Total normale Räume sind im mathematischen Teilgebiet der Topologie normale Räume, in denen jede offene Menge eine Zusatzeigenschaft hat. Diese Räume wurden 1953 von Clifford Hugh Dowker eingeführt.^[1]

Ein normaler Raum heißt total normal, wenn jede offene Menge eine lokal endliche Überdeckung aus offenen F_σ-Mengen besitzt.^[2]

Diese recht technischen Bedingungen bedeuten im Einzelnen: Jede offene Menge ${\displaystyle U}$ des Raumes ${\displaystyle X}$ ist eine Vereinigung ${\displaystyle \textstyle U=\bigcup _{i\in I}U_{i}}$, wobei Folgendes gilt:

• ${\displaystyle I}$ ist eine Indexmenge und jedes ${\displaystyle U_{i}\subset X}$ ist offen. (Übereckung durch offene Mengen)
• Jeder Punkt ${\displaystyle x\in U}$ besitzt eine offene Umgebung ${\displaystyle V}$, so dass ${\displaystyle V\cap U_{i}\not =\emptyset }$ nur für endlich viele Indizes gilt. (Lokale Endlichkeit der Überdeckung)
• Jede Menge ${\displaystyle U_{i}}$ ist abzählbare Vereinigung abgeschlossener Mengen. (F_σ-Eigenschaft)

In normalen Räumen ${\displaystyle X}$ ist die F_σ-Eigenschaft einer offenen Menge ${\displaystyle U}$ äquivalent zur Existenz einer stetigen Funktion ${\displaystyle f\colon X\rightarrow [0,1]}$, so dass ${\displaystyle U=\{x\in X\mid f(x)\not =0\}}$. Ersetzt man die F_σ-Eigenschaft obiger Definition durch diese Äquivalenz, so erhält man eine alternative Definition.^[3]

• Perfekt normale Räume sind total normal, denn in solchen Räumen ist jede offene Menge schon eine F_σ-Menge.^[4][5] Insbesondere sind also alle metrischen Räume total normal.
• Erblich parakompakte Räume, das sind parakompakte Hausdorff-Räume, deren sämtliche Teilräume ebenfalls parakompakt sind, sind total normal.^[6][7]
• Sei ${\displaystyle X}$ eine überabzählbare Menge, ${\displaystyle Y={\mathcal {P}}(X)}$ die Potenzmenge von ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle F=2^{Y}}$ die Menge aller Funktionen ${\displaystyle Y\rightarrow \{0,1\}}$.

Auf ${\displaystyle F}$ erklären wir nun eine Topologie. Für jedes ${\displaystyle x\in X}$ sei ${\displaystyle f_{x}\in F}$ die Indikatorfunktion der Menge ${\displaystyle \{y\in Y\mid x\in y\}}$, das heißt ${\displaystyle f_{x}(y)=1}$ genau dann, wenn ${\displaystyle x\in y}$, und ${\displaystyle F_{0}}$ sei die Menge aller Funktionen ${\displaystyle f_{x}}$, ${\displaystyle x\in X}$. Weiter sei ${\displaystyle Y_{0}}$ die Menge der endlichen Teilmengen von ${\displaystyle Y}$ und für jedes ${\displaystyle f_{x}\in F_{0}}$ und ${\displaystyle r\in Y_{0}}$ sei ${\displaystyle (f_{x}:r):=\{f\in F\mid f(y)=f_{x}(y){\text{ für alle }}y\in r\}}$. Die Topologie auf ${\displaystyle F}$ wird nun dadurch erklärt, dass zu jedem Element ${\displaystyle f\in F}$ eine Umgebungsbasis angegeben wird. Für Elemente ${\displaystyle f\in F\setminus F_{0}}$ sei ${\displaystyle \{f\}}$ offen, insbesondere also eine Umgebungsbasis, und für alle ${\displaystyle f=f_{x}\in F_{0}}$ nehme man ${\displaystyle \{(f_{x}:r)\mid r\in Y_{0}\}}$ als Umgebungsbasis. Dieser auf R. H. Bing zurückgehende topologische Raum ist total normal, aber nicht perfekt normal.^[8]

• Total normale Räume sind vollständig normal.^[9][10]
• Teilräume total normaler Räume sind wieder total normal.^[11][12]

Total normale Räume zeigen bezüglich der großen induktiven Dimension ${\displaystyle \operatorname {Ind} }$ das erwartete Verhalten, sie erfüllen den Teilmengensatz und den Summensatz.^[13][14], das heißt

• Ist ${\displaystyle X}$ total normal und ${\displaystyle Y\subset X}$, so gilt ${\displaystyle \operatorname {Ind} (Y)\leq \operatorname {Ind} (X)}$.
• Ist ${\displaystyle X}$ total normal und ${\displaystyle (Y_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ eine Überdeckung aus abgeschlossenen Mengen, so gilt ${\displaystyle \mathrm {Ind} (X)\leq \sup _{n\in \mathbb {N} }\mathrm {Ind} (Y_{n})}$

• C. H. Dowker: Inductive Dimension of Completely Normal Spaces (in The Mathematical Legacy of Eduard Čech). Hrsg.: M. Katĕtov, P. Simon. Birkhäuser, Basel, Boston, Berlin 1993, ISBN 978-3-0348-7526-4, S. 165–177, doi:10.1007/978-3-0348-7524-0 (englisch). 
• K. Nagami: Dimension Theory. Academic Press Inc, New York, London 1970, ISBN 0-12-513650-1, Kap 1.7 Totally Normal Spaces (englisch). 

1. ↑ C. H. Dowker: Inductive Dimension of Completely Normal Spaces. In: The Quarterly Journal of Mathematics. Band 4, Nr. 1, 1953, S. 267–281, doi:10.1093/qmath/4.1.267 (englisch). 
2. ↑ Dowker, Definition auf Seite 170
3. ↑ Nagami, Definition 7.1 auf Seite 42
4. ↑ Dowker, 4.1 auf Seite 170
5. ↑ Nagami, Satz 7.2 auf Seite 42
6. ↑ Dowker, 4.2 auf Seite 170
7. ↑ Nagami, Satz 7.3 auf Seite 42
8. ↑ Nagami, Beispiel 2.3 auf Seite 7 und Bemerkung 7.6 auf Seite 43
9. ↑ Dowker, 4.6 auf Seite 173
10. ↑ Nagami, Satz 7.4 auf Seite 42
11. ↑ Dowker, 4.7 auf Seite 173
12. ↑ Nagami, Satz 7.5 auf Seite 43
13. ↑ Nagami, Abschnitt 5, Seite 173
14. ↑ Nagami, Satz 11.5 auf Seite 61