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Der Interpolationsfehler bei der Interpolation mit linearen Splines ist fundamental bei der Gewinnung von Fehlerabschätzungen für die Finite-Elemente-Methode.

Auf dem Intervall ${\displaystyle [a,b]}$ werde eine stetige Funktion ${\displaystyle u}$ stückweise linear interpoliert. D.h.: in den Gitterpunkten ${\displaystyle a=x_{1}<x_{2}<\cdots <x_{i}<\cdots <x_{N}=b}$ wird interpoliert, und auf dem Intervall ${\displaystyle [x_{i-1},x_{i}]}$ der Länge ${\displaystyle h_{i}}$ ist die Interpolierende ${\displaystyle u^{I}}$ linear mit

${\displaystyle u^{I}=u(x_{i})(x-x_{i-1})/h_{i}+u(x_{i-1})(x_{i}-x)/h_{i}.}$

Es sei ${\displaystyle h=\max _{i}h_{i}}$. Für eine zweimal stetig differenzierbare Funktion ${\displaystyle u}$ gilt die Interpolationsfehlerabschätzung

${\displaystyle \max _{[a,b]}|u-u^{I}|\leq \max _{[a,b]}|u''|\,\,h^{2}/8.}$

In Hinsicht auf partielle Differentialgleichungen und den zweidimensionalen Fall ist die Voraussetzung der zweimaligen stetigen Differenzierbarkeit unbefriedigend. Anstrebenswert sind Interpolationsfehlerabschätzungen für Funktionen aus gewissen Sobolev-Räumen. Im Fall linearer Splines ist dies der Raum ${\displaystyle H^{2}(a,b)}$. Funktionen aus diesem Raum sind stetig, so dass die Interpolierende definiert ist. Aus den Darstellungen

${\displaystyle u(x)-u^{I}(x)=\int _{x_{i-1}}^{x}\left({\frac {du(\xi )}{d\xi }}-{\frac {1}{h_{i}}}(u(x_{i})-u(x_{i-1})\right)d\xi ={\frac {1}{h_{i}}}\int _{x_{i-1}}^{x}\int _{x_{i-1}}^{x_{i}}\int _{\eta }^{\xi }{\frac {d^{2}u(\zeta )}{d\zeta }}d\zeta d\eta d\xi }$

und

${\displaystyle (u(x)-u^{I})'(x)={\frac {1}{h_{i}}}\int _{x_{i-1}}^{x_{i}}\int _{\eta }^{x}{\frac {d^{2}u(\zeta )}{d\zeta }}d\zeta d\eta }$

erhält man die Interpolationsfehlerabschätzungen in der ${\displaystyle L^{2}(a,b)}$-Norm und der Semi-Norm im ${\displaystyle H^{1}(a,b)}$:

${\displaystyle \|u-u^{I}\|_{0}\leq h^{2}|u|_{2}\quad {\rm {bzw.}}\quad |u-u^{I}|_{1}\leq h|u|_{2}.}$

Im zweidimensionalen Fall hat sich für die Interpolationsfehlerabschätzung eine Technik durchgesetzt, bei der Integrale über die Elemente der Zerlegung auf Integrale über ein Referenzelement transformiert werden, dann das Bramble-Hilbert-Lemma angewandt wird und im dritten Schritt zurücktransformiert wird.

Betrachtet wird ein polygonales Gebiet ${\displaystyle \Omega }$ und eine zulässige Zerlegung in Dreiecke. Für ${\displaystyle u\in H^{2}(\Omega )}$ sei ${\displaystyle u^{I}}$ die stückweise lineare Interpolierende von ${\displaystyle u}$, die in allen Ecken der Dreiecke mit ${\displaystyle u}$ übereinstimmt. Es sei ${\displaystyle K}$ ein Dreieck bzw. Element der Zerlegung in der ${\displaystyle (x,y)-}$ Ebene und ${\displaystyle E}$ mit den Ecken ${\displaystyle (0,0)}$, ${\displaystyle (1,0)}$ und ${\displaystyle (0,1)}$ das Referenzelement in der ${\displaystyle (\xi ,\eta )-}$ Ebene. Besitzt ${\displaystyle K}$ die Ecken ${\displaystyle (x_{i},y_{i})}$, so wird die Abbildung ${\displaystyle K\leftrightarrow E}$ vermittelt durch

${\displaystyle x=x_{1}+(x_{2}-x_{1})\xi +(x_{3}-x_{1})\eta ,\quad y=y_{1}+(y_{2}-y_{1})\xi +(y_{3}-y_{1})\eta .}$

Abzuschätzen sei nun zunächst ${\displaystyle \|u-u^{I}\|_{0,K}=[\int _{K}(u-u^{I})^{2}dK]^{1/2}}$. Bei der Transformation auf ${\displaystyle E}$ kommt die (konstante) Funktionaldeterminante ${\displaystyle D_{K}}$ ins Spiel, ${\displaystyle ({\hat {u}},{\hat {u}}^{I})}$ seien die transformierten Größen auf ${\displaystyle E}$. Schritt 1 liefert

${\displaystyle [\int _{K}(u-u^{I})^{2}dK]^{1/2}=D_{K}^{1/2}[\int _{E}({\hat {u}}-{\hat {u}}^{I})^{2}dE]^{1/2}.}$

Nun wird das Bramble-Hilbert-Lemma angewandt. ${\displaystyle [\int _{E}({\hat {u}}-{\hat {u}}^{I})^{2}dE]^{1/2}}$ ist ein auf ${\displaystyle H^{2}(E)}$ beschränktes, sublineares Funktional, das für lineare ${\displaystyle {\hat {u}}}$ verschwindet. Also gilt

${\displaystyle [\int _{E}({\hat {u}}-{\hat {u}}^{I})^{2}dE]^{1/2}\leq c|{\hat {u}}|_{2,E}.}$

Im dritten Schritt wird zurücktransformiert. Es müssen dazu die zweiten Ableitungen bezüglich ${\displaystyle (\xi ,\eta )}$ in Ableitungen bezüglich ${\displaystyle (x,y)}$ umgerechnet werden. Die Kettenregel liefert dies. Die Größen ${\displaystyle x_{\xi },y_{\xi },x_{\eta },y_{\eta }}$ sind leicht berechenbar, sie können alle durch ${\displaystyle h_{K}}$ (Durchmesser von ${\displaystyle K}$) abgeschätzt werden. Das ergibt

${\displaystyle |{\hat {u}}|_{2,E}\leq D_{K}^{-1/2}h_{K}^{2}|u|_{2,K}.}$

Zusammenfügen der Teilergebnisse impliziert mit ${\displaystyle h=max_{K}h_{K}}$ die gewünschte Abschätzung in der ${\displaystyle L^{2}-}$norm:

${\displaystyle \|u-u^{I}\|_{0,\Omega }\leq ch^{2}|u|_{2,\Omega }.}$

Wichtig für die Fehlerabschätzung für die Finite-Elemente-Methode ist der Interpolationsfehler in der Semi-Norm des ${\displaystyle H^{1}}$. Schritt 2 und 3 verlaufen analog wie bei der Abschätzung des ${\displaystyle L^{2}-}$Fehlers. Im ersten Schritt muss man jetzt aber die Ableitungen nach ${\displaystyle x,y}$ in Ableitungen nach ${\displaystyle \xi ,\eta }$ im Integral

${\displaystyle \int _{K}((u-u^{I})_{x}^{2}+(u-u^{I})_{y}^{2})dK=|u-u^{I}|_{1,K}^{2}}$

umrechnen. Die Ableitungen ${\displaystyle \xi _{x},\eta _{x}}$ erhält man z. B., indem man die ${\displaystyle x,y}$ definierenden Gleichungen nach ${\displaystyle x}$ differenziert und das entsprechende Gleichungssystem löst. Die Koeffizientendeterminante dieses Systems ist ${\displaystyle D_{K}}$. ${\displaystyle D_{K}}$ ist gleich dem zweifachen Flächeninhalt von ${\displaystyle D_{K}}$, und dieser ist das Produkt vom Umfang und dem Inkreisradius ${\displaystyle \rho _{K}}$ von ${\displaystyle K}$. Daraus folgt

${\displaystyle |u-u^{I}|_{1,K}\leq cD_{K}^{1/2}\rho _{K}^{-1}|{\hat {u}}-{\hat {u}}^{I}|_{1,E}.}$

Schritt 2 und 3 liefern dann

${\displaystyle |u-u^{I}|_{1,K}\leq ch_{K}^{2}\rho _{K}^{-1}|u|_{2,K}.}$

Ist der Quotient ${\displaystyle {\frac {h_{K}}{\rho _{K}}}}$ für alle ${\displaystyle K}$ gleichmäßig beschränkt, liegt also eine quasiuniforme Triangulierung vor, so folgt die gewünschte Abschätzung

${\displaystyle |u-u^{I}|_{1,\Omega }\leq ch|u|_{2,\Omega }.}$

Die Quasiuniformität (Minimalwinkelbedingung) ist hinreichend für diese Abschätzung, aber nicht notwendig. Hinreichend ist auch die Maximalwinkelbedingung.

Interpoliert man mit einer stetigen Interpolierenden, die stückweise polynomial ist vom Grad ${\displaystyle k\geq 2}$, und ist die Triangulierung quasiuniform, so verbessert sich die Appoximationsordnung, falls ${\displaystyle u}$ glatter ist mit ${\displaystyle u\in H^{k+1}(\Omega )}$:

${\displaystyle \|u-u^{I}\|_{0}\leq ch^{k+1}|u|_{k+1}\quad {\rm {bzw.}}\quad |u-u^{I}|_{1}\leq ch^{k}|u|_{k+1}.}$

Der Beweis erfolgt analog zu dem für ${\displaystyle k=1}$.

• D. Braess: Finite Elemente. Springer 2013
• P. G. Ciarlet: The finite element method for elliptic problems. North Holland 1978
• A. Ern, L. Guermond: Theory and practice of finite elements, Springer 2004
• S. Ganesan, L. Tobiska: Finite elements, Cambridge 2017
• Herbert Goering, Hans-Görg Roos, Lutz Tobiska: Die Finite-Elemente-Methode. 4. Auflage. Wiley, 2010, ISBN 978-3-527-40964-8.
• Ch. Grossmann, Hans-Görg Roos: Numerische Behandlung partieller Differentialgleichungen, Teubner 2005
• W. Hackbusch: Theorie und Numerik elliptischer Differentialgleichungen, Teubner 1986
• P. Knabner, L. Angermann: Numerik partieller Differentialgleichungen, Springer 2000