LUX-Methode

Die LUX-Methode ist ein Verfahren zur Erzeugung magischer Quadrate. Es stammt von dem englischen Mathematiker John Horton Conway.

Verfahren

Die LUX-Methode dient zur Erzeugung magischer Quadrate der Ordnung $4n+2$ , wobei $n$ eine positive natürliche Zahl ist. Zunächst wird eine quadratische Matrix mit $2n+1$ Zeilen und Spalten betrachtet, die folgendermaßen mit Buchstaben gefüllt wird:

Die ersten $n+1$ Zeilen werden komplett mit $\mathrm {L}$ gefüllt.
Es folgt eine Zeile mit $\mathrm {U}$ .
Die restlichen $n-1$ Zeilen werden mit $\mathrm {X}$ beschrieben.
Zuletzt wird das mittlere $\mathrm {U}$ mit dem $\mathrm {L}$ darüber vertauscht.

Nun wird mit der siamesischen Methode ein magisches Quadrat der Ordnung $2n+1$ erzeugt, das auf den Buchstaben zu liegen kommt. Dann werden der Reihe nach alle Zahlen $i$ dieses magischen Quadrats folgendermaßen durch die vier aufeinander folgenden Zahlen $(i-1)\cdot 4+a$ , $(i-1)\cdot 4+b$ , $(i-1)\cdot 4+c$ und $(i-1)\cdot 4+d$ entsprechend der Vorschrift des zugehörigen Buchstabens ersetzt:

{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}\quad mit\quad \mathrm {L} \colon {\begin{bmatrix}4&1\\2&3\end{bmatrix}}\quad \mathrm {U} \colon {\begin{bmatrix}1&4\\2&3\end{bmatrix}}\quad \mathrm {X} \colon {\begin{bmatrix}1&4\\3&2\end{bmatrix}}

Man stellt sich dabei vor, die Buchstaben mit einem Stift zu zeichnen (daher der Name LUX-Methode).

Beispiel

Für $n=2$ hat die Buchstabenmatrix die Form

{\begin{bmatrix}\mathrm {L} &\mathrm {L} &\mathrm {L} &\mathrm {L} &\mathrm {L} \\\mathrm {L} &\mathrm {L} &\mathrm {L} &\mathrm {L} &\mathrm {L} \\\mathrm {L} &\mathrm {L} &\mathrm {U} &\mathrm {L} &\mathrm {L} \\\mathrm {U} &\mathrm {U} &\mathrm {L} &\mathrm {U} &\mathrm {U} \\\mathrm {X} &\mathrm {X} &\mathrm {X} &\mathrm {X} &\mathrm {X} \end{bmatrix}}

Nach der siamesischen Methode ergibt sich nun das folgende magische Quadrat:

{\begin{bmatrix}\mathrm {L} =17&\mathrm {L} =24&\mathrm {L} =1&\mathrm {L} =8&\mathrm {L} =15\\\mathrm {L} =23&\mathrm {L} =5&\mathrm {L} =7&\mathrm {L} =14&\mathrm {L} =16\\\mathrm {L} =4&\mathrm {L} =6&\mathrm {U} =13&\mathrm {L} =20&\mathrm {L} =22\\\mathrm {U} =10&\mathrm {U} =12&\mathrm {L} =19&\mathrm {U} =21&\mathrm {U} =3\\\mathrm {X} =11&\mathrm {X} =18&\mathrm {X} =25&\mathrm {X} =2&\mathrm {X} =9\end{bmatrix}}

Nun startet man bei $\mathrm {L} =1$ ganz oben in der Mitte und ersetzt die Zahl 1 durch die Zahlen 1 bis 4 gemäß dem Buchstaben $\mathrm {L}$ . Es folgt $\mathrm {X} =2$ in der letzten Zeile, wobei die Zahl 2 durch die Zahlen 5 bis 8 gemäß dem Buchstaben $\mathrm {X}$ ersetzt werden. Das nächste Feld ist dann $\mathrm {U} =3$ und so weiter. Am Ende ergibt sich das folgende magische Quadrat: