Die symmetrische Gruppe ${\displaystyle S_{n}}$ (${\displaystyle {\mathcal {S}}_{n}}$, ${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{n}}$ oder ${\displaystyle \operatorname {Sym} _{n}}$) ist die Gruppe, die aus allen Permutationen (Vertauschungen) einer ${\displaystyle n}$-elementigen Menge besteht. Man nennt ${\displaystyle n}$ den Grad der Gruppe. Die Gruppenoperation ist die Komposition ${\displaystyle \circ }$ (Hintereinanderausführung) der Permutationen; das neutrale Element ist die identische Abbildung. Die symmetrische Gruppe ${\displaystyle S_{n}}$ ist endlich und besitzt die Ordnung ${\displaystyle n!}$. Sie ist für ${\displaystyle n>2}$ nichtabelsch.

Der Name der Gruppe wurde deshalb so gewählt, weil die Funktionen der Variablen ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dotsb ,x_{n}}$, die bei allen Permutationen invariant bleiben, die symmetrischen Funktionen sind.^[1]

Mitunter findet man auch die Definition der symmetrischen Gruppe ${\displaystyle S(M)}$ oder ${\displaystyle \operatorname {Sym} (M)}$ einer beliebigen nicht-leeren Menge ${\displaystyle M}$, bestehend aus allen bijektiven Abbildungen der Menge ${\displaystyle M}$ in sich, zusammen mit der üblichen Komposition von Abbildungen. Die Gruppe ${\displaystyle S_{n}}$ ist dann die symmetrische Gruppe von ${\displaystyle M=\{1,2,...,n\}}$.^[2]

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, eine Permutation zu notieren. Bildet zum Beispiel eine Permutation ${\displaystyle p}$ das Element ${\displaystyle 1}$ auf ${\displaystyle p_{1}}$, das Element ${\displaystyle 2}$ auf ${\displaystyle p_{2}}$ usw. ab, so kann man hierfür

${\displaystyle p={\begin{pmatrix}1&2&3&\dots \\p_{1}&p_{2}&p_{3}&\dots \end{pmatrix}}}$

schreiben. In dieser sogenannten Zweizeilenform erhält man die inverse Permutation ${\displaystyle p^{-1}}$, indem man die obere und die untere Zeile vertauscht.

Anmerkung: Die Elemente der ersten Zeile dürfen auch in einer anderen Reihenfolge notiert werden.

Eine andere wichtige Schreibweise ist die Zyklenschreibweise:

Sind ${\displaystyle p_{1},p_{2},\ldots p_{k}}$ verschieden, geht ${\displaystyle p_{1}}$ in ${\displaystyle p_{2}}$, ${\displaystyle p_{2}}$ in ${\displaystyle p_{3}}$, ..., ${\displaystyle p_{k}}$ in ${\displaystyle p_{1}}$ über, und bleiben alle anderen Elemente invariant, so schreibt man hierfür

${\displaystyle p={\begin{pmatrix}p_{1}&p_{2}&p_{3}&\dots &p_{k}\end{pmatrix}},}$

und nennt dies einen Zyklus der Länge ${\displaystyle k}$. Zwei Zyklen der Länge ${\displaystyle k}$ beschreiben genau dann die gleiche Abbildung, wenn der eine durch zyklische Vertauschung seiner Einträge ${\displaystyle p_{k}}$ zum anderen wird. Zum Beispiel gilt ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&5&3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}5&3&1\end{pmatrix}}\neq {\begin{pmatrix}1&3&5\end{pmatrix}}.}$

Jede Permutation kann als Produkt von disjunkten Zyklen geschrieben werden. (Hierbei heißen zwei Zyklen ${\displaystyle {\begin{pmatrix}p_{1}&p_{2}&p_{3}&\dots &p_{k}\end{pmatrix}}}$ und ${\displaystyle {\begin{pmatrix}q_{1}&q_{2}&q_{3}&\dots &q_{l}\end{pmatrix}}}$ disjunkt, wenn ${\displaystyle p_{i}\neq q_{j}}$ für alle ${\displaystyle i}$ und ${\displaystyle j}$ gilt.) Diese Darstellung als Produkt von disjunkten Zyklen ist sogar eindeutig bis auf zyklische Vertauschung der Einträge innerhalb von Zyklen und die Reihenfolge der Zyklen (diese Reihenfolge kann beliebig sein, denn disjunkte Zyklen kommutieren stets miteinander).

• Jede Permutation kann als Produkt von Transpositionen (Zweierzyklen) dargestellt werden; je nachdem, ob diese Anzahl gerad- oder ungeradzahlig ist, spricht man von geraden oder ungeraden Permutationen. Unabhängig davon, wie man das Produkt wählt, ist diese Anzahl entweder immer gerade oder immer ungerade und wird durch das Vorzeichen der Permutation beschrieben. Die Menge der geradzahligen Permutationen bildet eine Untergruppe der ${\displaystyle S_{n},}$ die alternierende Gruppe ${\displaystyle A_{n}.}$
• Auch die beiden Elemente ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2\end{pmatrix}}}$ und ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&\dots &n\end{pmatrix}}}$ erzeugen die symmetrische Gruppe ${\displaystyle S_{n}.}$^[3] Allgemeiner kann auch ein beliebiger ${\displaystyle n}$-Zyklus zusammen mit einer beliebigen Transposition zweier aufeinanderfolgender Elemente in diesem Zyklus gewählt werden.
• Falls ${\displaystyle n\neq 4}$, lässt sich zu einem beliebigen Element (nicht die Identität) ein Zweites derart wählen, dass beide Elemente die ${\displaystyle S_{n}}$ erzeugen.^[4]

Zwei Elemente der symmetrischen Gruppe sind genau dann zueinander konjugiert, wenn sie in der Darstellung als Produkt disjunkter Zyklen denselben Zyklentyp aufweisen, das heißt, wenn die Anzahlen der Einer-, Zweier-, Dreier- usw. -Zyklen übereinstimmen. In dieser Darstellung bedeutet die Konjugation eine Umnummerierung der Zahlen, die in den Zyklen stehen.

Jede Konjugationsklasse der ${\displaystyle S_{n}}$ entspricht daher umkehrbar eindeutig einer Zahlpartition von ${\displaystyle n}$ und die Anzahl ihrer Konjugationsklassen ist gleich dem Wert der Partitionsfunktion an der Stelle ${\displaystyle n,\,P(n).}$

Zum Beispiel liegen die Elemente ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}4&5\end{pmatrix}};{\begin{pmatrix}7&1&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}3&4\end{pmatrix}}\in S_{7}}$ in der Konjugationsklasse, die der Zahlpartition ${\displaystyle 7=3+2+1+1}$ von ${\displaystyle 7}$ zugeordnet ist, und ${\displaystyle S_{7}}$ hat ${\displaystyle P(7)=15}$ verschiedene Konjugationsklassen.

Die symmetrische Gruppe ${\displaystyle S_{n}}$ besitzt außer den trivialen Normalteilern ${\displaystyle \{id\}}$ und ${\displaystyle S_{n}}$ nur die alternierende Gruppe ${\displaystyle A_{n}}$ als Normalteiler, für ${\displaystyle n=4}$ zusätzlich noch die Kleinsche Vierergruppe ${\displaystyle V}$.

Die Kommutatorgruppe ${\displaystyle K(S_{n})=[S_{n},S_{n}]={S_{n}}'}$ ist ein Normalteiler, und es ist

${\displaystyle K(S_{n})=A_{n}}$.

Nach dem Satz von Cayley ist jede endliche Gruppe ${\displaystyle G}$ zu einer Untergruppe einer symmetrischen Gruppe ${\displaystyle S_{n}}$ isomorph, deren Grad ${\displaystyle n}$ nicht größer als die Ordnung von ${\displaystyle G}$ ist.

Ferner kann ${\displaystyle S_{n}}$ unter Anhängen der Transposition ${\displaystyle (n+1,n+2)}$ an alle ungeraden Permutationen in die alternierende Gruppe ${\displaystyle A_{n+2}}$ eingebettet werden. Damit ist jede endliche Gruppe auch zu einer Untergruppe einer alternierenden Gruppe isomorph.

Angelehnt an die Verkettung von Funktionen wird bei der Hintereinanderausführung ${\displaystyle p_{2}\circ p_{1}}$ von zwei Permutationen die zuerst ausgeführte Permutation ${\displaystyle p_{1}}$ rechts vom Verkettungszeichen ${\displaystyle \circ }$ geschrieben. Auf das Ergebnis wird die zweite Permutation ${\displaystyle p_{2}}$ angewandt.

Beispiel:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&3&4\\1&4&3&2\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}1&2&3&4\\3&2&4&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2&3&4\\3&4&2&1\end{pmatrix}}.}$

In Zyklenschreibweise lautet dies:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}2&4\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}1&3&4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&3&2&4\end{pmatrix}}.}$

Zunächst bildet die „rechte“ Permutation ${\displaystyle \scriptstyle {\begin{pmatrix}1&2&3&4\\3&2&4&1\end{pmatrix}}\,=\,\scriptstyle {\begin{pmatrix}1&3&4\end{pmatrix}}}$ die ${\displaystyle 1}$ auf die ${\displaystyle 3}$ ab, anschließend bildet die „linke“ Permutation ${\displaystyle \scriptstyle {\begin{pmatrix}1&2&3&4\\1&4&3&2\end{pmatrix}}\,=\,\scriptstyle {\begin{pmatrix}2&4\end{pmatrix}}}$ die ${\displaystyle 3}$ auf die ${\displaystyle 3}$ ab; die gesamte Verkettung bildet also die ${\displaystyle 1}$ auf die ${\displaystyle 3}$ ab, wie rechts vom Gleichheitszeichen als ${\displaystyle \scriptstyle {\begin{pmatrix}1&2&3&4\\3&4&2&1\end{pmatrix}}\,=\,\scriptstyle {\begin{pmatrix}1&3&2&4\end{pmatrix}}}$ hingeschrieben.

Für ${\displaystyle n>2}$ ist die symmetrische Gruppe ${\displaystyle S_{n}}$ nicht abelsch, wie man an folgender Rechnung sieht:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&3&\ldots \\2&3&1&\ldots \end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}1&2&3&\ldots \\2&1&3&\ldots \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2&3&\ldots \\3&2&1&\ldots \end{pmatrix}}\ \neq }$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&3&\ldots \\2&1&3&\ldots \end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}1&2&3&\ldots \\2&3&1&\ldots \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2&3&\ldots \\1&3&2&\ldots \end{pmatrix}}}$

• Symmetrische Gruppe vom Grad 3
• Young-Tableau

1. ↑ B. L. van der Waerden: Moderne Algebra. 3. verbesserte Auflage. Springer-Verlag, Berlin, Göttingen, Heidelberg 1950, S. 21 (VIII, 292 S.). 
2. ↑ Kurt Meyberg, Peter Vachenauer: Aufgaben und Lösungen zur Algebra. Carl Hanser Verlag, München, Wien 1978, S. 1. 
3. ↑ Vgl. Seite 2 oben in (PDF-Datei (Memento vom 16. Dezember 2011 im Internet Archive))
4. ↑ I. M. Isaacs and Thilo Zieschang, “Generating Symmetric Groups,” The American Mathematical Monthly 102, no. 8 (October 1995): 734-739.