Ein kompaktes Objekt (auch endlich präsentiertes Objekt) ist im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie ein Objekt einer Kategorie, das eine gewisse Endlichkeitsbedingung erfüllt.

Ein Objekt ${\displaystyle X}$ einer Kategorie ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, die alle filtrierten Kolimiten enthält heißt kompakt, falls der Funktor

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\mathcal {C}}(X,\cdot ):C\to \mathbf {Set} ,Y\mapsto \operatorname {Hom} _{\mathcal {C}}(X,Y)}$

filtrierte Kolimiten erhält, das heißt, falls die kanonische Abbildung

${\displaystyle \operatorname {colim} _{i}\operatorname {Hom} _{\mathcal {C}}(X,Y_{i})\to \operatorname {Hom} _{\mathcal {C}}(X,\operatorname {colim} _{i}Y_{i})}$

für jedes filtrierte System von Objekten ${\displaystyle Y_{i}}$ in ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ eine Bijektion ist.^[1] Analog heißt ${\displaystyle X}$ kokompakt, falls der Funktor ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\mathcal {C}}(\cdot ,X)}$ kofiltrierte Limiten erhält.

• Jacob Lurie: Higher Topos Theory, Princeton University Press 2009, ISBN 978-0-691-14049-0, Arxiv: math.CT/0608040

1. ↑ Lurie: §5.3.4