Technopedia Center
PMB University Brochure
Faculty of Engineering and Computer Science
S1 Informatics S1 Information Systems S1 Information Technology S1 Computer Engineering S1 Electrical Engineering S1 Civil Engineering

faculty of Economics and Business
S1 Management S1 Accountancy

Faculty of Letters and Educational Sciences
S1 English literature S1 English language education S1 Mathematics education S1 Sports Education
teknopedia

teknopedia

teknopedia

teknopedia

teknopedia
  • Registerasi
  • Brosur UTI
  • Kip Scholarship Information
  • Performance
  1. Weltenzyklopädie
  2. Geometrisches Programm – Wikipedia
Geometrisches Programm – Wikipedia
aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie

Ein geometrisches Programm ist ein spezielles Problem der mathematischen Optimierung, bei dem als Ziel- und Restriktionsfunktionen eine Verallgemeinerung von Polynomen zum Einsatz kommt. Insbesondere haben Geometrische Programme zwei Formen, von denen aber nur eine zur konvexen Optimierung zählt.

Definition

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Optimierungsproblem der Form

Minimiere  f ( x ) unter den Nebenbedingungen  g i ( x ) ≤ 1 i = 1 , … , p h j ( x ) = 1 j = 1 , … q {\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Minimiere }}&f(x)&\\{\text{unter den Nebenbedingungen }}&g_{i}(x)\leq 1&i=1,\dots ,p\\&h_{j}(x)=1&j=1,\dots q\end{aligned}}} {\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Minimiere }}&f(x)&\\{\text{unter den Nebenbedingungen }}&g_{i}(x)\leq 1&i=1,\dots ,p\\&h_{j}(x)=1&j=1,\dots q\end{aligned}}}

heißt geometrisches Programm (in Posynomialform), wenn die f , g i {\displaystyle f,g_{i}} {\displaystyle f,g_{i}} Posynomialfunktionen sind und die h j {\displaystyle h_{j}} {\displaystyle h_{j}} Monomialfunktionen sind. Die Einschränkung x ∈ R + + n := { x ∈ R n | x i > 0  für  i = 1 , … , n } {\displaystyle x\in \mathbb {R} _{++}^{n}:=\{x\in \mathbb {R} ^{n}\,|\,x_{i}>0{\text{ für }}i=1,\dots ,n\}} {\displaystyle x\in \mathbb {R} _{++}^{n}:=\{x\in \mathbb {R} ^{n}\,|\,x_{i}>0{\text{ für }}i=1,\dots ,n\}} ist hierbei stets implizit vorausgesetzt.

Beispiel

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Optimierungsproblem

Minimiere  x 1 1 / 2 x 2 2 + x 2 − 4 / 3 x 3 8 unter den Nebenbedingungen  x 1 − 1 x 2 5 x 3 5 / 7 + x 3 ≤ 1 x 1 x 2 x 3 = 1 {\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Minimiere }}&x_{1}^{1/2}x_{2}^{2}+x_{2}^{-4/3}x_{3}^{8}&\\{\text{unter den Nebenbedingungen }}&x_{1}^{-1}x_{2}^{5}x_{3}^{5/7}+x_{3}\leq 1&\\&x_{1}x_{2}x_{3}=1&\end{aligned}}} {\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Minimiere }}&x_{1}^{1/2}x_{2}^{2}+x_{2}^{-4/3}x_{3}^{8}&\\{\text{unter den Nebenbedingungen }}&x_{1}^{-1}x_{2}^{5}x_{3}^{5/7}+x_{3}\leq 1&\\&x_{1}x_{2}x_{3}=1&\end{aligned}}}

ist ein Geometrisches Programm.

Konvexe Form

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Geometrisches Programm lässt sich durch elementare Substitutionen in ein konvexes Optimierungsproblem transformieren.

Dazu setzt man zuerst x i = e y i {\displaystyle x_{i}=e^{y_{i}}} {\displaystyle x_{i}=e^{y_{i}}} bzw. y i = log ⁡ x i {\displaystyle y_{i}=\log x_{i}} {\displaystyle y_{i}=\log x_{i}}. Damit wird jede Monomialfunktion

f ( x 1 , … , x n ) = c x 1 a 1 ⋅ ⋯ ⋅ x n a n {\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{n})=cx_{1}^{a_{1}}\cdot \dots \cdot x_{n}^{a_{n}}} {\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{n})=cx_{1}^{a_{1}}\cdot \dots \cdot x_{n}^{a_{n}}}

transformiert zu

f ~ ( x ) = e a T x + b {\displaystyle {\tilde {f}}(x)=e^{a^{T}x+b}} {\displaystyle {\tilde {f}}(x)=e^{a^{T}x+b}},

wobei b = log ⁡ c {\displaystyle b=\log c} {\displaystyle b=\log c} und a = ( a 1 , … , a n ) ∈ R n {\displaystyle a=(a_{1},\dots ,a_{n})\in \mathbb {R} ^{n}} {\displaystyle a=(a_{1},\dots ,a_{n})\in \mathbb {R} ^{n}} ist. Posynomialfunktionen lassen sich analog als Summe von Exponentialfunktionen von affinen Funktionen ausdrücken. Durch Anwenden dieser Transformation und anschließendes Logarithmieren erhält man dann das Optimierungsproblem

Minimiere  f ~ ( y ) = log ⁡ ( ∑ k = 1 N e a k T y + b k ) unter den Nebenbedingungen  g ~ i ( y ) = log ⁡ ( ∑ k = 1 N i e a i , k T y + b i , k ) ≤ 0 i = 1 , … , p h ~ j ( y ) = g j T y + b j = 0 j = 1 , … q , {\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Minimiere }}&{\tilde {f}}(y)=\log \left(\sum _{k=1}^{N}e^{a_{k}^{T}y+b_{k}}\right)&\\{\text{unter den Nebenbedingungen }}&{\tilde {g}}_{i}(y)=\log \left(\sum _{k=1}^{N_{i}}e^{a_{i,k}^{T}y+b_{i,k}}\right)\leq 0&i=1,\dots ,p\\&{\tilde {h}}_{j}(y)=g_{j}^{T}y+b_{j}=0&j=1,\dots q{\text{,}}\end{aligned}}} {\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Minimiere }}&{\tilde {f}}(y)=\log \left(\sum _{k=1}^{N}e^{a_{k}^{T}y+b_{k}}\right)&\\{\text{unter den Nebenbedingungen }}&{\tilde {g}}_{i}(y)=\log \left(\sum _{k=1}^{N_{i}}e^{a_{i,k}^{T}y+b_{i,k}}\right)\leq 0&i=1,\dots ,p\\&{\tilde {h}}_{j}(y)=g_{j}^{T}y+b_{j}=0&j=1,\dots q{\text{,}}\end{aligned}}}

welches Geometrisches Programm in konvexer Form genannt wird. Es ist ein konvexes Optimierungsproblem. Wenn alle Funktionen Monomialfunktionen sind, vereinfacht sich dieses Problem zu einem linearen Optimierungsproblem.

Beispiel für die konvexe Form

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Transformiert man das oben angeführte Geometrische Programm in Posynomialform in die Geometrische Form, so lautet es

Minimiere  log ⁡ ( exp ⁡ [ ( 1 / 2 , 2 , 0 ) ⋅ y ] + exp ⁡ [ ( 0 , − 4 / 3 , 8 ) ⋅ y ] ) unter den Nebenbedingungen  log ⁡ ( exp ⁡ [ ( − 1 , 5 , 5 / 7 ) ⋅ y ] + exp ⁡ [ ( 0 , 0 , 1 ) ⋅ y ] ) ≤ 0 ( 1 , 1 , 1 ) ⋅ y = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Minimiere }}&\log \left(\exp {[(1/2,2,0)\cdot y]}+\exp {[(0,-4/3,8)\cdot y]}\right)&\\{\text{unter den Nebenbedingungen }}&\log \left(\exp {[(-1,5,5/7)\cdot y]}+\exp {[(0,0,1)\cdot y]}\right)\leq 0&\\&(1,1,1)\cdot y=0&\end{aligned}}} {\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Minimiere }}&\log \left(\exp {[(1/2,2,0)\cdot y]}+\exp {[(0,-4/3,8)\cdot y]}\right)&\\{\text{unter den Nebenbedingungen }}&\log \left(\exp {[(-1,5,5/7)\cdot y]}+\exp {[(0,0,1)\cdot y]}\right)\leq 0&\\&(1,1,1)\cdot y=0&\end{aligned}}}.

Literatur

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
  • Boyd, Stephen; Vandenberghe, Lieven (2004). Convex Optimization. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-83378-3. (online)
Abgerufen von „https://de.teknopedia.teknokrat.ac.id/w/index.php?title=Geometrisches_Programm&oldid=208135503“
Kategorie:
  • Konvexe Optimierung

  • indonesia
  • Polski
  • العربية
  • Deutsch
  • English
  • Español
  • Français
  • Italiano
  • مصرى
  • Nederlands
  • 日本語
  • Português
  • Sinugboanong Binisaya
  • Svenska
  • Українська
  • Tiếng Việt
  • Winaray
  • 中文
  • Русский
Sunting pranala
Pusat Layanan

UNIVERSITAS TEKNOKRAT INDONESIA | ASEAN's Best Private University
Jl. ZA. Pagar Alam No.9 -11, Labuhan Ratu, Kec. Kedaton, Kota Bandar Lampung, Lampung 35132
Phone: (0721) 702022
Email: pmb@teknokrat.ac.id