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  2. Rechteckfunktion – Wikipedia
Rechteckfunktion – Wikipedia
aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Rechteckfunktion

Die Rechteckfunktion, auch rect-Funktion, ist eine unstetige mathematische Funktion mit folgender Definition:

rect ⁡ ( t ) = Π ( t ) = { 0 wenn  | t | > 1 2 1 2 wenn  | t | = 1 2 1 wenn  | t | < 1 2 {\displaystyle \operatorname {rect} (t)=\Pi (t)={\begin{cases}0&{\text{wenn }}|t|>{\frac {1}{2}}\\[3pt]{\frac {1}{2}}&{\text{wenn }}|t|={\frac {1}{2}}\\[3pt]1&{\text{wenn }}|t|<{\frac {1}{2}}\end{cases}}} {\displaystyle \operatorname {rect} (t)=\Pi (t)={\begin{cases}0&{\text{wenn }}|t|>{\frac {1}{2}}\\[3pt]{\frac {1}{2}}&{\text{wenn }}|t|={\frac {1}{2}}\\[3pt]1&{\text{wenn }}|t|<{\frac {1}{2}}\end{cases}}}

Alternative Definitionen, die vor allem im Bereich der Signalverarbeitung üblich sind, legen die Rechteckfunktion vereinfacht fest als:[1]

r e c t d ⁡ ( t ) = { 1 wenn  | t | ≤ 1 2 0 wenn  | t | > 1 2 {\displaystyle \operatorname {rect_{d}} (t)={\begin{cases}1&{\text{wenn }}|t|\leq {\frac {1}{2}}\\[3pt]0&{\text{wenn }}|t|>{\frac {1}{2}}\end{cases}}} {\displaystyle \operatorname {rect_{d}} (t)={\begin{cases}1&{\text{wenn }}|t|\leq {\frac {1}{2}}\\[3pt]0&{\text{wenn }}|t|>{\frac {1}{2}}\end{cases}}}

Allgemeines

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Die Rechteckfunktion kann auch mit Hilfe der Heaviside-Funktion Θ ( x ) {\displaystyle \Theta (x)} {\displaystyle \Theta (x)} ausgedrückt werden als:

rect ⁡ ( t ) = Θ ( t + 1 2 ) ⋅ Θ ( 1 2 − t ) = Θ ( t + 1 2 ) − Θ ( t − 1 2 ) {\displaystyle \operatorname {rect} (t)=\Theta \left(t+{\frac {1}{2}}\right)\cdot \Theta \left({\frac {1}{2}}-t\right)=\Theta \left(t+{\frac {1}{2}}\right)-\Theta \left(t-{\frac {1}{2}}\right)} {\displaystyle \operatorname {rect} (t)=\Theta \left(t+{\frac {1}{2}}\right)\cdot \Theta \left({\frac {1}{2}}-t\right)=\Theta \left(t+{\frac {1}{2}}\right)-\Theta \left(t-{\frac {1}{2}}\right)}

Dabei ist Θ ( 0 ) = 1 2 {\displaystyle \Theta (0)={\tfrac {1}{2}}} {\displaystyle \Theta (0)={\tfrac {1}{2}}} gesetzt.

Die Fourier-Transformation der Rechteckfunktion ergibt die sinc-Funktion sinc ⁡ ( x ) = sin ⁡ ( π x ) / ( π x ) {\displaystyle \operatorname {sinc} (x)=\sin(\pi x)/(\pi x)} {\displaystyle \operatorname {sinc} (x)=\sin(\pi x)/(\pi x)}:

F { rect ⁡ ( t ) } = sinc ⁡ ( f ) {\displaystyle {\mathcal {F}}\{\operatorname {rect} (t)\}=\operatorname {sinc} (f)} {\displaystyle {\mathcal {F}}\{\operatorname {rect} (t)\}=\operatorname {sinc} (f)}

Das gilt auch für r e c t d ⁡ ( t ) {\displaystyle \operatorname {rect_{d}} (t)} {\displaystyle \operatorname {rect_{d}} (t)}. Umgekehrt gilt allerdings formal nicht

F { sinc ⁡ ( t ) } = rect ⁡ ( f ) {\displaystyle {\mathcal {F}}\{\operatorname {sinc} (t)\}=\operatorname {rect} (f)} {\displaystyle {\mathcal {F}}\{\operatorname {sinc} (t)\}=\operatorname {rect} (f)}.

Denn es ist sinc ∉ L 1 ( R n ) {\displaystyle \operatorname {sinc} \notin L^{1}(\mathbb {R} ^{n})} {\displaystyle \operatorname {sinc} \notin L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}, und somit konvergiert das Integral der gewöhnlichen Fouriertransformation nicht. Die Gleichung gilt allerdings im Sinne der Fouriertransformation temperierter Distributionen.

Verschiebung und Skalierung

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Eine Rechteckfunktion, die bei t 0 {\displaystyle t_{0}} {\displaystyle t_{0}} zentriert ist und eine Dauer von T {\displaystyle T} {\displaystyle T} hat, wird ausgedrückt durch

rect ⁡ ( t − t 0 T ) . {\displaystyle \operatorname {rect} \left({\frac {t-t_{0}}{T}}\right)\,.} {\displaystyle \operatorname {rect} \left({\frac {t-t_{0}}{T}}\right)\,.}

Ableitung

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Die Rechteckfunktion ist als unstetige Funktion weder im klassischen Sinne differenzierbar noch ist sie schwach differenzierbar. Allerdings ist eine Distributionenableitung durch die diracsche Delta-Distribution δ {\displaystyle \delta } {\displaystyle \delta } möglich:

rect ′ ⁡ ( t ) = δ ( t + 1 2 ) − δ ( t − 1 2 ) {\displaystyle \operatorname {rect} '(t)=\delta \left(t+{\frac {1}{2}}\right)-\delta \left(t-{\frac {1}{2}}\right)} {\displaystyle \operatorname {rect} '(t)=\delta \left(t+{\frac {1}{2}}\right)-\delta \left(t-{\frac {1}{2}}\right)}

Weitere Zusammenhänge

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Die Faltung zweier gleicher Rechteckfunktionen ergibt die Dreiecksfunktion, die Integration eine Rampenfunktion. Eine Form mit periodischer Fortsetzung der Rechteckfunktion sind die Rademacherfunktionen. Eine weitere Form der periodischen Fortsetzung von rect {\displaystyle \operatorname {rect} } {\displaystyle \operatorname {rect} } ergibt die konstante Funktion 1 {\displaystyle \operatorname {1} } {\displaystyle \operatorname {1} }.

Die mehrfache Faltung mit n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } {\displaystyle n\in \mathbb {N} } Faltungen

rect ⁡ ( t ) ∗ rect ⁡ ( t ) ∗ rect ⁡ ( t ) ∗ ⋯ ⏟ n -mal {\displaystyle \underbrace {\operatorname {rect} (t)*\operatorname {rect} (t)*\operatorname {rect} (t)*\dotsm } _{n{\text{-mal}}}} {\displaystyle \underbrace {\operatorname {rect} (t)*\operatorname {rect} (t)*\operatorname {rect} (t)*\dotsm } _{n{\text{-mal}}}}

ergibt für n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } {\displaystyle n\to \infty } mit einer geeigneten Skalierung die Gaußsche Glockenkurve.

Siehe auch

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  • Rechteckschwingung: Anwendung in der Signaltheorie und Elektrotechnik

Weblinks

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  • Eric W. Weisstein: Rectangle Function. In: MathWorld (englisch).

Einzelnachweise

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  1. ↑ Hans Dieter Lüke: Signalübertragung. Grundlagen der digitalen und analogen Nachrichtenübertragungssysteme. 6., neubearbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 1995, ISBN 3-540-58753-5, S. 2. 
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Kategorie:
  • Mathematische Funktion

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