Als Faustformelverfahren werden in der Automatisierungstechnik bzw. in der Regelungstechnik heuristische Methoden zur Dimensionierung eines Reglers bezeichnet, die ohne mathematisches Modell der Regelstrecke auskommen. Anstatt der Modellbildung müssen in der Regel Experimente an der zu regelnden Anlage vorgenommen werden.

Die Methode von Ziegler und Nichols ist ein heuristisches Verfahren zur Bestimmung von Reglerparametern.^[1] Der resultierende Regler kann ein P-, PI- oder PID-Regler sein.

Die Methode ist daher nur für existierende Anlagen geeignet, die stabil sind oder an denen instabiles Verhalten keine Schäden verursachen kann. Sie eignet sich daher nicht zum Einsatz in der Projektierungsphase einer Anlage.

Die Reglereinstellungen nach Ziegler-Nichols sind für stark verzögernde Prozesse, wie sie z. B. in verfahrenstechnischen Prozessen auftreten, vorgesehen. Charakteristisch für solche Prozesse ist der Wendepunkt in der Sprungantwort. Bei Einstellung des Reglers nach diesem Verfahren wird ein leicht schwingendes Führungsverhalten (schlechter als beim Reglerentwurf nach dem Betragsoptimum) aber ein gutes Störverhalten erreicht. Es eignet sich deshalb vor allem für Prozesse, bei denen überwiegend Störungen ausgeregelt werden sollen.

Das Verfahren steht in zwei Varianten zur Verfügung. In der ersten Variante (auch: Einstellung auf den Stabilitätsrand) wird keine Annahme bezüglich des Übertragungsverhaltens der Regelstrecke getroffen. Der Regelkreis wird mit Hilfe eines proportionalen Reglers geschlossen und die Reglerverstärkung solange erhöht, bis der Ausgang des Regelkreises bei konstantem Eingang eine Dauerschwingung mit der Periode ${\displaystyle T_{\text{krit}}}$ bei der Reglerverstärkung ${\displaystyle K_{p,{\text{krit}}}}$ ausführt.

In der zweiten Variante (auch: zweite Einstellregel nach Ziegler/Nichols) wird die Regelstrecke als Übertragungsglied erster Ordnung mit Totzeit (PT1T_t-Glied) angenähert. Es müssen dessen stationäre Verstärkung ${\displaystyle K_{s}}$, die Zeitkonstante ${\displaystyle T}$ sowie die Totzeit ${\displaystyle T_{t}}$ bekannt sein und ggf. experimentell durch die Sprungantwort (siehe Abbildung 1) ermittelt werden. Es gilt näherungsweise mit den Werten aus der Sprungantwort ${\displaystyle K=K_{s}}$, ${\displaystyle T=T_{g}}$ und ${\displaystyle T_{t}=T_{u}}$.

Die Einstellregeln für die Verstärkung ${\displaystyle K_{p}}$, die Nachstellzeit ${\displaystyle T_{n}}$ und die Vorhaltzeit ${\displaystyle T_{v}}$ lauten für beide Verfahren wie in folgender Tabelle angegeben:

Voraussetzung	Regler	Reglerparameter
Kritische Verstärkung und Periodendauer bekannt	P	${\displaystyle K_{p}=0{,}5\cdot K_{p,\mathrm {krit} }}$
	PI	${\displaystyle K_{p}=0{,}45\cdot K_{p,\mathrm {krit} },T_{n}=0{,}85\cdot T_{\mathrm {krit} }}$
	PD	${\displaystyle K_{p}=0{,}55\cdot K_{p,\mathrm {krit} },T_{v}=0{,}15\cdot T_{\mathrm {krit} }}$
	PID	${\displaystyle K_{p}=0{,}6\cdot K_{p,\mathrm {krit} },T_{n}=0{,}5\cdot T_{\mathrm {krit} },T_{v}=0{,}125\cdot T_{\mathrm {krit} }}$
Approximation der Strecke durch PT1Tt-Glied	P	${\displaystyle K_{p}=1/K_{s}\cdot T/T_{t}}$
	PI	${\displaystyle K_{p}=0{,}9/K_{s}\cdot T/T_{t},T_{n}=3{,}33\cdot T_{t}}$
	PID	${\displaystyle K_{p}=1{,}2/K_{s}\cdot T/T_{t},T_{n}=2\cdot T_{t},T_{v}=0{,}5\cdot T_{t}}$

Die Nachstellzeit ${\displaystyle T_{n}}$ gibt an, wann bei einer Sprungantwort die Wirkung des I-Anteils gleich groß ist, wie die Wirkung des P-Anteils:

${\displaystyle T_{n}=K_{p}\cdot T_{I}}$

Die Vorhaltzeit ${\displaystyle T_{v}}$ gibt an, wann bei einer Sprungantwort die Wirkung des D-Anteils gleich groß ist wie die Wirkung des P-Anteils:

${\displaystyle T_{v}={\frac {T_{D}}{K_{p}}}}$

Differenzialgleichung des idealen PID-Reglers in Parallelstruktur mit Regelabweichung ${\displaystyle e(t)}$:

${\displaystyle u(t)=K_{p}e(t)+{\frac {1}{T_{I}}}\int _{0}^{t}{e(\tau )}d\tau +\ T_{D}{\frac {d}{dt}}e(t)}$

${\displaystyle u(t)=K_{p}\left[e(t)+{\frac {1}{T_{n}}}\int _{0}^{t}{e(\tau )}d\tau +\ T_{v}{\frac {d}{dt}}e(t)\right]}$

Ein Erzielen einer Schwingung an der Stabilitätsgrenze wie oben beschrieben kann jedoch nur dort durchgeführt werden, wo ein Ausscheren des realen Systems in den instabilen Bereich keine schädlichen Folgen hat. Ein instabiler Tempomat am Auto würde abwechselnd Vollgas geben und Vollbremsungen einleiten, was vielleicht noch in geeigneter Testumgebung durchführbar wäre, bei einem Autopiloten eines Passagierflugzeugs wären die Folgen sicherlich nicht tragbar.

Die Einstellregeln nach Chien, Hrones und Reswick sind eine 1952 entwickelte Vorgehensweise zur günstigen Einstellung von Reglern. Sie gelten als eine Weiterentwicklung der zweiten Methode von Ziegler und Nichols. Vorteilhaft ist, dass die Regelparameter getrennt sind für ein günstiges Stör- und Führungsverhalten. Sie sind ebenso unterteilt für aperiodische oder periodische Regelungen.^[2][3]

Die Regeln gelten für Strecken höherer Ordnung, von denen die Parameter: stationäre Verstärkung ${\displaystyle K_{s}}$, Verzugszeit ${\displaystyle T_{u}}$ und Ausgleichszeit ${\displaystyle T_{g}}$ bekannt sein müssen. (Siehe Abbildung 1)

Die Einstellregeln für die Verstärkung ${\displaystyle K_{p}}$, die Nachstellzeit ${\displaystyle T_{n}}$ und die Vorhaltzeit ${\displaystyle T_{v}}$ lauten wie in folgender Tabelle angegeben.

Regler		Aperiodischer Regelverlauf		Regelverlauf mit 20 % Überschwingen
		Störung	Führung	Störung	Führung
P	${\displaystyle K_{p}}$	${\displaystyle 0{,}3\cdot {\frac {T_{g}}{T_{u}\cdot K_{s}}}}$	${\displaystyle 0{,}3\cdot {\frac {T_{g}}{T_{u}\cdot K_{s}}}}$	${\displaystyle 0{,}7\cdot {\frac {T_{g}}{T_{u}\cdot K_{s}}}}$	${\displaystyle 0{,}7\cdot {\frac {T_{g}}{T_{u}\cdot K_{s}}}}$
PI	${\displaystyle K_{p}}$	${\displaystyle 0{,}6\cdot {\frac {T_{g}}{T_{u}\cdot K_{s}}}}$	${\displaystyle 0{,}35\cdot {\frac {T_{g}}{T_{u}\cdot K_{s}}}}$	${\displaystyle 0{,}7\cdot {\frac {T_{g}}{T_{u}\cdot K_{s}}}}$	${\displaystyle 0{,}6\cdot {\frac {T_{g}}{T_{u}\cdot K_{s}}}}$
	${\displaystyle T_{n}}$	${\displaystyle 4\cdot T_{u}}$	${\displaystyle 1{,}2\cdot T_{g}}$	${\displaystyle 2{,}3\cdot T_{u}}$	${\displaystyle 1\cdot T_{g}}$
PID	${\displaystyle K_{p}}$	${\displaystyle 0{,}95\cdot {\frac {T_{g}}{T_{u}\cdot K_{s}}}}$	${\displaystyle 0{,}6\cdot {\frac {T_{g}}{T_{u}\cdot K_{s}}}}$	${\displaystyle 1{,}2\cdot {\frac {T_{g}}{T_{u}\cdot K_{s}}}}$	${\displaystyle 0{,}95\cdot {\frac {T_{g}}{T_{u}\cdot K_{s}}}}$
	${\displaystyle T_{n}}$	${\displaystyle 2{,}4\cdot T_{u}}$	${\displaystyle 1\cdot T_{g}}$	${\displaystyle 2\cdot T_{u}}$	${\displaystyle 1{,}35\cdot T_{g}}$
	${\displaystyle T_{v}}$	${\displaystyle 0{,}42\cdot T_{u}}$	${\displaystyle 0{,}5\cdot T_{u}}$	${\displaystyle 0{,}42\cdot T_{u}}$	${\displaystyle 0{,}47\cdot T_{u}}$

Es gelten die gleichen Einschränkungen wie bei der Methode von Ziegler und Nichols. Zur Bestimmung der Strecken-Kennwerte müssen Experimente am ungeregelten Prozess durchführbar sein, ohne dass dieser dadurch beschädigt wird.

Unter der Leitung von Samal wurden weitere Optimierungen an den Reglerparametern durchgeführt. Sie sind im Buch „Praktische Regelungstechnik“ von Wolfgang Schneider und Berthold Heinrich unter „Empirische Einstellwerte nach Samal“ aufgelistet^[4].

Diese Regel gilt für Strecken mit Tiefpassverhalten, die eine S-förmige Sprungantwort aufweisen. Sie sind durch die Übertragungsfunktion

${\displaystyle G(s)=K_{S}{\frac {(1+T_{D,1}s)(1+T_{D,2}s)\ldots (1+T_{D,m}s)}{(1+T_{1}s)(1+T_{2}s)\ldots (1+T_{n}s)}}e^{-sT_{t}}}$

beschrieben. Die Summenzeitkonstante ${\displaystyle T_{\Sigma }}$ wird als Summe aller verzögernden Zeitkonstanten abzüglich aller differenzierenden Zeitkonstanten gebildet:^[5]

${\displaystyle T_{\Sigma }=T_{1}+T_{2}+\ldots +T_{n}-T_{D,1}-T_{D,2}-\ldots -T_{D,m}+T_{t}.}$

Die Summenzeitkonstante kann auch direkt aus der experimentell ermittelten Übergangsfunktion ermittelt werden. Es gilt

${\displaystyle T_{\Sigma }=\int _{0}^{\infty }\left(1-{\frac {y(t)}{K_{S}}}\right)dt}$

mit ${\displaystyle y(t)\;}$ Sprungantwortfunktion der Regelstrecke.

Für die Reglereinstellungen gilt dann folgendes:

• PI-Regler: ${\displaystyle K_{P}=0{,}5/K_{S},\;T_{N}=0{,}5T_{\Sigma }}$
• PID-Regler: ${\displaystyle K_{P}=1/K_{S},\;T_{N}=0{,}66T_{\Sigma },\;T_{V}=0{,}167T_{\Sigma }}$

oder für schnelleren Regelverlauf:

• PI-Regler: ${\displaystyle K_{P}=1/K_{S},\;T_{N}=0{,}7T_{\Sigma }}$
• PID-Regler: ${\displaystyle K_{P}=2/K_{S},\;T_{N}=0{,}8T_{\Sigma },\;T_{V}=0{,}194T_{\Sigma }}$

Mit einem Skript in Scilab wurden folgende Parameter für die Modell-Regelstrecke ermittelt:

==========================================================
 Parameter der Regelstrecke
 T1=2.400000 T2=1.200000 T3=0.600000 T4=0.100000
                     1
    -----------------------------------
                    2        3         4
    1 + 4.3s + 5.46s + 2.232s + 0.1728s
 Tu=1.030072 Tg=5.183502 Tg/Tu=5.032175 TSum=4.348428
 ==========================================================
 Ziegler-Nichols
 KR=6.038610 Tn=2.060144 Tv=0.515036
 ==========================================================
 Chien/Hrones/Reswick (aperiodisch)
 KR=3.019305 Tn=5.183502 Tv=0.515036
 ==========================================================
 Chien/Hrones/Reswick (überschwingen)
 KR=4.780567 Tn=6.997728 Tv=0.484134
 ==========================================================
 T-Summe
 KR=1.000000 Tn=2.900402 Tv=0.726187
 ==========================================================
 T-Summe (schnell)
 KR=2.000000 Tn=3.478742 Tv=0.847943
 ==========================================================

In der industriellen Praxis werden Regelkreise häufig ohne Verwendung eines Modelles durch Ausprobieren von Reglereinstellungen realisiert. Dabei werden zumeist Proportional-Integral-Differential-Regler (PID-Regler) verwendet. Die Parameter für den Proportional-, Integral- und Differentialanteil werden nach praktischen Erfahrungswerten vorgewählt und dann variiert.^[6]

Anhand der Istwertverläufe kann der Regelkreis nachoptimiert werden:

• Violett: Istwert nähert sich nur langsam dem Sollwert.
  Einstellregel: Proportionalanteil erhöhen. Falls dies zu einer Verbesserung führt, anschließend Integrationszeit verkleinern. Dieses wiederholen bis ein zufriedenstellendes Reglerergebnis erreicht ist.
• Blau: Istwert nähert sich mit leichten Schwingungen nur langsam dem Sollwert.
  Einstellregel: Proportionalanteil erhöhen. Falls dies zu einer Verbesserung führt, anschließend Vorhaltzeit (Differenzierzeit) verkleinern. Dieses wiederholen bis ein zufriedenstellendes Reglerergebnis erreicht ist.
• Hellblau: Istwert nähert sich dem Sollwert ohne wesentlich überzuschwingen.
  Optimales Reglerverhalten für Prozesse, die kein Überschwingen zulassen.
• Grün: Istwert nähert sich dem Sollwert mit leichtem gedämpften Überschwingen.
  Optimales Reglerverhalten für schnelles Anregeln und zum Ausregeln von Störanteilen.
  Einstellregel: Das erste Überschwingen soll 10 % des Sollwertsprungs nicht überschreiten.
• Rot: Istwert nähert sich schnell dem Sollwert, schwingt aber weit über. Die Schwingungen sind gedämpft und damit gerade noch stabil
  Einstellregel: Proportionalanteil vermindern. Falls dies zu einer Verbesserung führt, anschließend Integrationszeit vergrößern. Dieses wiederholen bis ein zufriedenstellendes Reglerergebnis erreicht ist.

• Jan Lunze: Regelungstechnik, Springer Verlag, Bd. 1 (2005) ISBN 3-540-28326-9, Bd. 2 (2006) ISBN 3-540-32335-X
• Heinz Unbehauen: Regelungstechnik, Vieweg, Braunschweig/Wiesbaden, Bd. 1 (2005) ISBN 3-528-93332-1, Bd. 2 (2000) ISBN 3-528-73348-9
• Manfred Schleicher: Regelungstechnik für den Praktiker (2006), Fa. JUMO GmbH & Co, ISBN 3-935742-00-2
• Berthold Heinrich [Hrsg.]: Messen, Steuern, Regeln (2005), Vieweg Verlag, Wiesbaden, ISBN 3-8348-0006-6
• Michael Glöckler: Grundlagen Automatisierung: Sensorik, Regelung, Steuerung (2015), Springer Fachmedien, Wiesbaden, ISBN 978-3-658-05961-3

1. ↑ Ziegler, J. G.; Nichols, N. B.: Optimum settings for automatic controllers, Trans. ASME, 64 (1942), pp. 759–768
2. ↑ Kun Li Chien, J. A. Hrones, J. B. Reswick: On the Automatic Control of Generalized Passive Systems. In: Transactions of the American Society of Mechanical Engineers., Bd. 74, Cambridge (Mass.), USA, Feb. 1952, S. 175–185
3. ↑ Manfred Reuter, Serge Zacher: Regelungstechnik für Ingenieure, Vieweg Verlag, 11. Auflage (2004), ISBN 3-528-05004-7
4. ↑ Schneider, Wolfgang und Heinrich, Berthold: Praktische Regelungstechnik: Effektiv lernen durch Beispiele, Springer-Verlag, (2017), ISBN 978-3-658-16992-3
5. ↑ Udo Kuhn: Eine praxisnahe Einstellregel für PID-Regler: Die T-Summen-Regel, Automatisierungstechnische Praxis, Nr. 5, 1995, S. 10–16
6. ↑ Jürgen Müller: Regeln mit SIMATIC, Publicis Corporate Publishing, Erlangen (2004), ISBN 3-89578-248-3