Eine Hopf-Algebra – benannt nach dem Mathematiker Heinz Hopf – ${\displaystyle H}$ über einem Körper ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ist eine Bialgebra ${\displaystyle (H,\nabla ,\eta ,\Delta ,\epsilon )}$ mit einer ${\displaystyle \mathbb {K} }$-linearen Abbildung, der sog. „Antipode“, ${\displaystyle S\colon H\to H}$, so dass das folgende Diagramm kommutiert:

Formal in der Sweedler-Notation – benannt nach Moss Sweedler – geschrieben heißt das: ${\displaystyle S\left(c_{\left(1\right)}\right)c_{\left(2\right)}=c_{\left(1\right)}S\left(c_{\left(2\right)}\right)=\epsilon \left(c\right)1.}$

Sei ${\displaystyle A}$ eine Algebra und ${\displaystyle C}$ eine Koalgebra. Die ${\displaystyle \mathbb {K} }$-linearen Abbildungen von ${\displaystyle C}$ nach ${\displaystyle A}$ bilden eine Algebra mit Produkt ${\displaystyle *}$, genannt Faltung, definiert durch

${\displaystyle (f*g)(x):=f(x_{(1)})g(x_{(2)})}$.

Das neutrale Element in dieser Algebra ist ${\displaystyle \eta \circ \epsilon }$, denn

${\displaystyle (f*(\eta \circ \epsilon ))(x)=f(x_{(1)})\eta (\epsilon (x_{(2)}))=f(x_{(1)}\epsilon (x_{(2)}))\eta (1)=f(x)}$

und entsprechend auch

${\displaystyle ((\eta \circ \epsilon )*f)(x)=f(x)}$.

Für eine Bialgebra ${\displaystyle H}$ bilden die ${\displaystyle \mathbb {K} }$-linearen Abbildungen von ${\displaystyle H}$ nach ${\displaystyle H}$ auf diese Weise eine Algebra. Die Antipode ${\displaystyle S}$ ist das zur identischen Abbildung inverse Element in dieser Algebra. Das heißt

${\displaystyle S*\mathrm {id} =\eta \circ \epsilon =\mathrm {id} *S}$.

Es lässt sich zeigen, dass die Antipode einer Hopfalgebra stets eindeutig ist, und gleichzeitig ein Antialgebrahomomorphismus und ein Anticoalgebrahomomorphismus ist. Mithilfe dieser Tatsache lässt sich der Wert der Antipode auf jedem Element der Hopfalgebra ausrechnen, wenn die Werte der Antipode auf einem Algebraerzeugendensystem bekannt sind.

Ein Beispiel für eine Hopf-Algebra ist die Gruppenalgebra ${\displaystyle \mathbb {K} G}$. Sie wird durch

${\displaystyle \Delta (g):=g\otimes g}$ für ${\displaystyle g\in G}$

und

${\displaystyle \epsilon (g):=1}$ für ${\displaystyle g\in G}$

zu einer Bialgebra, die Antipode

${\displaystyle S(g):=g^{-1}}$ für ${\displaystyle g\in G}$

macht sie zu einer Hopf-Algebra.

Die universelle einhüllende Algebra ${\displaystyle \mathrm {U} ({\mathfrak {g}})}$ einer Lie-Algebra ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ist auf natürliche Weise eine Hopfalgebra. Für ein Element ${\displaystyle x\in {\mathfrak {g}}}$ ist das Koprodukt durch

${\displaystyle \Delta (x):=1\otimes x+x\otimes 1}$

und die Koeins durch

${\displaystyle \epsilon (x):=0}$

definiert.

${\displaystyle S(x):=-x}$

definiert die Antipode.

Ein Element ${\displaystyle g}$ einer Hopfalgebra heißt „gruppenartig“, wenn ${\displaystyle \Delta (g)=g\otimes g}$ und ${\displaystyle \epsilon (g)=1}$. Für die Antipode gilt dann ${\displaystyle S(g)=g^{-1}}$.

Ein Element ${\displaystyle x}$ heißt „primitiv“, wenn ${\displaystyle \Delta (x)=1\otimes x+x\otimes 1}$. Daraus folgt, dass ${\displaystyle \epsilon (x)=0}$ und ${\displaystyle S(x)=-x}$.

Ein Element ${\displaystyle x}$ heißt „schiefprimitiv“, wenn ${\displaystyle \Delta (x)=g\otimes x+x\otimes h}$ mit gruppenähnlichen Elementen ${\displaystyle g}$ und ${\displaystyle h}$. Daraus folgt, dass ${\displaystyle \epsilon (x)=0}$ und ${\displaystyle S(x)=-g^{-1}xh^{-1}}$.

• Christian Kassel: Quantum Groups (= Graduate Texts in Mathematics. 155). Springer, New York NY u. a. 1995, ISBN 0-387-94370-6.
• Moss E. Sweedler: Hopf algebras. Benjamin, New York NY 1969.