Darstellung der Funktionen
E
1
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {E_{1}} (x)}
Darstellung der Funktionen
Ei
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {Ei} (x)}
Darstellung der Funktionen
li
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {li} (x)}
Darstellung der Funktionen
Ein
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {Ein} (x)}
In der Mathematik ist die Integralexponentialfunktion beziehungsweise das Exponentialintegral eine nicht-elementare infinitesimalanalytische Funktion. Die Ableitung der Integralexponentialfunktion ist die Kardinalische Exponentialkehrwertfunktion und somit sehr wohl elementar darstellbar. Das Exponentialintegral beschreibt die Stammfunktionen von Produkten aus Exponentialfunktionen und gebrochen rationalen Funktionen sowie die Stammfunktionen aus den Kehrwerten einiger Logarithmusfunktionen.
Das Exponentialintegral
Ei
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {Ei} (x)}
Ei
(
x
)
=
∫
−
∞
x
e
t
t
d
t
=
−
∫
−
x
∞
e
−
t
t
d
t
{\displaystyle \operatorname {Ei} (x)=\int _{-\infty }^{x}{\frac {e^{t}}{t}}\,\mathrm {d} t=-\int _{-x}^{\infty }{\frac {e^{-t}}{t}}\,\mathrm {d} t}
Da
1
t
{\displaystyle {\tfrac {1}{t}}}
t
=
0
{\displaystyle t=0}
Integral für
x
>
0
{\displaystyle x>0}
cauchyscher Hauptwert zu verstehen.
Die Integralexponentialfunktion hat die Reihendarstellung
Ei
(
x
)
=
γ
+
ln
|
x
|
+
∑
k
=
1
∞
x
k
k
!
⋅
k
,
{\displaystyle \operatorname {Ei} (x)=\gamma +\ln \left|x\right|+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!\cdot k}}\ ,}
wobei
ln
{\displaystyle \ln }
natürliche Logarithmus und
γ
{\displaystyle \gamma }
Euler-Mascheroni-Konstante ist.
Die Integralexponentialfunktion ist eng mit dem Integrallogarithmus
li
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {li} (x)}
li
(
x
)
=
Ei
(
ln
x
)
0
<
x
≠
1.
{\displaystyle \operatorname {li} (x)=\operatorname {Ei} (\ln x)\quad 0<x\neq 1.}
Ebenfalls eng verwandt ist eine Funktion, die über einen anderen Integrationsbereich integriert:
E
1
(
x
)
=
exp
(
−
x
)
∫
0
∞
exp
(
−
t
x
)
t
+
1
d
t
=
∫
1
∞
e
−
t
x
t
d
t
=
∫
x
∞
e
−
t
t
d
t
{\displaystyle \operatorname {E} _{1}(x)=\exp(-x)\int _{0}^{\infty }{\frac {\exp(-tx)}{t+1}}\,\mathrm {d} t=\int _{1}^{\infty }{\frac {e^{-tx}}{t}}\,\mathrm {d} t=\int _{x}^{\infty }{\frac {e^{-t}}{t}}\,\mathrm {d} t}
Diese Funktion kann als Erweiterung der Integralexponentialfunktion auf negative reelle Werte aufgefasst werden, da
Ei
(
−
x
)
=
−
E
1
(
x
)
.
{\displaystyle \operatorname {Ei} (-x)=-\operatorname {E} _{1}(x).}
Die Funktion
Ein
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {Ein} (x)}
ganze Funktion und ist mit dem standardisierten Exponentialintegral sehr eng verwandt:
Ein
(
x
)
=
∫
0
1
1
t
[
1
−
exp
(
−
t
x
)
]
d
t
=
∫
0
x
1
−
e
−
t
t
d
t
{\displaystyle \operatorname {Ein} (x)=\int _{0}^{1}{\frac {1}{t}}{\bigl [}1-\exp(-tx){\bigr ]}\,\mathrm {d} t=\int _{0}^{x}{\frac {1-e^{-t}}{t}}\,\mathrm {d} t}
Ein
(
x
)
=
∑
n
=
1
∞
[
x
2
n
−
1
(
2
n
−
1
)
!
(
2
n
−
1
)
−
x
2
n
(
2
n
)
!
(
2
n
)
]
=
∑
k
=
1
∞
(
−
1
)
k
+
1
x
k
k
!
k
{\displaystyle \operatorname {Ein} (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\biggl [}{\frac {x^{2n-1}}{(2n-1)!(2n-1)}}-{\frac {x^{2n}}{(2n)!(2n)}}{\biggr ]}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}x^{k}}{k!k}}}
Zwischen der soeben genannten ganzen Funktion und den vorher genannten Exponentialintegralausdrücken gelten diese Beziehungen:
Ei
(
x
)
=
γ
+
ln
|
x
|
−
Ein
(
−
x
)
{\displaystyle \operatorname {Ei} (x)=\gamma +\ln |x|-\operatorname {Ein} (-x)}
E
1
(
x
)
=
−
γ
−
ln
|
x
|
+
Ein
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {E} _{1}(x)=-\gamma -\ln |x|+\operatorname {Ein} (x)}
Die Integralexponentialfunktion ist ein Spezialfall der unvollständigen Gammafunktion :
E
n
(
x
)
=
x
n
−
1
Γ
(
1
−
n
,
x
)
.
{\displaystyle E_{n}(x)=x^{n-1}\Gamma (1-n,x).}
Sie kann auch mit der nun folgenden Ausdrucksform verallgemeinert werden:
E
n
(
x
)
=
∫
1
∞
e
−
x
t
t
n
d
t
ℜ
(
x
)
>
0
{\displaystyle E_{n}(x)=\int _{1}^{\infty }{\frac {e^{-xt}}{t^{n}}}\,\mathrm {d} t\quad \Re (x)>0}
Durch arithmetische Mittelungen aus den Exponentialintegralausdrücken werden die Integralhyperbelfunktionen
Shi
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {Shi} (x)}
Chi
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {Chi} (x)}
Shi
(
x
)
=
1
2
Ein
(
x
)
−
1
2
Ein
(
−
x
)
{\displaystyle \operatorname {Shi} (x)={\frac {1}{2}}\operatorname {Ein} (x)-{\frac {1}{2}}\operatorname {Ein} (-x)}
Chi
(
x
)
=
1
2
Ei
(
x
)
+
1
2
Ei
(
−
x
)
{\displaystyle \operatorname {Chi} (x)={\frac {1}{2}}\operatorname {Ei} (x)+{\frac {1}{2}}\operatorname {Ei} (-x)}
Chi
(
x
)
=
γ
+
ln
|
x
|
−
1
2
Ein
(
x
)
−
1
2
Ein
(
−
x
)
{\displaystyle \operatorname {Chi} (x)=\gamma +\ln |x|-{\frac {1}{2}}\operatorname {Ein} (x)-{\frac {1}{2}}\operatorname {Ein} (-x)}
So lauten ihre Integraldefinitionen:
Shi
(
x
)
=
∫
0
1
sinh
(
t
x
)
t
d
t
=
∫
0
x
sinh
(
t
)
t
d
t
{\displaystyle \operatorname {Shi} (x)=\int _{0}^{1}{\frac {\sinh(tx)}{t}}\,\mathrm {d} t=\int _{0}^{x}{\frac {\sinh(t)}{t}}\,\mathrm {d} t}
Chi
(
x
)
=
γ
+
ln
|
x
|
+
∫
0
1
cosh
(
t
x
)
−
1
t
d
t
=
{\displaystyle \operatorname {Chi} (x)=\gamma +\ln |x|+\int _{0}^{1}{\frac {\cosh(tx)-1}{t}}\,\mathrm {d} t=}
=
γ
+
ln
|
x
|
+
∫
0
x
cosh
(
t
)
−
1
t
d
t
{\displaystyle =\gamma +\ln |x|+\int _{0}^{x}{\frac {\cosh(t)-1}{t}}\,\mathrm {d} t}
![{\displaystyle \operatorname {Ein} (x)=\int _{0}^{1}{\frac {1}{t}}{\bigl [}1-\exp(-tx){\bigr ]}\,\mathrm {d} t=\int _{0}^{x}{\frac {1-e^{-t}}{t}}\,\mathrm {d} t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2dca8eb7f2c530af39d0fbf52506831045c0d27)
![{\displaystyle \operatorname {Ein} (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\biggl [}{\frac {x^{2n-1}}{(2n-1)!(2n-1)}}-{\frac {x^{2n}}{(2n)!(2n)}}{\biggr ]}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}x^{k}}{k!k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9ce7aa4304cada03b9ca1e4fe4579cad5aa3aaf)
