weibel: An introduction to homological algebra, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 38, Cambridge University Press, 1999, ISBN 978-0-521-55987-4
3. ↑ Peter Hilton: Lectures in Homological Algebra, American Mathematical Society (2005), ISBN 0-8218-3872-5, Satz 3.13
4. ↑ Peter Hilton: Lectures in Homological Algebra, American Mathematical Society (2005), ISBN 0-8218-3872-5, Theorem 4.5
5. ↑ Saunders Mac Lane: Homology, Springer Grundlehren der mathematischen Wissenschaften Band 114 (1967), Kap. III, Theorem 3.4 und Theorem 9.1