Wilson-Primzahlen (nach Sir John Wilson) sind Primzahlen ${\displaystyle p}$, für die gilt, dass ${\displaystyle (p-1)!+1}$ durch ${\displaystyle p^{2}}$ teilbar ist. Es handelt sich dabei um eine stärkere Form des Satzes von Wilson. Bisher sind nur die Wilson-Primzahlen 5, 13 und 563 bekannt.

Zur Notation siehe Fakultät, Teilbarkeit und Kongruenz

Der Satz von Wilson besagt, dass ${\displaystyle (p-1)!+1}$ genau dann durch ${\displaystyle p}$ teilbar ist, wenn ${\displaystyle p}$ eine Primzahl ist. Für jede Primzahl ${\displaystyle p}$ gilt also:

${\displaystyle p\mid (p-1)!+1}$

Als Kongruenz lässt sich dies wie folgt beschreiben:

${\displaystyle (p-1)!\equiv -1{\pmod {p}}}$

oder

${\displaystyle (p-1)!+1\equiv 0{\pmod {p}}}$

Das ganzzahlige Ergebnis der Division

${\displaystyle {\frac {(p-1)!+1}{p}}}$

wird in diesem Zusammenhang auch als Wilson-Quotient ${\displaystyle W(p)}$ bezeichnet^[1] (Folge A007619 in OEIS).

Eine Wilson-Primzahl ist nun jede Primzahl ${\displaystyle p}$, die darüber hinaus sogar Teiler „ihres“ Wilson-Quotienten ist (und den Satz von Wilson damit quasi zweimal erfüllt).

Ohne Beschränkung der Allgemeinheit sei ${\displaystyle n>2}$

• ${\displaystyle n}$ ist ${\displaystyle prim\Rightarrow (n-1)!\equiv -1\mod n}$

${\displaystyle \forall a\in \mathbb {Z} _{n}^{*}}$ hat ${\displaystyle ax\equiv 1(\mod n)}$ eine eindeutige Lösung ${\displaystyle a^{-1}\mod n}$

${\displaystyle a^{2}\equiv 1\Leftrightarrow (a-1)(a+1)=y\cdot n\Leftrightarrow (a\equiv 1\mod n}$ oder ${\displaystyle -1\mod n)}$

${\displaystyle (n-1)!\equiv (n-1)\equiv -1\mod n}$

• ${\displaystyle (n-1)!\equiv -1\mod n}$ ${\displaystyle \Rightarrow n}$ ist ${\displaystyle {\text{prim}}}$

Annahme: ${\displaystyle n=a\cdot b,a,b>1}$

${\displaystyle a{\text{ teilt }}(n-1)!}$ mit ${\displaystyle (n-1)!\equiv -1\mod n\Rightarrow a{\text{ teilt }}n-1}$

Widerspruch: ${\displaystyle a}$ kann nicht gleichzeitig ${\displaystyle n}$ und ${\displaystyle n-1}$ teilen

Die Zahl ${\displaystyle p=13}$ ist ein Teiler von ${\displaystyle (p-1)!+1}$:

${\displaystyle {\frac {(13-1)!+1}{13}}={\frac {479.001.600+1}{13}}=36.846.277}$

Also ist ${\displaystyle p=13}$ wegen des Satzes von Wilson eine Primzahl. Da sie ebenfalls ein Teiler des entsprechenden Wilson-Quotienten ist (36.846.277 ${\displaystyle :}$ 13 = 2.834.329), ist sie sogar eine Wilson-Primzahl.

Die wiederholte Teilung entspricht der Division durch das Quadrat der Ausgangszahl. Analog zum Satz von Wilson gilt daher, dass jede Primzahl ${\displaystyle p}$ genau dann eine Wilson-Primzahl ist, wenn:

${\displaystyle p^{2}\mid (p-1)!+1}$

Beziehungsweise:

${\displaystyle (p-1)!\equiv -1{\pmod {p^{2}}}}$

oder

${\displaystyle {\frac {(p-1)!+1}{p}}=W(p)\equiv 0{\pmod {p}}}$

Bisher sind nur die Wilson-Primzahlen 5, 13 und 563^[2] bekannt (Folge A007540 in OEIS). Sollten weitere Wilson-Primzahlen existieren, so sind sie größer als ${\displaystyle 2\cdot 10^{13}}$.^[3] Es wird vermutet, dass unendlich viele Wilson-Primzahlen existieren, und zwar etwa ${\displaystyle \ln(\ln(y)/\ln(x))}$ zwischen ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$.^[4][5]

Die Verallgemeinerung des Satzes von Wilson besagt, dass eine natürliche Zahl ${\displaystyle p\in \mathbb {N} }$ genau dann eine Primzahl ist, wenn für alle ${\displaystyle 1\leq n\leq p}$ gilt:

${\displaystyle (n-1)!\cdot (p-n)!\equiv (-1)^{n}{\pmod {p}}}$

Es ist ${\displaystyle p}$ also eine Primzahl, wenn ${\displaystyle {\frac {(n-1)!\cdot (p-n)!-(-1)^{n}}{p}}}$ ganzzahlig ist.

Eine verallgemeinerte Wilson-Primzahl der Ordnung n ist eine Primzahl ${\displaystyle p}$, für welche gilt:

${\displaystyle p^{2}}$ ist Teiler von ${\displaystyle (n-1)!\cdot (p-n)!-(-1)^{n}}$ mit ${\displaystyle n\geq 1}$, ${\displaystyle p\geq n}$

Es ist ${\displaystyle p}$ also eine verallgemeinerte Wilson-Primzahl der Ordnung n, wenn ${\displaystyle {\frac {(n-1)!\cdot (p-n)!-(-1)^{n}}{p^{2}}}}$ ganzzahlig ist.

Als Kongruenz lässt sich dies wie folgt beschreiben:

${\displaystyle (n-1)!\cdot (p-n)!\equiv (-1)^{n}{\pmod {p^{2}}}}$

oder

${\displaystyle (n-1)!\cdot (p-n)!-(-1)^{n}\equiv 0{\pmod {p^{2}}}}$

Es wird vermutet, dass es für jede natürliche Zahl ${\displaystyle n}$ unendlich viele verallgemeinerte Wilson-Primzahlen der Ordnung ${\displaystyle n}$ gibt.

Sei ${\displaystyle p=17\in \mathbb {P} }$ eine Primzahl und ${\displaystyle n=7}$. Die Quadratzahl ${\displaystyle p^{2}=17^{2}=289}$ ist ein Teiler von ${\displaystyle (n-1)!\cdot (p-n)!-(-1)^{n}=6!\cdot (p-7)!+1}$:

${\displaystyle {\frac {6!\cdot (17-7)!+1}{17^{2}}}={\frac {720\cdot 3628800+1}{289}}={\frac {2612736001}{289}}=9040609}$

Also ist ${\displaystyle p=17}$ ein Teiler des entsprechenden verallgemeinerten Wilson-Quotienten und ist deswegen eine verallgemeinerte Wilson-Primzahl der Ordnung ${\displaystyle n=7}$.

Der folgenden Tabelle kann man die verallgemeinerten Wilson-Primzahlen der Ordnung ${\displaystyle n}$ entnehmen für ${\displaystyle 1\leq n\leq 30}$:

${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (n-1)!\cdot (p-n)!-(-1)^{n}}$ Primzahl ${\displaystyle p}$, sodass ${\displaystyle p^{2}}$ Teiler von ${\displaystyle (n-1)!\cdot (p-n)!-(-1)^{n}}$ ist OEIS-Link 1 ${\displaystyle (p-1)!+1}$ 5, 13, 563 … (Folge A007540 in OEIS) 2 ${\displaystyle (p-2)!-1}$ 2, 3, 11, 107, 4931 … (Folge A079853 in OEIS) 3 ${\displaystyle 2!\cdot (p-3)!+1}$ 7 … 4 ${\displaystyle 3!\cdot (p-4)!-1}$ 10429 … 5 ${\displaystyle 4!\cdot (p-5)!+1}$ 5, 7, 47 … 6 ${\displaystyle 5!\cdot (p-6)!-1}$ 11 … 7 ${\displaystyle 6!\cdot (p-7)!+1}$ 17 … 8 ${\displaystyle 7!\cdot (p-8)!-1}$ … 9 ${\displaystyle 8!\cdot (p-9)!+1}$ 541 … 10 ${\displaystyle 9!\cdot (p-10)!-1}$ 11, 1109 … 11 ${\displaystyle 10!\cdot (p-11)!+1}$ 17, 2713 … 12 ${\displaystyle 11!\cdot (p-12)!-1}$ … 13 ${\displaystyle 12!\cdot (p-13)!+1}$ 13 … 14 ${\displaystyle 13!\cdot (p-14)!-1}$ … 15 ${\displaystyle 14!\cdot (p-15)!+1}$ 349 …

${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (n-1)!\cdot (p-n)!-(-1)^{n}}$ Primzahl ${\displaystyle p}$, sodass ${\displaystyle p^{2}}$ Teiler von ${\displaystyle (n-1)!\cdot (p-n)!-(-1)^{n}}$ ist OEIS-Link 16 ${\displaystyle 15!\cdot (p-16)!-1}$ 31 … 17 ${\displaystyle 16!\cdot (p-17)!+1}$ 61, 251, 479 … (Folge A152413 in OEIS) 18 ${\displaystyle 17!\cdot (p-18)!-1}$ 13151527 … 19 ${\displaystyle 18!\cdot (p-19)!+1}$ 71 … 20 ${\displaystyle 19!\cdot (p-20)!-1}$ 59, 499 … 21 ${\displaystyle 20!\cdot (p-21)!+1}$ 217369 … 22 ${\displaystyle 21!\cdot (p-22)!-1}$ … 23 ${\displaystyle 22!\cdot (p-23)!+1}$ … 24 ${\displaystyle 23!\cdot (p-24)!-1}$ 47, 3163 … 25 ${\displaystyle 24!\cdot (p-25)!+1}$ … 26 ${\displaystyle 25!\cdot (p-26)!-1}$ 97579 … 27 ${\displaystyle 26!\cdot (p-27)!+1}$ 53 … 28 ${\displaystyle 27!\cdot (p-28)!-1}$ 347 … 29 ${\displaystyle 28!\cdot (p-29)!+1}$ … 30 ${\displaystyle 29!\cdot (p-30)!-1}$ 137, 1109, 5179 …

Die kleinsten verallgemeinerten Wilson-Primzahlen der Ordnung ${\displaystyle n}$ lauten (bei aufsteigendem ${\displaystyle n=1,2,3,\ldots }$):

5, 2, 7, 10429, 5, 11, 17 … (Folge A128666 in OEIS)

Schon die nächste verallgemeinerte Wilson-Primzahl der Ordnung ${\displaystyle n=8}$ ist nicht bekannt, muss aber größer als ${\displaystyle 1{,}4\cdot 10^{7}}$ sein.

Eine Primzahl ${\displaystyle p\in \mathbb {P} }$, welche die Kongruenz

${\displaystyle (p-1)!\equiv -1+Bp{\pmod {p^{2}}}}$ mit betragsmäßig kleinem ${\displaystyle |B|}$

erfüllt, nennt man Fast-Wilson-Primzahl (englisch Near-Wilson primes).

Ist ${\displaystyle B=0}$, so erhält man ${\displaystyle (p-1)!\equiv -1{\pmod {p^{2}}}}$ und erhält die Wilson-Primzahlen.

Der folgenden Tabelle kann man alle solche Fast-Wilson-Primzahlen entnehmen für ${\displaystyle |B|\leq 100}$ mit ${\displaystyle 10^{6}<p<4\cdot 10^{11}}$:^[3]

${\displaystyle p}$ ${\displaystyle B}$ 1282279 +20 1306817 −30 1308491 −55 1433813 −32 1638347 −45 1640147 −88 1647931 +14 1666403 +99 1750901 +34 1851953 −50 2031053 −18 2278343 +21 2313083 +15 2695933 −73 3640753 +69 3677071 −32

${\displaystyle p}$ ${\displaystyle B}$ 3764437 −99 3958621 +75 5062469 +39 5063803 +40 6331519 +91 6706067 +45 7392257 +40 8315831 +3 8871167 −85 9278443 −75 9615329 +27 9756727 +23 10746881 −7 11465149 −62 11512541 −26 11892977 −7

${\displaystyle p}$ ${\displaystyle B}$ 12632117 −27 12893203 −53 14296621 +2 16711069 +95 16738091 +58 17879887 +63 19344553 −93 19365641 +75 20951477 +25 20972977 +58 21561013 −90 23818681 +23 27783521 −51 27812887 +21 29085907 +9 29327513 +13

${\displaystyle p}$ ${\displaystyle B}$ 30959321 +24 33187157 +60 33968041 +12 39198017 −7 45920923 −63 51802061 +4 53188379 −54 56151923 −1 57526411 −66 64197799 +13 72818227 −27 87467099 −2 91926437 −32 92191909 +94 93445061 −30 93559087 −3

${\displaystyle p}$ ${\displaystyle B}$ 94510219 −69 101710369 −70 111310567 +22 117385529 −43 176779259 +56 212911781 −92 216331463 −36 253512533 +25 282361201 +24 327357841 −62 411237857 −84 479163953 −50 757362197 −28 824846833 +60 866006431 −81 1227886151 −51

${\displaystyle p}$ ${\displaystyle B}$ 1527857939 −19 1636804231 +64 1686290297 +18 1767839071 +8 1913042311 −65 1987272877 +5 2100839597 −34 2312420701 −78 2476913683 +94 3542985241 −74 4036677373 −5 4271431471 +83 4296847931 +41 5087988391 +51 5127702389 +50 7973760941 +76

${\displaystyle p}$ ${\displaystyle B}$ 9965682053 −18 10242692519 −97 11355061259 −45 11774118061 −1 12896325149 +86 13286279999 +52 20042556601 +27 21950810731 +93 23607097193 +97 24664241321 +46 28737804211 −58 35525054743 +26 41659815553 +55 42647052491 +10 44034466379 +39 60373446719 −48

${\displaystyle p}$ ${\displaystyle B}$ 64643245189 −21 66966581777 +91 67133912011 +9 80248324571 +46 80908082573 −20 100660783343 +87 112825721339 +70 231939720421 +41 258818504023 +4 260584487287 −52 265784418461 −78 298114694431 +82

Eine Wilson-Zahl ist eine natürliche Zahl ${\displaystyle n}$, für welche gilt:

${\displaystyle W(n)\equiv 0{\pmod {n^{2}}}}$, mit ${\displaystyle W(n)=\prod _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\operatorname {ggT} (k,n)=1}}{k}+e}$

Dabei ist ${\displaystyle e=1}$ genau dann, wenn ${\displaystyle n}$ eine Primitivwurzel hat, sonst ist ${\displaystyle e=-1}$.

Für jede natürliche Zahl ${\displaystyle n}$ ist ${\displaystyle W(n)}$ durch ${\displaystyle n}$ teilbar. Den Quotienten ${\displaystyle {\frac {W(n)}{n}}}$ nennt man verallgemeinerter Wilson-Quotient.^[6] Die ersten verallgemeinerte Wilson-Quotienten lauten:

2, 1, 1, 1, 5, 1, 103, 13, 249, 19, 329891, 32, 36846277, 1379, 59793, 126689, 1230752346353, 4727, 336967037143579, 436486, 2252263619, 56815333, 48869596859895986087, 1549256, 1654529071288638505 (Folge A157249 in OEIS)

Ist der verallgemeinerte Wilson-Quotient durch ${\displaystyle n}$ teilbar, erhält man eine Wilson-Zahl. Diese lauten:

1, 5, 13, 563, 5971, 558771, 1964215, 8121909, 12326713, 23025711, 26921605, 341569806, 399292158 (Folge A157250 in OEIS)

Wenn eine Wilson-Zahl ${\displaystyle n}$ prim ist, dann ist ${\displaystyle n}$ eine Wilson-Primzahl. Es gibt 13 Wilson-Zahlen für ${\displaystyle n<5\cdot 10^{8}}$.

• N. G. W. H. Beeger: Quelques remarques sur les congruences r^p−1 ≡ 1 (mod p²) et (p−1)! ≡ −1 (mod p²). In: The Messenger of Mathematics, 43, 1913–1914, S. 72–84 (französisch) Textarchiv – Internet Archive
• Emma Lehmer: On congruences involving Bernoulli numbers and the quotients of Fermat and Wilson. (PDF; 747 kB) In: Annals of Mathematics, 39, April 1938, S. 350–360 (englisch)
• Paulo Ribenboim: Die Welt der Primzahlen. Geheimnisse und Rekorde. Springer, Berlin 2006, ISBN 3-540-34283-4 (aktualisierte Übersetzung von The little book of bigger primes. Springer, New York 2004)

• Eric W. Weisstein: Wilson Prime. In: MathWorld (englisch).
• Chris K. Caldwell: Wilson prime. The Prime Glossary (englisch).
• Here is the latest update on … – E-Mail von Richard McIntosh an Paul Zimmermann vom 9. März 2004 (englisch)
• Emma Lehmer: On congruences involving Bernoulli numbers and the quotients of Fermat and Wilson. Annals of Mathematics 39 (2), April 1938, S. 350–360, abgerufen am 3. Februar 2020. 
• Distributed search for Wilson primes. mersenneforum.org, abgerufen am 3. Februar 2020. 
• Erna H. Pearson: On the Congruences (p − 1)! ≡ −1 and 2^p−1 ≡ 1 (mod p²). Mathematics of Computation 17, 6. April 1962, S. 194–195, abgerufen am 3. Februar 2020. 

1. ↑ Eric W. Weisstein: Wilson Quotient. In: MathWorld (englisch).
2. ↑ Karl Goldberg: A table of Wilson quotients and the third Wilson prime. In: Journal of the London Mathematical Society, 28, April 1953, S. 252–256 (englisch)
3. ↑ ^{a b} Edgar Costa, Robert Gerbicz, David Harvey: A search for Wilson primes. 27. Oktober 2012, S. 1–25, abgerufen am 1. Februar 2020. 
4. ↑ Richard Crandall, Karl Dilcher, Carl Pomerance: A search for Wieferich and Wilson primes. Mathematics of Computation 66, Januar 1997, S. 433–449 (englisch)
5. ↑ Chris K. Caldwell: Wilson prime. The Prime Glossary (englisch).
6. ↑ Takashi Agoh, Karl Dilcher, Ladislav Skula: Wilson Quotients for composite moduli. Mathematics of Computation 67 (222), April 1998, S. 843–861, abgerufen am 2. Februar 2020.