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Ein Googolplexian ist die Zahl

${\displaystyle 10^{10^{10^{100}}}.}$

Wenn man Googolplexian Affen nebeneinander rein zufällig auf Tastaturen mit den üblichen Zeichen herumtippen lässt, so wird mit einer Wahrscheinlichkeit von über

${\displaystyle 99{,}999\cdots \underbrace {999999999999\cdots 9999999999999} _{\text{(weit!) mehr Neunen als Atome im Universum}}\cdots \%}$

mindestens einer davon auf Anhieb fehlerfrei die gesamte deutsche Wikipedia mit derzeit über 14 Milliarden Zeichen aufschreiben. Ähnliches gilt für alle Bücher, die jemals verfasst wurden, etwa die Bibel, die Werke von William Shakespeare und die Harry Potter Romane. Zudem würden innerhalb weniger Jahre etliche Milliarden neuartige Werke - jedes davon würdig eines Kanons der Weltliteratur - entstehen.

Auch faszinierend ist die „Fast-Ganzzahligkeit“ der folgenden Größe:

${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}+{\frac {196884}{e^{\pi {\sqrt {163}}}}}=262537412640768744{,}\,00000000000000000000000000031183868722222759\ldots \qquad }$ (mit der Kreiszahl ${\displaystyle \pi =3,141\ldots }$ und der Eulerschen Zahl ${\displaystyle e=2,718\ldots }$)

Diese ist übrigens kein Zufall, denn:

• ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-163}})}$ ist der „größte“ imaginär-quadratische Zahlkörper, in dessen Ganzheitsring eine eindeutige Primfaktorzerlegung existiert.
• Es kann die Monstergruppe aus einem 196884-dimensionalen Raum heraus konstruiert werden.

Wer verbirgt sich hinter Googolplexian?

Ich bin promovierter Mathematiker und forsche und lehre an einer Universität in Deutschland. Mein Spezialgebiet ist die analytische Zahlentheorie. Ich interessiere mich aber auch sehr für Wahrscheinlichkeitstheorie, Analysis, Algebra und algebraische Geometrie. In meiner Freizeit lese ich viel (besonders über Mathematik und Physik), spiele gerne und beschäftige mich mit Sprache und Musik.

Was tut Googolplexian in der deutschen Wikipedia?

Seit dem 11. März 2011 bin ich in der Wikipedia aktiv und freue mich auf eine schöne Zusammenarbeit!

Wikipedia ist ein riesiger Apparat, und viele tausend Menschen bringen Tag für Tag ihre individuellen Stärken mit ein. Ich persönlich lege den Schwerpunkt meiner Mitarbeit schon seit längerem auf die Tiefe anstatt auf die Breite. So versuche ich Themen, die ich als wichtig erachte, oder die mir persönlich am Herzen liegen, im großen Detail auszuarbeiten. Naturgemäß baue ich also einige wenige Artikel umfänglich auf, anstatt viele hundert kleine neu anzulegen (zu betonen bleibt, dass beide Ansätze aber völlig legitim sind: Wir brauchen sowohl „die Tiefgrabenden“, als auch „die Generalisten“). Dabei fahre ich - wie bereits angedeutet - zweigleisig: Habe ich früher meist meine „Lieblinge“ ausgearbeitet, achte ich zunehmend auch auf den Aufbau und die Pflege zentraler Themen. Ein erstes „Prestigeprojekt“ in diese Richtung ist mein SW-Kandidat Binomische Formeln. Auch beteilige ich mich eher selten an technischen (Meta)Diskussionen rund um Weiterleitungen, Rechtschreibkonventionen, Kategorien o.ä., worin andere viel besser sind als ich.

Es mangelt unserer Enzyklopädie an allgemeinverständlichen und ausführlichen Artikeln zur Mathematik. Zu meinen Richtlinien bei der Artikelerstellung äußere ich mich im Detail bei meiner Artikelarbeit. Ich bin, unter andrem was diese Punkte betrifft, stets für Kritik und ein gute Diskussion zu haben. Auf meiner Artikelbaustelle kannst du außerdem gerne Wünsche von Artikeln eintragen, die neu angelegt oder weiter verbessert werden sollten. Ich schaue dann, was ich tun kann!

Hiermit gratuliere ich Benutzer
Googolplexian1221
zu 10 Jahren ehrenamtlicher Arbeit
im Dienst der Verbesserung unserer Enzyklopädie
und verleihe ihm den

Wikiläums-Verdienstorden in Silber
gez. Wolfgang Rieger (Diskussion) 08:28, 11. Mär. 2021 (CET)

Ich habe es außerordentlich gern, andere Menschen kennenzulernen und freue mich immer über gemeinsame Projekte und das Austauschen von Ideen. Schreibe mir also gerne eine Nachricht auf meine Diskussionsseite, zum Beispiel wenn wir einen Artikel zusammen verbessern wollen. Nur keine Scheu!

Zudem pflege ich hin und wieder das Portal:Mathematik. Zudem war ich Juror im 39. Schreibwettbewerb. Mein Ziel ist es zudem, die folgenden Artikel exzellent zu machen:

• Kreiszahl (Baustelle)
• Integralrechnung (Baustelle)
• partielle Integration
• Integration durch Substitution
• Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
• Modulform (Baustelle)
• Elliptische Kurve
• Primzahl
• Teilbarkeit
• Kreis
• Modularitätssatz
• Weil-Vermutungen
• Analytische Zahlentheorie
• Funktionentheorie
• Analysis und Lineare Algebra
• Ramanujansche tau-Funktion

Lineare Gleichungen(ssysteme), Lage von Ebenen und Geraden, Matrizen, bedingte Wahrscheinlichkeit, Urnenmodelle, Erwartungswert und Varianz, einfache statistische Test (meist Binomialtest), Zufallsvariable, Verteilungsbegriff (insbesondere Binomialverteilung, Multinomialverteilung, Normalverteilung), Grenzwertbegriff, Potenzrechnung, Wachstumsarten, Algorithmen zur Wurzelberechnung, euklidischer Algorithmus, Dreiecke, Vierecke, Strahlensatz, Ähnlichkeit, ähnliche Dreiecke, Kongruenzsätze (für Dreiecke), Umfang, Flächeninhalt.

Was treibt Googolplexian herum?

Mich persönlich reizen extrem schwierige Probleme, wie die globale Erwärmung sowie deren Leugnung, Fragen rund um künstliche Intelligenz, die Riemannsche Vermutung und die Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer, die ideale Staatsform, Fragen der Ethik und deren Quantifizierung.

Binomische Formeln

Die binomischen Formeln sind in der elementaren Algebra verbreitete Formeln zum Umformen von Produkten aus Binomen. Mit Binomen (deutsch: „zwei Namen“; eine Bezeichnung, die auf Euklid zurückgeht) sind mathematische Ausdrücke mit zwei Gliedern gemeint, die durch Addition oder Subtraktion verbunden sind, wie zum Beispiel

${\displaystyle 1+3,}$ ${\displaystyle \quad 13-7\quad }$ oder auch ${\displaystyle \quad a+b\,}$ (mit zwei noch nicht näher bestimmten Zahlen ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$).

In einigen Anwendungen ist das Rechnen mit quadrierten Binomen vonnöten: Zerteilt man in der Geometrie zum Beispiel die Seite eines Quadrates in die Längen ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b,}$ so hat es den Flächeninhalt ${\displaystyle (a+b)^{2}}$ (siehe Bild). Es bedeutet die Schreibweise ${\displaystyle x^{2}}$ (gesprochen: „${\displaystyle x}$ Quadrat“), dass die Zahl ${\displaystyle x}$ mit sich selbst multipliziert wird, also ${\displaystyle x^{2}=x\cdot x.}$ Zum Beispiel gilt ${\displaystyle 2^{2}=2\cdot 2=4}$.

Heegner-Punkt

Heegner-Punkte (benannt nach Kurt Heegner) sind Zahlen, die quadratische Gleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten lösen, und die mit Punkten auf geometrischen Figuren, nämlich Modulkurven, verknüpft werden können. Die mittels der Verknüpfung gegebenen Punkte auf Modulkurven werden ebenfalls Heegner-Punkte genannt und sind Gegenstand der arithmetischen Geometrie. Sie spielen eine bedeutende Rolle in der Theorie der elliptischen Kurven und in der Klassenkörpertheorie. Heegner-Punkte unterscheiden sich von den namensähnlichen Heegner-Zahlen.

Quadratisches Reziprozitätsgesetz

Das quadratische Reziprozitätsgesetz, gelegentlich auch Gaußsches Reziprozitätsgesetz, ist ein grundlegendes Gesetz aus der Zahlentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik. Es beschäftigt sich mit der Frage, ob es zu einer ganzen Zahl ${\displaystyle }$ und einer ungeraden Primzahl ${\displaystyle p}$ eine Quadratzahl ${\displaystyle m^{2}}$ gibt, sodass die Differenz ${\displaystyle m^{2}-a}$ durch ${\displaystyle p}$ teilbar ist. Genau genommen gibt es, zusammen mit den beiden unten genannten Ergänzungssätzen, ein Verfahren an, um zu entscheiden, ob eine Zahl quadratischer Rest oder Nichtrest einer Primzahl ist. Die Entdeckung des quadratischen Reziprozitätsgesetzes durch Leonhard Euler und der Beweis durch Gauß (Disquisitiones Arithmeticae 1801, er hatte aber bereits 1796 einen Beweis) waren die Ausgangspunkte der Entwicklung der modernen algebraischen Zahlentheorie.

Riemannsche Zeta-Funktion

Die Riemannsche Zeta-Funktion ist eine komplexwertige, spezielle mathematische Funktion, die in der analytischen Zahlentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, eine wichtige Rolle spielt. Erstmals betrachtet wurde sie im 18. Jahrhundert von Leonhard Euler, der sie im Rahmen des Basler Problems untersuchte. Bezeichnet wird sie üblicherweise mit dem Symbol ${\displaystyle \zeta (s)}$ (mit dem Buchstaben Zeta), wobei ${\displaystyle s}$ eine komplexe Zahl ihres Definitionsbereichs ist. Für Werte ${\displaystyle s\in \mathbb {C} }$ mit Realteil größer als 1 wird die Riemannsche Zeta-Funktion über eine Dirichlet-Reihe definiert. Mittels analytischer Fortsetzung kann sie zu einer auf ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{1\}}$ holomorphen Funktion ausgeweitet werden. Sie erfüllt eine wichtige Funktionalgleichung, mit deren Hilfe sie sogar charakterisiert werden kann.

Satz des Euklid

Der Satz des Euklid, manchmal auch Satz von Euklid, ist ein Lehrsatz aus der elementaren Zahlentheorie und besagt, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Benannt ist er nach Euklid von Alexandria, der ihn als Erster im dritten Jahrhundert v. Chr. in seinen Elementen bewies. Jedoch kannten die Mathematiker der Antike das Konzept der Unendlichkeit noch nicht. Euklid selbst formulierte den Satz daher wie folgt: „Es gibt mehr Primzahlen als jede vorgelegte Anzahl von Primzahlen“. Der ursprüngliche von Euklid geführte Beweis ist direkt und konstruktiv. Zu einer gegebenen endlichen Liste von Primzahlen wird stets eine weitere noch nicht vorhandene Primzahl erzeugt, ohne diese jedoch explizit anzugeben. Vielmehr wird argumentiert, dass jede endliche Liste von Primzahlen unvollständig ist. Daraus wird gefolgert, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. In der späteren Literatur wird oft fälschlicherweise behauptet, dass Euklids Argument anhand eines Widerspruchsbeweises aufgeführt sei. Jedoch lässt sich der Beweis leicht zu einem Widerspruchsbeweis umformulieren.

Satz von Dirichlet (Primzahlen)

Der Satz von Dirichlet, gelegentlich auch Dirichletscher Primzahlsatz, benannt nach Peter Gustav Lejeune Dirichlet, ist eine Aussage aus dem mathematischen Teilgebiet der Zahlentheorie. Er besagt, dass eine aufsteigende arithmetische Progression unendlich viele Primzahlen enthält, wenn dies nicht aus trivialen Gründen unmöglich ist. Eine arithmetische Progression ist dabei eine Folge ganzer Zahlen, sodass zwei aufeinanderfolgende Glieder stets dieselbe Differenz haben. Den ersten vollständigen Beweis der Aussage lieferte Dirichlet im Jahr 1837. Dabei wurden erstmals rein analytische Methoden für die Gewinnung eines zahlentheoretischen Satzes verwendet. Die Vermutung über Primzahlen in arithmetischen Folgen stammt von Adrien-Marie Legendre aus dem Jahr 1798, der in seinem Lehrbuch der Zahlentheorie einen fehlerhaften Beweis gab, wie Dirichlet darlegte. Anwendung findet der Satz innerhalb der Zahlentheorie, etwa im Beweis des Satzes von Hasse-Minkowski.

Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer

Die Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer, kurz BSD, ist eines der bedeutendsten ungelösten Probleme der modernen Mathematik und macht Aussagen zur Zahlentheorie auf elliptischen Kurven. Benannt wurde sie nach den Mathematikern Bryan Birch und Peter Swinnerton-Dyer, die sie erstmals im Jahr 1965 aufstellten, wobei sie ihre Vermutung auf eine bereits 1958 gestartete Serie von Berechnungen an den EDSAC-Computern stützten. Diese hatten zum Ziel gehabt, eine zur Klassenzahlformel von Dirichlet „analoge Theorie“ für elliptische Kurven zu entdecken. Die Vermutung wurde im Jahr 2000 vom Clay Mathematics Institute in die Liste der sieben Millennium-Probleme der Mathematik aufgenommen. Das Institut in Cambridge (Massachusetts) hat im Zuge dessen ein Preisgeld von einer Million US-Dollar für eine schlüssige Lösung des Problems in Form eines mathematischen Beweises ausgelobt. Hinsichtlich des Auffindens potenzieller Gegenbeispiele existieren in der Preisausschreibung jedoch Sonderregeln, insbesondere dann, wenn diese mit der Rechengeschwindigkeit moderner Computer erlangt wurden, und keinerlei „tiefere Einsicht“ in das Problem geben können.

Differentialrechnung

Die Differential- oder Differenzialrechnung ist ein wesentlicher Bestandteil der Analysis und damit ein Gebiet der Mathematik. Zentrales Thema der Differentialrechnung ist die Berechnung lokaler Veränderungen von Funktionen. Während eine Funktion ihren Eingabewerten nach tabellarischem Prinzip gewisse Ausgangswerte zuordnet, wird durch die Differentialrechnung ermittelt, wie stark sich die Ausgabewerte nach sehr kleinen Veränderungen der Eingabewerte ändern. Sie ist eng verwandt mit der Integralrechnung, mit der sie gemeinsam unter der Bezeichnung Infinitesimalrechnung zusammengefasst wird.

Geometrische Reihe

Eine geometrische Reihe ist die Reihe ${\displaystyle \textstyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}}$ einer geometrischen Folge ${\displaystyle a_{n}}$, sodass also zwei aufeinanderfolgende Reihenglieder stets dasselbe Verhältnis haben. Die Bezeichnung weist darauf hin, dass jeder Summand das geometrische Mittel aus Vorgänger und Nachfolger ist. Ein Beispiel einer geometrischen Reihe ist ${\displaystyle 1+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{8}}+{\tfrac {1}{16}}+\cdots }$ mit Reihenwert ${\displaystyle 2}$. Ganz allgemein besitzt sie die Gestalt ${\displaystyle a+aq+aq^{2}+aq^{3}+\cdots }$ mit einem Vorfaktor ${\displaystyle a}$ und dem gemeinsamen Verhältnis ${\displaystyle q\not =0}$. In der Literatur wird jedoch häufig schlicht ${\displaystyle a=1}$ gesetzt.

Bei geometrischen Reihen handelt es sich um Reihen „besonders einfacher Bauart“. In der Mathematik, besonders der Analysis, hat dies große Vorteile. Soll etwa eine bestimmte unendliche Reihe analysiert werden, die komplizierte Eigenschaften hat, so kann diese manchmal durch eine geometrische Reihe „imitiert“ werden, und diese Vereinfachung ermöglicht es schließlich doch, Aussagen zu treffen. Diese „Imitation“ ist zum Beispiel bezüglich allgemeiner Potenzreihen hinsichtlich Fragen der Konvergenz „fast perfekt“, was schließlich zum Begriff des Konvergenzradius führt, einer sehr aussagekräftigen Kenngröße dieser Reihen und damit der Funktionentheorie im Allgemeinen.

Holomorphe Funktion

In der Mathematik sind holomorphe Funktionen (von gr. ὅλος holos, „ganz“ und μορφή morphe, „Form“) komplexwertige Funktionen (Abbildungen von komplexen Zahlen in komplexe Zahlen), die in der Funktionentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, untersucht werden. Eine komplexwertige Funktion mit Definitionsbereich ${\displaystyle U}$ heißt holomorph, falls sie an jeder Stelle von ${\displaystyle U}$ komplex differenzierbar ist. Die aus der Schulmathematik bekannten Rechenregeln zum Ableiten vormals reeller Funktionen gelten dabei weiterhin für komplexe Funktionen, obgleich der Holomorphiebegriff viel weitreichendere Konsequenzen nach sich zieht. Anschaulich bedeutet Holomorphie, dass sich die betroffene Funktion an jeder Stelle „fast“ wie eine aus mathematischer Sicht leicht zu verstehende (komplexwertige) lineare Funktion verhält. Erstmals eingeführt und studiert wurden holomorphe Funktionen im 19. Jahrhundert von Augustin-Louis Cauchy, Bernhard Riemann und Karl Weierstraß, obgleich sich die Terminologie der Holomorphie erst im 20. Jahrhundert flächendeckend durchsetzte. Besonders in älterer Literatur werden solche Funktionen auch „regulär“ genannt. Aufgrund ihrer breiten Anwendungsmöglichkeiten zählen sie zu den wichtigsten Funktionstypen innerhalb der Mathematik.

Produktregel

Die Produktregel oder Leibnizregel (nach Gottfried Wilhelm Leibniz) ist eine grundlegende Regel der Differentialrechnung. Mit ihr wird die Ableitung eines Produktes von Funktionen aus den Ableitungen der einzelnen Funktionen berechnet. In Lagrange-Notation lautet die Produktregel

${\displaystyle (u\cdot v)'=u'\cdot v+u\cdot v'}$.

Der Vorteil dieser Regel liegt darin, dass es im Allgemeinen einfacher ist, die Ableitungen beider Faktoren separat zu berechnen, als jene des gesamten Produkts auf einmal.

Reihe (Mathematik)

Eine Reihe, selten Summenfolge oder unendliche Summe, und vor allem in älteren Darstellungen auch unendliche Reihe genannt, ist ein Objekt aus dem mathematischen Teilgebiet der Analysis. Anschaulich ist eine Reihe eine Summe mit unendlich vielen Summanden, wie etwa

${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{32}}+\cdots .}$

Man kann Reihen als rein formale Objekte studieren, jedoch sind Mathematiker in vielen Fällen an der Frage interessiert, ob eine Reihe konvergiert, sich die unendlich lange Summe also langfristig einem festen Wert immer weiter annähert. In etwa konvergiert die obere Beispielreihe gegen den Wert ${\displaystyle 1}$ (siehe Bild). Allgemein wird eine Reihe ${\displaystyle a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots }$ mit ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$ bezeichnet, und dies ist, falls existent, gleichzeitig die Bezeichnung für den Grenzwert.

Dreiteilung des Winkels

Unter der Dreiteilung des Winkels (auch: Trisektion des Winkels) versteht man in der Geometrie das Problem, ob man einen beliebigen Winkel nur mit Hilfe von Zirkel und Lineal (den euklidischen Werkzeugen) konstruktiv und präzise in drei gleich große Winkel unterteilen kann. Die Dreiteilung des Winkels gehört zu den drei klassischen Problemen der antiken Mathematik und ist nur für bestimmte Winkel durchführbar.

Goldener Schnitt

Der Goldene Schnitt (lateinisch sectio aurea, proportio divina, Bedeutung: Goldener Schnitt bzw. göttliche Proportion), gelegentlich auch stetige Teilung, einer Strecke bezeichnet ihre Zerlegung in zwei Teilstrecken, sodass sich die längere Teilstrecke zur kürzeren Teilstrecke verhält wie die Gesamtstrecke zur längeren Teilstrecke. Das Konzept ist bereits seit der Antike zur Zeit des Euklid bekannt. Der Goldene Schnitt findet häufige Anwendung in der Kunst, taucht aber auch in der Natur auf.

Leonhard Euler

Leonhard Euler (lateinisch Leonhardus Eulerus; * 15. April 1707 in Basel; † 7. September [jul.]/ 18. September 1783 [greg.] in Sankt Petersburg) war ein Schweizer Mathematiker, Physiker, Astronom, Geograph, Logiker und Ingenieur. Er machte wichtige und weitreichende Entdeckungen in vielen Zweigen der Mathematik, wie beispielsweise der Infinitesimalrechnung und der Graphentheorie. Gleichzeitig leistete Euler fundamentale Beiträge auf anderen Gebieten wie der Topologie und der analytischen Zahlentheorie. Er prägte große Teile der bis heute weltweit gebräuchlichen mathematischen Terminologie und Notation. Beispielsweise führte Euler den Begriff der mathematischen Funktion in die Analysis ein. Er ist zudem für seine Arbeiten in der Mechanik, Strömungsdynamik, Optik, Astronomie und Musiktheorie bekannt.

Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

Das wissenschaftliche Werk von Leonhard Euler ist das umfangreichste von einem Mathematiker jemals geschaffene. Es umfasst unter anderem grundlegende Resultate in den Bereichen Infinitesimalrechnung, Analysis, Mechanik, Astronomie, Geodäsie, Zahlentheorie, Algebra, Trigonometrie, Geometrie, Musiktheorie und Optik. Zu Eulers berühmtesten Resultaten zählen die Lösung des Basler Problems, der Polyedersatz und die Eulersche Identität, wobei letztere eine enge Verbindung zwischen zahlreichen fundamentalen mathematischen Konstanten zieht. Für diese und andere Ergebnisse erhielt Euler auch posthum viele Ehrungen.

useful

• Siegfried Bosch: Algebra. 8. Auflage, Springer Spektrum, Berlin/Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-39566-6.
• Jens Carsten Jantzen, Joachim Schwermer: Algebra. 2. Auflage, Springer Spektrum Berlin, Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-40532-7.
• Serge Lang: Algebra. Revised Third Edition. Springer Science+Business Media, New York 2002, ISBN 978-0-387-95385-4.
• Franz Lemmermeyer: Mathematik à la Carte – Babylonische Algebra. Springer Verlag, Berlin 2022, ISBN 978-3-662-66286-1.

• Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis 1. 3. Auflage. Birkhäuser, Basel/Boston/Berlin 2006, ISBN 978-3-7643-7755-7.
• Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis 2. 2. Auflage. Birkhäuser, Basel/Boston/Berlin 2006, ISBN 978-3-7643-7105-0.
• Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis 3. 2. Auflage. Birkhäuser, Basel/Boston/Berlin 2008, ISBN 978-3-7643-8883-6.
• Edwin F. Beckenbach, Richard Bellmann: Inequalities. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 30, Second Revised Printing, Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg / New York 1965.
• Ludmila Bourchtein, Andrei Bourchtein: Theory of Infinite Sequences and Series. Birkhäuser, Cham 2022, ISBN 978-3-030-79430-9.
• David M. Bressoud: A Radical Approach to Lebesgue's Theory of Integration. Cambridge University Press, New York 2008, ISBN 978-0-521-71183-8.
• David M. Bressoud: Second Year Calculus. Springer Science+Business Media, New York 1991, ISBN 978-0-387-97606-8.
• Stefan Hildebrandt: Analysis 1. 2. Auflage, Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 2006, ISBN 978-3-540-25368-6.
• Stefan Hildebrandt: Analysis 2. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 2003, ISBN 978-3-540-43970-7.
• Konrad Knopp: Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen. 6. Auflage, Springer-Verlag, Berlin u. a. 1996, ISBN 3-540-59111-7.
• Jacob Korevaar: Tauberian Theory. A Century of Developments. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 2004, ISBN 3-540-21058-X.
• Serge Lang: A First Course in Calculus. Fifth Edition, Springer-Verlag, New York 1986, ISBN 978-0-387-96201-6.
• Serge Lang: Calculus of Several Variables. Third Edition, Springer-Verlag, New York 1987, ISBN 978-0-387-96405-8.
• Serge Lang: Real and Functional Analysis. Third Edition, Springer-Verlag Inc., New York 1993, ISBN 978-0-387-94001-4.
• Serge Lang: Undergraduate Analysis. Second Edition, Springer Science+Business Media, New York 1997, ISBN 978-0-387-94841-6.
• Ron Larson, Bruce Edwards: Calculus. With CalcChat and CalcView. 12e. Twelfth Edition, Cengage Learning, Inc., Australia u.a. 2023, ISBN 978-0-357-74916-6.
• George Pólya, Gábor Szegő: Aufgaben und Lehrsätze aus der Analysis. Erster Band. (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen. Band 19) Dritte Auflage, Springer-Verlag, Berlin Göttingen Heidelberg New York 1964.
• George Pólya, Gábor Szegő: Aufgaben und Lehrsätze aus der Analysis. Zweiter Band. (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen. Band 20) Dritte Auflage, Springer-Verlag, Berlin Göttingen Heidelberg New York 1964.
• Kennan T. Smith: Primer of Modern Analysis. Springer-Verlag, New York Berlin Heidelberg Tokyo 1983, ISBN 978-0-387-90797-1.
• Elias Stein, Rami Shakarchi: Fourier Analysis. Princeton University Press, Princeton New Jersey 2003, ISBN 978-0-691-11384-5.
• Elias Stein, Rami Shakarchi: Real Analysis. Princeton University Press, Princeton New Jersey 2005, ISBN 978-0-691-11386-9.
• Terence Tao: Analysis I. Third Edition, Hindustan Book Agency, New Delhi 2006, ISBN 978-93-80250-64-9.
• Terence Tao: Analysis II. Third Edition, Hindustan Book Agency, New Delhi 2006, ISBN 978-93-80250-65-6.
• Nico M. Temme: Asymptotic Methods for Integrals. World Scientific, 2015, ISBN 978-981-4612-15-9.
• K. Zeller, W. Beekmann: Theorie der Limitierungsverfahren (= Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Band 15). Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg / New York 1970.

• John Coates: The Conjecture of Birch and Swinnerton-Dyer. In: John Forbes Nash Jr., Michael Th. Rassias (Hrsg.): Open problems in mathematics. Springer 2016, ISBN 978-3-319-32160-8, S. 207–224.
• Henri Cohen: Elliptic Curves. In: M. Waldschmidt, P. Moussa, J.-M. Luck, C. Itzykson (Hrsg.): From Number Theory to Physics, Springer-Verlag (Second Corrected Printing 1995), Berlin/Heidelberg 1992, ISBN 3-540-53342-7, S. 212–237.
• Dale Husemöller: Elliptic curves. With appendices by Otto Forster, Ruth Lawrence, and Stefan Theisen. 2. Auflage. Springer, New York 2004, ISBN 0-387-95490-2.
• Anthony W. Knapp: Elliptic curves. Princeton University Press, Princeton, N.J. 1992, ISBN 0-691-08559-5.
• Neal Koblitz: Introduction to elliptic curves and modular forms. Springer, New York 1984, ISBN 0-387-96029-5.
• Joseph H. Silverman: The Arithmetic of Elliptic Curves 2. Auflage. Springer-Verlag, Dordrecht / Heidelberg / London / New York 2009, ISBN 978-0-387-09493-9.
• Joseph H. Silverman: Advanced Topics in the Arithmetic of Elliptic Curves. Springer-Verlag, New York 1994, ISBN 978-0-387-94328-2.
• Joseph H. Silverman, John Tate: Rational points on elliptic curves. Springer-Verlag, New York 1992, ISBN 0-387-97825-9.
• Andrew Wiles: The Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture. In: J. Carlson, A. Jaffe, und A. Wiles (Hrsg.) The Millennium Prize Problems, Clay Mathematical Institute jointly with the American Mathematical Society, ISBN 0-8218-3679-X, S. 31–41.

• George E. Andrews, Richard Askey, Ranjan Roy: Special Functions. (= Encyclopedia of Mathematics and its Applications Band 71) Cambridge University Press, New York 2000, ISBN 978-0-521-78988-2.
• Richard Beals, Roderick S. C. Wong: Explorations in Complex Functions. Springer-Verlag, Switzerland 2020, ISBN 978-3-030-54532-1.
• Robert B. Burckel: Classical Analysis in the Complex Plane. Birkhäuser-Verlag, New York 2021, ISBN 978-1-0716-1963-6.
• John B. Conway: Functions of One Complex Variable I. 2. Auflage. Springer Verlag, New York 1978, ISBN 0-387-90328-3.
• John B. Conway: Functions of One Complex Variable II, Springer-Verlag, New York 1995, ISBN 0-387-94460-5.
• Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1, 4. Auflage, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2006, ISBN 978-3-540-31764-7.
• Eberhard Freitag: Funktionentheorie 2, 2. Auflage, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-45306-9.
• Theodore W. Gamelin: Complex Analysis. Springer-Verlag, New York 2001, ISBN 978-0-387-95093-8.
• Peter Henrici: Applied and Computational Complex Analysis. Volume 1: Power Series - Integration - Conformal Mapping - Location of Zeros. John Wiley & Sons, New York London Sydney Toronto 1974, ISBN 0-471-37244-7.
• Peter Henrici: Applied and Computational Complex Analysis. Volume 2: Special Functions - Integral-Transforms - Asymptotics - Continued Fractions. John Wiley & Sons, New York London Sydney Toronto 1977, ISBN 0-471-01525-3.
• Peter Henrici: Applied and Computational Complex Analysis. Volume 3: Discrete Fourier-Analysis - Cauchy Integrals - Construction of Conformal Maps - Univalent Functions. John Wiley & Sons, New York London Sydney Toronto 1986, ISBN 0-471-37244-7.
• Alexander Isaev: Twenty-One Lectures on Complex Analysis. Springer International Publishing AG, 2017, ISBN 978-3-319-68169-6.
• Klaus Lamotke: Riemannsche Flächen. 2., ergänzte und verbesserte Auflage, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2009, ISBN 978-3-642-01710-0.
• Serge Lang: Complex Analysis, Fourth Edition, Springer Science+Business Media, New York 1999, ISBN 978-0-387-98592-3.
• Bruce P. Palka: An Introduction to Complex Function Theory. Springer Science+Business Media, New York 1991, ISBN 978-1-4612-6967-0.
• Reinhold Remmert, Georg Schumacher: Funktionentheorie 1, 5. Auflage, Springer-Verlag, Heidelberg 2002, ISBN 978-3-540-41855-5.
• Reinhold Remmert, Georg Schumacher: Funktionentheorie 2, 3. Auflage, Springer Verlag, Heidelberg 2007, ISBN 978-3-540-40432-3.
• Elias Stein, Rami Shakarchi: Complex Analysis. Princeton University Press, Princeton New Jersey 2003, ISBN 978-0-691-11385-2.

• Simon Rubinstein-Salzedo: Cryptography. Springer-Verlag, Schweiz 2018, ISBN 978-3-319-94817-1.

• George Andrews: The Theory of Partitions. Cambridge University Press, Cambridge 1984, ISBN 0-521-63766-X.
• Pavle Mladenovic: Combinatorics. Springer-Verlag, Schweiz 2019, ISBN 978-3-030-00830-7.

• Tom M. Apostol: Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory. Second Edition, Springer Science+Business Media, New York 1990, ISBN 978-0-387-97127-8.
• Kathrin Bringmann, Amanda Folsom, Ken Ono, Larry Rolen: Harmonic Maass Forms and Mock Modular Forms: Theory and Applications. American Mathematical Society, Colloquium Publications 64, Providence Rhode Island 2017, ISBN 978-1-4704-1944-8.
• Jan Hendrik Bruinier, Gerard van der Geer, Günter Harder, Don Zagier: The 1-2-3 of Modular Forms, Lectures at a Summer School in Nordfjordeid, Norway, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-74117-6.
• Henri Cohen, Fredrik Strömberg: Modular Forms. A Classical Approach. American Mathematical Society, Graduate Studies in Mathematics 179, Providence Rhode Island 2017, ISBN 978-0-8218-4947-7.
• Fred Diamond, Jerry Shurman: A First Course in Modular Forms. Springer-Verlag, New York 2005, ISBN 978-0-387-23229-4.
• Neal Koblitz: Introduction to elliptic curves and modular forms. Springer-Verlag, New York 1984, ISBN 978-0-387-96029-5.
• Max Koecher, Aloys Krieg: Elliptische Funktionen und Modulformen. 2. Auflage, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2007, ISBN 978-3-540-49324-2.
• Don Zagier: Introduction to Modular Forms. In: M. Waldschmidt, P. Moussa, J.-M. Luck, C. Itzykson (Hrsg.): From Number Theory to Physics, Springer-Verlag (Second Corrected Printing 1995), Berlin/Heidelberg 1992, ISBN 3-540-53342-7, S. 238–291.

• Richard Isaac: The Pleasures of Probability. Springer Verlag, New York 1995, ISBN 978-1-4612-6912-0.
• Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie (= Springer-Lehrbuch Masterclass.). 3., überarbeitete und ergänzte Auflage, Springer Spektrum, Berlin/Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36018-3.

• David M. Bressoud: Factorization and Primality Testing. Springer Verlag, New York / Berlin / Heidelberg 1989, ISBN 0-387-97040-1.
• Henri Cohen: Number Theory. Volume I: Tools and Diophantine Equations. Springer-Verlag, New York 2007, ISBN 978-0-387-49922-2.
• Henri Cohen: Number Theory. Volume II: Analytic and Modern Tools. Springer-Verlag, New York 2007, ISBN 978-0-387-49893-5.
• Julian Havil: Gamma – Eulers Konstante, Primzahlstrände und die Riemannsche Vermutung. Springer Verlag, o. O. 2007, ISBN 3-642-36627-9.
• Kenneth Ireland, Michael Rosen: A Classical Introduction to Modern Number Theory. Second Edition, Springer-Verlag, New York 1990, ISBN 0-387-97329-X.
• Neal Koblitz: A Course in Number Theory and Cryptography. Second Edition, Springer-Verlag, New York 1994, ISBN 3-540-94293-9.
• Steven J. Miller, Ramin Takloo-Birhash: An Invitation to Modern Number Theory. Princeton University Press, 2006, ISBN 978-0-691-12060-7.
• Władysław Narkiewicz: Elementary and Analytic Theory of Algebraic Numbers. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2004, ISBN 978-3-540-21902-6.
• Kristina Reiss, Gerald Schmieder: Basiswissen Zahlentheorie. 3. Auflage, Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-39772-1.

• Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 1992, ISBN 978-3-540-37547-0.
• Alexander Schmidt: Einführung in die algebraische Zahlentheorie, Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 2007, ISBN 978-3-540-45973-6.
• I. N. Stewart, D. O. Tall: Algebraic Number Theory. Chapman and Hall, London 1979, ISBN 978-0-412-13840-9.

• Tom M. Apostol: Introduction to Analytic Number Theory. Springer Science+Business Media, New York 1976, ISBN 978-0-387-90163-9.
• Tsuneo Arakawa , Tomoyoshi Ibukiyama , Masanobu Kaneko: Bernoulli Numbers and Zeta Functions. Springer-Verlag, Japan 2014, ISBN 978-4-431-54918-5.
• Jörg Brüdern: Einführung in die analytische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 1995, ISBN 3-540-58821-3.
• Pierre Cartier: An Introduction to Zeta Functions. In: M. Waldschmidt, P. Moussa, J.-M. Luck, C. Itzykson (Hrsg.): From Number Theory to Physics, Springer-Verlag (Second Corrected Printing 1995), Berlin/Heidelberg 1992, ISBN 3-540-53342-7, S. 1–63.
• Harold Edwards: Riemann’s Zeta Function. Dover Publications Inc., Mineola New York 1974, ISBN 0-486-41740-9.
• Aleksandar Ivić: The Riemann Zeta-Function. Theory and Applications. Dover Publications Inc., Mineola New York 1985, ISBN 978-0-486-42813-0.
• Marius Overholt: A Course in Analytic Number Theory. (= Graduate Studies in Mathematics. Band 160) American Mathematical Society, Providence (R.I.) 2014, ISBN 978-1-4704-1706-2.
• Gerald Tenenbaum: Introduction to Analytic and Probabilistic Number Theory. (= Graduate Studies in Mathematics. Band 163) Third Edition, American Mathematical Society, Providence (R.I.) 2015, ISBN 978-0-8218-9854-3.

• Władysław Narkiewicz: The Development in Prime Number Theory. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2000, ISBN 978-3-540-66289-1.

• Tilo Arens, Frank Hettich, Christian Karpfinger, Ulrich Kockelhorn, Klaus Lichtenegger, Hellmuth Stachel: Mathematik. 5. Auflage, Springer Spektrum, Berlin/Heidelberg 2022, ISBN 978-3-662-64388-4.
• Hans-Jochen Bartsch: Taschenbuch Mathematischer Formeln. 19. Auflage. Fachbuchverlag Leipzig im Carl Hanser Verlag, München/Wien 2001, ISBN 3-446-21792-4.
• Albrecht Beutelspacher: Zahlen, Formeln, Gleichungen. Springer-Verlag, Wiesbaden 2018, ISBN 978-3-658-16105-7.
• I. N. Bronstein, K. A. Semendjajew et al.: Taschenbuch der Mathematik. 6. Auflage. Verlag Harri Deutsch, Frankfurt am Main 2006, ISBN 978-3-8171-2006-2.
• Izrail Solomonovic Gradshteyn, Iosif Mojseevic Ryzhik: Table of Integrals, Series and Products. Herausgegeben von Alan Jeffrey und Daniel Zwillinger. 7. Ausgabe. Elsevier Academic Press, Amsterdam u. a. 2007, ISBN 978-0-12-373637-6.
• Dirk Langemann, Vanessa Sommer: So einfach ist Mathematik. 2. Auflage, Springer-Verlag, Berlin 2018, ISBN 978-3-662-55822-5.
• Thomas Rießinger: Gleichungen, Umformungen, Terme. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-49334-2.
• Gabor Toth: Elements of Mathematics. Springer Nature Switzerland AG, 2021, ISBN 978-3-030-75050-3.
• Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. Band 1. 2. Auflage, Springer-Verlag, Heidelberg 2017, ISBN 978-3-662-53497-7.
• Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. Band 2. 2. Auflage, Springer-Verlag, Heidelberg 2017, ISBN 978-3-662-53503-5.
• Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. Band 3. 2. Auflage, Springer-Verlag, Heidelberg 2017, ISBN 978-3-662-53501-1.
• Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. Band 4. 2. Auflage, Springer-Verlag, Mannheim 2017, ISBN 978-3-662-53499-1.
• Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. Band 5. 2. Auflage, Springer-Verlag, Mannheim 2017, ISBN 978-3-662-53505-9.

• Die Elemente von Euklid. In: Ostwalds Klassiker der exakten Wissenschaften. Band 235, Verlag Europa-Lehrmittel, 4. Auflage, 2015, ISBN 978-3-8085-5482-1.
• J. L. Berggren: Episodes in the Mathematics of Medieval Islam. 2. Auflage. Springer-Verlag, New York 2016, ISBN 978-1-4939-3778-3.
• Carl B. Boyer: A History of Mathematics. Second Edition, John Wiley & Sons, 1991, ISBN 0-471-54397-7.
• Franka Miriam Brückler: Geschichte der Mathematik kompakt. Springer-Verlag, Berlin 2017, ISBN 978-3-662-55351-0.
• Dietmar Herrmann: Die antike Mathematik. 2. Auflage, Springer-Verlag, Berlin 2020, ISBN 978-3-662-61394-8.
• Andrew Hodges: Alan Turing: The Enigma. Vintage, Princeton University Press, 2014, ISBN 978-1-78470-008-9..
• Victor J. Katz: A History of Mathematics – An Introduction. 3. Auflage. Addison-Wesley/Pearson, Boston 2009, ISBN 978-0-321-38700-4.
• Peter Schreiber, Sonja Brentjes: Euklid. BSB B. G. Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig 1987, ISBN 978-3-322-00377-5.
• John Stillwell: Mathematics and Its History. Third Edition, Springer-Verlag, New York / Dordrecht / Heidelberg / London 2010, ISBN 978-1-4419-6052-8.
• Heinz Klaus Strick: Mathematik – einfach genial! Springer-Verlag, Deutschland 2020, ISBN 978-3-662-60448-9.

• H.-W. Alten, A. Djafari Naini, B. Eick, M. Folkerts, H. Schlosser, K.-H. Schlote, H. Wesemüller-Kock, H. Wußing: 4000 Jahre Algebra. 2. Auflage, Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-38238-3.

• Ernst Hairer, Gerhard Wanner: Analysis in historischer Entwicklung. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 2011, ISBN 978-3-642-13766-2.
• Thomas Sonar: 3000 Jahre Analysis. Springer, Berlin 2011, ISBN 978-3-642-17203-8.

• John Derbyshire: Prime obsession – Bernhard Riemann and the greatest unsolved problem in Mathematics. Washington 2003, ISBN 0-309-08549-7.
• Franz Lemmermeyer: 4000 Jahre Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin 2023, ISBN 978-3-662-68109-1.
• Dan Rockmore: Stalking the Riemann Hypothesis. Pantheon Books, New York 2005, ISBN 0-375-72772-8.
• Karl Sabbagh: Dr. Riemann’s zeros. Atlantic books, London 2002, ISBN 1-84354-100-9.
• Marcus du Sautoy: Die Musik der Primzahlen. Auf den Spuren des größten Rätsels der Mathematik. dtv / C.H.Beck, München 2003 und 2004, ISBN 3-423-34299-4.

• Hans Borucki, et al.: Klett KomplettTrainer Mathematik 8. Klasse. PONS GmbH, Stuttgart 2021, ISBN 978-3-12-927582-5.
• Kirsten Heckmann, Friedhelm Padberg: Unterrichtsentwürfe Mathematik Sekundarstufe I. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 2012, ISBN 978-3-8274-2933-9.
• Lisa Hefendehl-Hebeker, Sebastian Rezat: Algebra: Leitidee Symbol und Formalisierung. In: Regina Bruder, Andreas Büchter, Hedwig Gasteiger, Barbara Schmidt-Thieme, Hans-Georg Weigand: Handbuch der Mathematikdidaktik (123–158). Zweite Auflage, Springer-Verlag, Berlin 2023, ISBN 978-3-662-66603-6.
• Andreas Pallack (Hrsg.): Fundamente der Mathematik. Cornelsen, Sachsen-Anhalt, Gymnasium Klasse 8, Berlin 2016, ISBN 978-3-06-009197-3.
• Felicitas Pielsticker: Mathematische Wissensentwicklungsprozesse von Schülerinnen und Schülern. Springer-Verlag, Wiesbaden 2020, ISBN 978-3-658-29948-4.
• Günther Rolles, Michael Unger (Hrsg.): Duden Basiswissen Schule: Mathematik, 5. bis 10. Klasse. 7. Auflage, Bibliographisches Institut GmbH, Berlin 2021, ISBN 978-3-411-71045-4.
• Katrin Schiffer: Probleme beim Übergang von Arithmetik zu Algebra. Springer-Verlag, Wiesbaden 2019, ISBN 978-3-658-27776-5.
• Hans-Georg Weigand, Alexander Schüler-Meyer, Guido Pinkernell: Didaktik der Algebra. 4. Auflage, Springer-Verlag, Berlin 2022, ISBN 978-3-662-64659-5.
• Udo Wennekers (Hrsg.): Zahlen und Größen 8. Nordrhein-Westfalen. Cornelsen, Berlin 2015, ISBN 978-3-06-002886-3.

Die Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer beschäftigt sich mit sog. rationalen Punkten. Für ein näheres Verständnis ist das Rechnen mit rationalen Zahlen bzw. „Brüchen“ also unverzichtbar. Eine reelle Zahl – anschaulich jede mögliche Länge auf einem Strahl ohne „kleinste Einheit“ – ${\displaystyle x}$ heißt rational, falls sie als Quotient zweier ganzer Zahlen geschrieben werden kann, also ${\displaystyle x={\tfrac {a}{b}}}$ mit irgendwelchen ganzen Zahlen ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$. Dabei ist ${\displaystyle a}$ der Zähler und ${\displaystyle b}$ der Nenner. Beispiele für rationale Zahlen sind ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}},{\tfrac {3}{1}}=3,{\tfrac {4}{20}}}$. Es handelt sich also anschaulich genau um jene Bruchteile, die entstehen, wenn eine „zählbare“ Anzahl von Dingen (wie „17 Euro“) auf eine ebenfalls „zählbare“ Personengruppe (zum Beispiel „4 Personen“) verteilt werden soll. Der entstehende Bruch kann dann als „Anteil für jede Person“ interpretiert werden.

Mit rationalen Zahlen kann gerechnet werden:

• Zwei Brüche werden addiert, indem man ihren gemeinsamen Nenner bildet. Dies ermöglicht eine einfache Addition über die Summation der Zähler. So liegt es etwa auf der Hand, dass 2 Siebtel und 8 Siebtel zusammengenommen 10 Siebtel ergeben, also ${\displaystyle {\tfrac {2}{7}}+{\tfrac {8}{7}}={\tfrac {10}{7}}}$. Anteile addieren sich effektiv wie das Zusammenlegen von zum Beispiel Kuchenstücken gleicher Größe. Für die Bildung des gemeinsamen Nenners werden Brüche erweitert: Es ist für den Bruchteil unerheblich, ob man zum Beispiel 2 Kuchen auf 4 Personen oder 4 Kuchen auf 8 Personen verteilt; in beiden Fällen erhält jede Person einen halben Kuchen, also ${\displaystyle {\tfrac {2}{4}}={\tfrac {4}{8}}={\tfrac {1}{2}}}$. Diese Identitäten können bei der Addition von Brüchen helfen: Es gilt zum Beispiel ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{8}}={\tfrac {4}{8}}+{\tfrac {1}{8}}={\tfrac {5}{8}}}$. Ganz allgemein hat man ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}+{\tfrac {c}{d}}={\tfrac {ad+cb}{bd}}}$. Die Subtraktion zweier Brüche erklärt sich analog.
• Zwei Brüche werden multipliziert, indem man Nenner und Zähler jeweils multipliziert. Dahinter verbirgt sich die Ermittlung des Bruchteils eines Bruchteils. „Nimmt“ man also eine Größe ${\displaystyle x}$ mit ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$ „mal“, übersetzt sich dies in

  „der Bruchteil ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$ von ${\displaystyle x}$“.

So ist zum Beispiel die Hälfte von einem Drittel ein Sechstel, also ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\cdot {\tfrac {1}{3}}={\tfrac {1\cdot 1}{2\cdot 3}}={\tfrac {1}{6}}}$, und drei Viertel von zwei Ganzen drei Halbe, also ${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}\cdot 2={\tfrac {3\cdot 2}{4\cdot 1}}={\tfrac {6}{4}}={\tfrac {3}{2}}}$. Dies ist ferner konform mit der Anschauung der Multiplikation durch eine ganze Zahl: So ist das Doppelte – hier als ein spezieller Bruchteil zu verstehen – einer Größe gerade „zwei mal“ diese Größe, also ${\displaystyle 2x}$. Allgemein gilt ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}\cdot {\tfrac {c}{d}}={\tfrac {ac}{bd}}}$. Ferner gleicht den „negativen Teil“ einer Größe zu nehmen der Multiplikation mit ${\displaystyle -1}$. Es lässt sich das universelle Gesetz ${\displaystyle (-1)\cdot (-1)=1}$ wie folgt veranschaulichen: Der negative Teil von Schulden ist Guthaben, denn wer weniger als Null Schulden besitzt, ist „im Plus“.

• Da die Division „das Gegenteil“ der Multiplikation ist, impliziert sie Multiplikation mit dem Kehrwert bzw. Kehrbruch des Divisors. Wird eine Größe ${\displaystyle x}$ durch ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$ dividiert, ist sie also mit ${\displaystyle {\tfrac {b}{a}}}$ zu multiplizieren.

Nicht jede reelle Zahl ist rational. Beispiele für nicht-rationale, also irrationale, reelle Zahlen sind die Wurzel aus 2 und die Kreiszahl:

${\displaystyle \pi =3{,}14159\,26535\,89793\,23846\,26433\,83279\,50288\,41971\,69399\,37510\,\dots }$

Auch wenn es nicht möglich ist, die Kreiszahl als Quotient zweier ganzer Zahlen auszudrücken, kann sie wie jede andere reelle Zahl beliebig durch Brüche angenähert werden. So gilt zum Beispiel

${\displaystyle \pi \approx {\frac {22}{7}},\qquad \pi \approx {\frac {355}{113}},\qquad }$ oder auch ${\displaystyle \qquad \pi \approx {\frac {21053343141}{6701487259}}=3{,}14159\,26535\,89793\,23846\,2{\color {red}3\ldots }}$

Da die oben wiederholten Rechenregeln für all diese beliebig guten Näherungen gelten, lassen sie sich „im Grenzwert“ auch auf reelle Größen übertragen, behalten dort also auch Gültigkeit. Zum Beispiel gilt ${\displaystyle {\tfrac {1}{\pi }}+{\tfrac {2}{\pi }}={\tfrac {3}{\pi }}.}$

Von sehr großer Bedeutung ist ebenfalls das Rechnen mit Potenzen. Diese werden durch einen Exponenten ausgedrückt, also eine „Hochzahl“, und zählen die Anzahl gleicher Faktoren. Etwa ist ${\displaystyle x^{3}=x\cdot x\cdot x}$. Wegen der Rechenregeln für Brüche gilt allgemein ${\displaystyle \left({\tfrac {a}{b}}\right)^{n}={\tfrac {a^{n}}{b^{n}}}}$.

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