Die Maurer-Cartan-Form ist eine in Differentialgeometrie und Mathematischer Physik häufig verwendete Lie-Algebra-wertige Differentialform auf Lie-Gruppen . Sie ist benannt nach dem deutschen Mathematiker und Hochschullehrer Ludwig Maurer und dem französischen Mathematiker Élie Cartan .
Sei
G
{\displaystyle G}
eine Lie-Gruppe,
g
=
T
e
G
{\displaystyle {\mathfrak {g}}=T_{e}G}
ihre Lie-Algebra . Für
g
∈
G
{\displaystyle g\in G}
induziert die Links-Multiplikation
L
g
−
1
:
G
→
G
{\displaystyle L_{g^{-1}}:G\rightarrow G}
L
g
−
1
(
h
)
:=
g
−
1
h
{\displaystyle L_{g^{-1}}(h):=g^{-1}h}
das Differential
(
D
L
g
−
1
)
g
:
T
g
G
→
T
e
G
=
g
{\displaystyle (DL_{g^{-1}})_{g}:T_{g}G\rightarrow T_{e}G={\mathfrak {g}}}
.
Die Maurer-Cartan-Form
ω
∈
Ω
1
(
G
,
g
)
{\displaystyle \omega \in \Omega ^{1}(G,{\mathfrak {g}})}
ist definiert durch
ω
(
v
)
:=
(
D
L
g
−
1
)
g
(
v
)
{\displaystyle \omega (v):=(DL_{g^{-1}})_{g}(v)}
für
v
∈
T
g
G
,
g
∈
G
{\displaystyle v\in T_{g}G,g\in G}
.[1]
Die Maurer-Cartan-Form erfüllt die Gleichung
d
ω
+
1
2
[
ω
,
ω
]
=
0
{\displaystyle d\omega +{\frac {1}{2}}\left[\omega ,\omega \right]=0}
.
Hierbei ist der Kommutator Lie-algebra-wertiger Differentialformen durch
[
ω
∧
η
]
(
v
1
,
v
2
)
=
[
ω
(
v
1
)
,
η
(
v
2
)
]
−
[
ω
(
v
2
)
,
η
(
v
1
)
]
{\displaystyle [\omega \wedge \eta ](v_{1},v_{2})=[\omega (v_{1}),\eta (v_{2})]-[\omega (v_{2}),\eta (v_{1})]}
und die äußere Ableitung
d
ω
{\displaystyle d\omega }
durch
d
ω
(
X
,
Y
)
=
X
(
ω
(
Y
)
)
−
Y
(
ω
(
X
)
)
−
ω
(
[
X
,
Y
]
)
{\displaystyle d\omega (X,Y)=X(\omega (Y))-Y(\omega (X))-\omega ([X,Y])}
definiert.
↑ Jeffrey M. Lee: Manifolds and differential geometry . American Mathematical Society, Providence, R.I. 2009, ISBN 0-8218-4815-1 , Chapter: 5.6 The Maurer Cartan Form.