In der Ringtheorie ist ein Primideal eine Teilmenge eines Ringes, die sich ähnlich wie eine Primzahl als Element der ganzen Zahlen verhält.
Definitionen
Es sei ein Ring. Dann heißt ein zweiseitiges Ideal Primideal oder prim, falls echt ist, also , und wenn für alle Ideale gilt:[1]
- Aus folgt oder
Außerdem heißt vollständiges Primideal oder vollprim, falls echt ist und wenn für alle gilt:
- Aus folgt oder
Äquivalente Definitionen
- Ein zweiseitiges Ideal ist genau dann prim, falls es echt ist und wenn für alle gilt:
- Aus (für alle gilt ) folgt ( oder ).
- Ein zweiseitiges Ideal ist genau dann vollprim, falls es echt ist und wenn der Faktorring nullteilerfrei ist.
Spektrum
Die Menge aller (echten) Primideale eines Rings heißt Spektrum von und wird mit notiert.
Eigenschaften
- Jedes vollprime Ideal ist prim, aber nicht umgekehrt. Zum Beispiel ist das Nullideal im Ring der reellen -Matrizen prim, aber nicht vollprim.
- In kommutativen Ringen sind prim und vollprim äquivalent.
In kommutativen Ringen mit Einselement gilt:
- Ein Element ist genau dann ein Primelement, wenn das von erzeugte Hauptideal ein Primideal ist.[2]
- Ein Ideal ist genau dann prim, wenn der Faktorring ein Integritätsring ist.
- Enthält ein Primideal einen Durchschnitt von endlich vielen Idealen von , so enthält es auch eines der Ideale .
- Ein Ideal ist genau dann ein Primideal, wenn die Komplementärmenge multiplikativ abgeschlossen ist. Das führt zum Begriff der Lokalisierung nach , worunter man den Ring versteht, den man auch als schreibt.[3]
Beispiele
- Die Menge der geraden ganzen Zahlen ist ein Primideal im Ring der ganzen Zahlen, da ein Produkt zweier ganzer Zahlen nur dann gerade ist, wenn wenigstens ein Faktor gerade ist.
- Die Menge der durch 6 teilbaren ganzen Zahlen ist kein Primideal in , da 2·3 = 6 in der Teilmenge liegt, aber weder 2 noch 3.
- Im Ring ist das maximale Ideal kein Primideal.
- Ein maximales Ideal eines Ringes ist genau dann prim, wenn . Insbesondere ist prim, falls ein Einselement enthält.
- Das Nullideal in einem kommutativen Ring mit Einselement ist genau dann ein Primideal, wenn ein Integritätsbereich ist. In einem nicht-kommutativen Ring gilt diese Äquivalenz nicht.
- Das Urbild eines Primideals unter einem Ringhomomorphismus kommutativer Ringe ist entweder der ganze Ring oder ein Primideal. Das gilt nicht allgemein, so ist etwa das Nullideal im Ring der -Matrizen über einem Körper prim, aber dessen Urbild unter der Inklusion des Rings der (oberen oder unteren) -Dreiecksmatrizen über dem Körper nicht.
Lying Over und Going Down
Im Folgenden sei stets ein kommutativer Ring und eine ganze Ringerweiterung. Dann existiert zu jedem Primideal ein Primideal , so dass über liegt, d. h.
- .
In diesem Fall sagt man auch, dass die Lying Over Eigenschaft erfüllt. Ist zudem eine Einbettung von in , so ist die von induzierte Abbildung mit surjektiv.
Des Weiteren erfüllt die Going Down Eigenschaft, falls folgendes gilt: Ist
eine Kette von Primidealen in und
eine Kette von Primidealen in mit , so dass außerdem über liegt für alle , so lässt sich letztere zu einer Kette
ergänzen, so dass jedes über liegt. Diese ist unter anderem dann erfüllt, wenn Integritätsringe sind und ganzabgeschlossen ist.
Einzelnachweise
- ↑ Louis H. Rowen: Ring Theory. Band 1. Academic Press Inc., Boston u. a. 1988, ISBN 0-125-99841-4 (Pure and Applied Mathematics 127), Definition 2.2.3'
- ↑ K. Meyberg: Algebra, Teil 1, Carl Hanser Verlag München (1975), ISBN 3-446-11965-5, Satz 3.6.5
- ↑ Ernst Kunz: Einführung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie, Vieweg (1980), ISBN 3-528-07246-6, Kapitel III, § 4, Beispiel d) hinter Satz 3.5