In der Mathematik heißt ein Polynom in mehreren Unbestimmten symmetrisch, wenn man die Unbestimmten untereinander vertauschen kann, ohne das Polynom zu verändern.

Es sei ${\displaystyle n\geq 0}$ eine natürliche Zahl, ${\displaystyle A}$ ein Ring mit Eins und ${\displaystyle P:=A[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ der Polynomring in ${\displaystyle n}$ Unbestimmten über ${\displaystyle A}$. Dann heißt ein Polynom^{[Anm 1]} ${\displaystyle p\in P}$ symmetrisch in ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$, wenn

${\displaystyle p(x_{\pi (1)},\ldots ,x_{\pi (n)})=p(x_{1},\ldots ,x_{n})}$       (1)

für alle Permutationen ${\displaystyle \pi }$ aus der symmetrischen Gruppe ${\displaystyle S_{n}}$ gilt.

Fall ${\displaystyle n=0}$: Die Gruppe ${\displaystyle S_{0}}$ ist leer, also ist (1) für alle ${\displaystyle \pi \in S_{0}}$ und damit auch für alle „Polynome“ aus ${\displaystyle P=A}$ erfüllt.

Fall ${\displaystyle n=1}$: Die Gruppe ${\displaystyle S_{1}}$ besteht ausschließlich aus der identischen Abbildung, die jedes Polynom auf sich selbst abbildet. Damit ist (1) für jedes Polynom ${\displaystyle p\in P=A[x_{1}]}$ erfüllt.

Für ${\displaystyle n\geq 2}$ sind zu (1) äquivalente Beschreibungen:

• Für alle ${\displaystyle k\neq m}$ ist

${\displaystyle p(x_{1},\ldots ,x_{k-1},x_{k},x_{k+1}\ldots ,x_{m-1},x_{m},x_{m+1},\ldots ,x_{n})=p(x_{1},\ldots ,x_{k-1},x_{m},x_{k+1},\ldots ,x_{m-1},x_{k},x_{m+1},\ldots ,x_{n}),}$

das heißt, man kann zwei beliebige Unbestimmte gegeneinander austauschen.

• Es sei

${\displaystyle p=\sum _{\alpha _{1}\geq 0,\ldots ,\alpha _{n}\geq 0}a_{\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}}x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots x_{n}^{\alpha _{n}}.}$

Dann ist ${\displaystyle p}$ genau dann symmetrisch, wenn

${\displaystyle a_{\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}}=a_{\alpha _{\pi (1)},\ldots ,\alpha _{\pi (n)}}}$ für alle ${\displaystyle \pi \in S_{n}}$

gilt. Anschaulich bedeutet das, dass der Koeffizient eines Monoms von ${\displaystyle p}$ nur davon abhängt, welche Exponenten wie oft vorkommen, und nicht, bei welchen Unbestimmten.

• Die symmetrische Gruppe ${\displaystyle S_{n}}$ operiert durch

${\displaystyle (\pi p)(x_{1},\ldots ,x_{n})=p(x_{\pi (1)},\ldots ,x_{\pi (n)})}$

auf dem Polynomring ${\displaystyle A[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$. Ein Polynom ist genau dann symmetrisch, wenn es invariant unter dieser Operation ist, d. h., wenn

${\displaystyle \pi p=p}$ für alle ${\displaystyle \pi \in S_{n}}$

gilt. Eine mögliche Schreibweise für den Ring der symmetrischen Polynome ist deshalb

${\displaystyle A[x_{1},\ldots ,x_{n}]^{S_{n}}.}$

Offensichtlich ist sowohl die Summe als auch das Produkt zweier symmetrischer Polynome wieder ein symmetrisches Polynom. Somit ist der Ring der symmetrischen Polynome ${\displaystyle A[x_{1},\ldots ,x_{n}]^{S_{n}}}$ wiederum ein Ring mit Eins.

Die konstanten Polynome ${\displaystyle p=a}$ mit ${\displaystyle a\in A}$ sind trivialerweise symmetrisch.

Wir ersetzen nun den Grundring ${\displaystyle A}$ durch einen Grundkörper ${\displaystyle K}$. Der Körper der symmetrischen Funktionen ${\displaystyle L}$ ist analog zu obiger Definition der Fixkörper unter ${\displaystyle S_{n}}$, also: ${\displaystyle L=K(x_{1},\ldots ,x_{n})^{S_{n}}}$.
Die Körpererweiterung ${\displaystyle K(x_{1},\ldots ,x_{n})/L}$ ist galoissch mit Galoisgruppe ${\displaystyle S_{n}}$ und hat damit Grad ${\displaystyle n!~.}$

• Das Polynom ${\displaystyle X+Y}$ ist symmetrisch in ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$, jedoch nicht symmetrisch in ${\displaystyle X,Y,Z}$.
• Aus jedem beliebigen Polynom ${\displaystyle p}$ in den Variablen ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ lässt sich ein symmetrisches Polynom bilden, indem man die Bilder unter den Permutationen addiert, also:

${\displaystyle \sum _{\pi \in S_{n}}\pi (p)}$

(s. a. unten § Monomisch erzeugte symmetrische Polynome).

Eine besonders wichtige Sorte symmetrischer Polynome sind die sog. elementarsymmetrischen Polynome. Sie sind Grundbausteine der symmetrischen Polynome in dem Sinn, dass sich letztere stets als Polynom in ersteren ausdrücken lassen und dies auf nur eine Weise.

Zu jeder Anzahl (Symmetriegrad) ${\displaystyle n}$ von Unbestimmten und jedem (Polynom-)Grad ${\displaystyle k\leq n}$ gibt es genau ein elementarsymmetrisches Polynom ${\displaystyle \sigma _{n,k}}$.

Beispiele

• Die zwei elementarsymmetrischen Polynome in den Variablen ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$ sind

${\displaystyle \sigma _{2,1}=X+Y\qquad }$ sowie ${\displaystyle \sigma _{2,2}=X\cdot Y}$

• In drei Variablen ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$, ${\displaystyle Z}$ hat man die drei elementarsymmetrischen Polynome

${\displaystyle \sigma _{3,1}=X+Y+Z\qquad \sigma _{3,2}=X\cdot Y+X\cdot Z+Y\cdot Z\qquad \sigma _{3,3}=X\cdot Y\cdot Z}$

Mit den Potenzsummen

${\displaystyle s_{n,m}(x_{1},\ldots ,x_{n}):=x_{1}^{m}+\ldots +x_{n}^{m}}$, ${\displaystyle m=0,1,2,\ldots }$

für ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$ hat man eine weitere Sorte symmetrischer Polynome. Sie sind über die Newton-Identitäten mit den elementarsymmetrischen Polynomen ${\displaystyle \sigma _{n,k}}$ verbunden. Für ${\displaystyle m=1,2,3}$ hat man beispielsweise:

• ${\displaystyle s_{n,1}=x_{1}+\dotsb +x_{n}=\sigma _{n,1}}$
• ${\displaystyle s_{n,2}=x_{1}^{2}+\dotsb +x_{n}^{2}=\sigma _{n,1}^{2}-2\sigma _{n,2}}$
• ${\displaystyle s_{n,3}=x_{1}^{3}+\dotsb +x_{n}^{3}=\sigma _{n,1}^{3}-3\sigma _{n,1}\sigma _{n,2}+3\sigma _{n,3}}$

Und umgekehrt:

• ${\displaystyle \sigma _{n,1}=s_{n,1}}$
• ${\displaystyle 2\sigma _{n,2}=s_{n,1}^{2}-s_{n,2}}$
• ${\displaystyle 6\sigma _{n,3}=s_{n,1}^{3}-3s_{n,1}s_{n,2}+2s_{n,3}}$

Enthält der Ring ${\displaystyle A}$ die rationalen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, so gilt ein ähnlicher Satz wie bei den elementarsymmetrischen Polynomen:

• Jedes symmetrische Polynom lässt sich als Polynom in Potenzsummen schreiben.
• Diese Darstellung ist eindeutig.

Die monomial-symmetrischen Polynome (englisch monomial symmetric polynomials) sind für eine Folge ${\displaystyle \lambda =(\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n})}$, bestehend aus nichtnegativen ganzzahligen Gliedern ${\displaystyle \lambda _{i}}$, definiert als^[1]

${\displaystyle m_{\lambda }(x)=m_{\lambda }(x_{1},\ldots ,x_{n}):=\sum _{\alpha \sim \lambda }x^{\alpha }=\sum _{\alpha \sim \lambda }x_{1}^{\alpha _{1}}\cdot \ldots \cdot x_{n}^{\alpha _{n}}}$

wobei ${\displaystyle \alpha \sim \lambda }$ bedeutet, dass ${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})}$ eine Permutation der Folgenglieder ${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}}$ von ${\displaystyle \lambda }$ ist. Da es beim Ergebnis der durch die Formel ${\displaystyle m_{\lambda }(x)}$ definierten Menge ganz wesentlich auf die Vielfachheit ${\displaystyle k_{i}}$ eines Gliedes (Exponenten) ${\displaystyle \lambda _{i}}$ innerhalb der Folge ${\displaystyle \lambda }$ ankommt, wird die Menge ${\displaystyle m_{\lambda }(x)}$ besonders deutlich charakterisiert, wenn man die Folge

${\displaystyle \lambda _{1}\geq \cdots >\lambda _{i}=\dots =\lambda _{j}>\cdots \geq \lambda _{n}}$

mit sortierten Gliedern notiert (hier absteigend, oder noch deutlicher streng absteigend: bspw. als ${\displaystyle \lambda _{1}^{k_{1}}>\cdots >\lambda _{s}^{k_{s}}}$ mit hochgestellten Vielfachheiten ${\displaystyle k_{i}}$. Durch die Sortierung erhält die Folge eine Struktur, die die Permutierbarkeit der Potenzen mit gleichen Exponenten und damit eine „Partitionierung“ der Ganzzahl ${\displaystyle n}$ in gleichartige Abschnitte deutlicher herausbringt. Näheres zur Partitionierung von Ganzzahlen findet sich bspw. im Artikel Young-Tableau). Die Gesamtzahl der verschiedenen Monome des symmetrischen Polynoms ${\displaystyle m_{\lambda }(x)}$ lässt sich dann wie folgt berechnen: Sei ${\displaystyle k_{i}:=j-i+1}$ die Vielfachheit des Gliedes ${\displaystyle \lambda _{i}}$ innerhalb der Folge ${\displaystyle \lambda }$, dann hat wegen ${\displaystyle n=\textstyle \sum k_{i}=k_{1}+\ldots +k_{s}}$^[2] nach der abzählenden Kombinatorik das Polynom ${\displaystyle m_{\lambda }(x)}$ genau

${\displaystyle {\frac {(k_{1}+\ldots +k_{s})!}{k_{1}!\cdot \ldots \cdot k_{s}!}}={\frac {n!}{k_{1}!\cdot \ldots \cdot k_{s}!}}={\binom {n}{k_{1},\ldots ,k_{s}}}}$

Monome.

Bemerkung

Jedes symmetrische Polynom lässt sich als (endliche) Summe von monomial-symmetrischen schreiben. Denn mit jedem Monom ${\displaystyle a_{\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}}\!\cdot x_{1}^{\lambda _{1}}\cdot \ldots \cdot x_{n}^{\lambda _{n}}}$ enthält es genau wie ${\displaystyle m_{\lambda }(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ gemäß →dieser Charakterisierung auch alle Permutationen ${\displaystyle a_{\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}}\!\cdot x_{1}^{\lambda _{\pi (1)}}\cdot \ldots \cdot x_{n}^{\lambda _{\pi (n)}}}$ von dessen Exponenten.

Beispiele

monomial- symmetrisch	andere Form	ausgeschrieben	Anzahl Monome	Parti- tionen
${\displaystyle m_{(1,0,0,\ldots ,0)}(x_{1},\ldots ,x_{n})}$	${\displaystyle =\sigma _{n,1}(x_{1},\ldots ,x_{n})}$	${\displaystyle =x_{1}+\dots +x_{n}}$	${\displaystyle n}$	${\displaystyle (1,n\!-\!1)}$
${\displaystyle m_{(1,1,0,\ldots ,0)}(x_{1},\ldots ,x_{n})}$	${\displaystyle =\sigma _{n,2}(x_{1},\ldots ,x_{n})}$	${\displaystyle =x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+\dots +x_{2}x_{3}+\dots +x_{n-1}x_{n}}$	${\displaystyle {\tbinom {n}{2}}}$	${\displaystyle (2,n\!-\!2)}$
${\displaystyle m_{(1,1,1,\ldots ,1)}(x_{1},\ldots ,x_{n})}$	${\displaystyle =\sigma _{n,n}(x_{1},\ldots ,x_{n})}$	${\displaystyle =x_{1}\cdot \ldots \cdot x_{n}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle (1)}$
${\displaystyle m_{(k,0,0,\ldots ,0)}(x_{1},\ldots ,x_{n})}$	${\displaystyle =s_{n,k}(x_{1},\ldots ,x_{n})}$	${\displaystyle =x_{1}^{k}+\dots +x_{n}^{k}}$	${\displaystyle n}$	${\displaystyle (1,n\!-\!1)}$
${\displaystyle m_{(2,1,0,\ldots ,0)}(x_{1},\ldots ,x_{n})}$		${\displaystyle =x_{1}^{2}x_{2}+x_{1}^{2}x_{3}+\dots +x_{1}x_{2}^{2}+x_{2}^{2}x_{3}+\dots +x_{n-1}x_{n}^{2}}$	${\displaystyle n(n-1)}$	${\displaystyle (1,1,n\!-\!2)}$
${\displaystyle m_{(2,1,1)}(x_{1},x_{2},x_{3})}$		${\displaystyle =x_{1}^{2}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}^{2}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{3}^{2}}$	${\displaystyle 3}$	${\displaystyle (1,2)}$

Die Reihenfolge der Partitionen entspricht der der Exponenten (erste Spalte). In den ersten 5 Zeilen partitionieren sie die Zahl ${\displaystyle n}$.

Die Macdonald-Polynome sind eine Familie symmetrischer orthogonaler Polynome mit zugehörigen Gewichten ${\displaystyle \lambda }$ eines Wurzelsystems und ${\displaystyle q,t}$-Deformationen der Schur-Funktionen.^[1]

Schubert-Polynome sind Polynom-Darstellungen der Schubert-Klassen im Kohomologie-Ring der Fahnenmannigfaltigkeit.^[3]

Sei ${\displaystyle V}$ ein ${\displaystyle n}$-dimensionaler ${\displaystyle \mathbb {C} }$-Vektorraum und bezeichne seine Fahnenmannigfaltigkeit als ${\displaystyle {\mathcal {Fl}}V}$. Sei ${\displaystyle \omega \in S_{n}}$ und sei ${\displaystyle X_{\omega }}$ die Schubert-Varietät und ${\displaystyle [X_{\omega }]\in H^{2l(\omega )}({\mathcal {Fl}}V)}$ die Schubert-Klasse (die Poincaré-dual zu der Fundamentalklasse von ${\displaystyle X_{\omega }}$ in ${\displaystyle X_{*}({\mathcal {Fl}}V)}$ ist).^[4]

Sei ${\displaystyle s_{i}}$ die Permutation ${\displaystyle (x_{i},x_{i+1})}$ und ${\displaystyle I}$ der Identitätsoperator, definiere den Symmetrisierungs-Operator

${\displaystyle \partial _{i}={\frac {I-s_{i}}{x_{i}-x_{i+1}}}}$

auf dem Polynomring ${\displaystyle \mathbb {Q} [x_{1},\dots ,x_{n}]}$.

Sei ${\displaystyle \omega \in S_{n}}$ und ${\displaystyle \omega =s_{a_{1}}\cdots s_{a_{n}}}$ seine reduzierte Darstellung, dann ist der Operator ${\displaystyle \partial _{\omega }=\partial _{s_{a_{1}}}\cdots \partial _{s_{a_{n}}}}$ wohldefiniert und wenn ${\displaystyle \omega =s_{a_{1}}\cdots s_{a_{q}}}$ nicht reduziert ist, dann ist ${\displaystyle \partial _{s_{a_{1}}}\cdots \partial _{s_{a_{q}}}=0.}$

Sei ${\displaystyle \delta =(n-1,n-2,\dots ,1,0)}$ und ${\displaystyle x^{\delta }=x_{1}^{n-1}x_{2}^{n-2}\cdots x_{n-1}}$. Für jede Permutation ${\displaystyle \omega \in S_{n}}$ ist das ${\displaystyle [X_{\omega }]}$ repräsentierende Schubert-Polynom ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{\omega }}$ definiert als

${\displaystyle {\mathcal {S}}_{\omega }=\partial _{\omega ^{-1}\omega _{0}}x^{\delta }.}$

Im Falle der Grassmannischen Subvarietät der vollständigen Fahnenmannigfaltigkeit, werden sie symmetrisch und Schur-Polynome genannt.

Sei ${\displaystyle m_{\mu }}$ ein monomial-symmetrisches Polynom mit zugehöriger Partition ${\displaystyle \mu }$. Dann sind die Schur-Polynome definiert als

${\displaystyle s_{\lambda }(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum \limits _{\mu \vdash n}K_{\lambda \mu }m_{\mu }}$

wobei ${\displaystyle K_{\lambda \mu }}$ die Kostka-Nummern sind, d. h. die Anzahl semistandard Young-Tableau (SSYT) der Form ${\displaystyle \lambda }$ mit Gewicht ${\displaystyle \mu }$.^[5] Die Schur-Polynome besitzen eine natürliche determinantale Struktur durch die Weylsche Charakterformel.

Eine weitere Definition ist die sogenannte Kostka-Definition der Schur-Polynome. Sei ${\displaystyle T}$ ein SSYT vom Typ ${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})}$, dann lautet die Kostka-Definition^[5]

${\displaystyle s_{\lambda }(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum \limits _{T\in {\text{SSYT}}}x^{\alpha _{1}(T)}\cdots x^{\alpha _{n}(T)}.}$

Grothendieck-Polynome sind inhomogenen Polynome, welche die Schubert-Polynome verallgemeinern. Sei ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X_{\omega }}}$ die Struktur-Garbe der Schubert-Varietät ${\displaystyle X_{\omega }}$. Sei ${\displaystyle \pi _{i}:=\partial _{i}(I-x_{i+1})}$, die Grothendieck-Polynome ${\displaystyle {\mathfrak {G}}_{\omega }}$ repräsentieren die Schubert-Klassen ${\displaystyle [{\mathcal {O}}_{X_{\omega }}]}$ und sind definiert als^[4]

${\displaystyle {\mathfrak {G}}_{\omega }=\pi _{\omega ^{-1}\omega _{0}}x^{\delta }.}$

Die symmetrischen stabilen Grothendieck-Polynome erhält man durch

${\displaystyle G_{\omega }(x):=\lim \limits _{k\to \infty }{\mathfrak {G}}_{1^{k}\times \omega }(x).}$

Sei ${\displaystyle \Lambda _{N}=\mathbb {C} [x_{1},\dots ,x_{N}]^{S_{N}}}$ der Raum der symmetrischen Polynome und definiere die Abbildung ${\displaystyle \pi _{N+1}:\mathbb {C} [x_{1},\dots ,x_{N+1}]\to \mathbb {C} [x_{1},\dots ,x_{N}]}$, welche den Turm von graduierten Algebren erzeugt

${\displaystyle \mathbb {C} \leftarrow \Lambda _{1}\leftarrow \Lambda _{2}\leftarrow \Lambda _{3}\leftarrow \dots .}$

Der Ring der symmetrischen Funktionen ist der projektive Limes^[1]

${\displaystyle \Lambda =\varprojlim _{N}\Lambda _{N}=\{(f_{1},f_{2},\dots ,):f_{j}\in \Lambda _{N},\pi _{j}f_{j}=f_{j-1},\operatorname {deg} (f_{j})\ {\text{beschränkt}}\}.}$

Sei ${\displaystyle \Lambda }$ der Ring der symmetrischen Funktionen und ${\displaystyle R}$ sei eine kommutative Algebra mit Einselement. Dann nennt man einen (Algebra)-Homomorphismus ${\displaystyle \varphi :\Lambda \to R,\quad f\mapsto f(\varphi )}$ eine Spezialisierung.^[5]

Beispiel:

• Sei ${\displaystyle R=\mathbb {R} }$ und ${\displaystyle \varphi (1_{\Lambda })=1_{R}}$. Sei ${\displaystyle f(x_{1},x_{2},\dots )}$ eine symmetrische Funktion, dann ist die Substitution ${\displaystyle x_{1}=1,x_{2}=5,x_{3}=2}$ und ${\displaystyle x_{i}=0,\forall i\geq 4}$ eine Spezialisierung.
• Sei ${\displaystyle f(x_{1},x_{2},\dots )}$ eine symmetrische Funktion. Dann nennt man ${\displaystyle f(1,q,q^{2},q^{3}\dots ,)}$ Hauptspezialisierung (englisch principal specialization) und notiert diese häufig als ${\displaystyle \operatorname {ps} ^{q}(f)}$ oder ${\displaystyle \operatorname {ps} (f)}$. Analog definiert man auch ${\displaystyle \operatorname {ps} _{k}^{q}(f):=f(1,q,q^{2},\dots ,q^{k-1})}$.

• Lagrange-Resolvente
• Symmetrische Funktion

1. ↑ In älterer Literatur ist mit gleicher Bedeutung auch von „symmetrischen Funktionen“ die Rede, z. B: im Lehrbuch Algebra I von Bartel Leendert van der Waerden. Hintergrund dieser heute nicht mehr üblichen Terminologie ist, dass seinerzeit die Unterscheidung zwischen „formalen“ Polynomen ${\displaystyle f(X)}$, die Elemente des Polynomrings ${\displaystyle R^{(\mathbb {N} )}}$, einer Polynomalgebra ${\displaystyle K^{(\mathbb {N} )}}$oder eines Polynommoduls ${\displaystyle M^{(\mathbb {N} )}}$sind, und den durch Einsetzen entstehenden Polynomfunktionen (Abbildungen) ${\displaystyle f\colon I\to A,x\mapsto f(x)}$ (mit ${\displaystyle A\in \{R,K,M\}}$ und ${\displaystyle I\subset R}$ bzw. ${\displaystyle I\subset K}$) in der Terminologie nicht getroffen wurde. Stattdessen wurde dann häufig die Unbestimmtheit der Variablen („Unbestimmte“ ${\displaystyle X}$) betont, wenn anstelle von Funktionen von Polynomen die Rede sein sollte.

• Siegfried Bosch: Algebra. 8. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-39566-6, Kapitel 4, Abschnitt 4.
• Gerd Fischer: Lehrbuch der Algebra. 3. Auflage. Springer, Wiesbaden 2013, ISBN 978-3-658-02220-4, Kapitel III, §4.1.
• Jens Carsten Jantzen, Joachim Schwermer: Algebra. 2. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-40532-7, Kapitel IV, §3.3.
• Bartel Leendert van der Waerden: Algebra I. 8. Auflage, 1971, Heidelberger Taschenbücher Band 12, ISBN 3-540-03561-3.

1. ↑ ^{a b c} Macdonald, I.G.: Symmetric functions and Hall polynomials. Hrsg.: Oxford University Press. 2. Auflage. New York, ISBN 978-0-19-873912-8. 
2. ↑ Die Folge ${\displaystyle k_{1},\ldots ,k_{s}}$ wird oft als Partition der Ganzzahl ${\displaystyle n}$ bezeichnet.
3. ↑ Nantel Bergeron: A combinatorial construction of the Schubert polynomials. In: Journal of Combinatorial Theory, Series A. Band 60, Nr. 2, 1992, S. 168–182, doi:10.1016/0097-3165(92)90002-C. 
4. ↑ ^{a b} Cristian Lenart, Shawn Robinson und Frank Sottile: Grothendieck Polynomials via Permutation Patterns and Chains in the Bruhat Order. In: American Journal of Mathematics. Band 128, Nr. 4, 2006, S. 805-48, JSTOR:40068007. 
5. ↑ ^{a b c} Richard P. Stanley und Sergey P. Fomin: Enumerative Combinatorics. Hrsg.: Cambridge University Press. Band 2.