Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion Die Fréchet-Verteilung ist eine absolutstetige Verteilung über den positiven reellen Zahlen , die einen positiven reellen Formparameter
α
{\displaystyle \alpha }
französischen Mathematiker Maurice René Fréchet .
Die Fréchet-Verteilung besitzt für einen reellen Parameter
α
>
0
{\displaystyle \alpha >0}
Φ
α
(
x
)
=
{
0
für
x
≤
0
exp
(
−
x
−
α
)
=
exp
(
−
1
/
x
α
)
für
x
>
0
.
{\displaystyle {\Phi }_{\alpha }(x)={\begin{cases}0&{\text{für }}x\leq 0\\\exp(-x^{-\alpha })=\exp(-1/x{^{\alpha }})&{\text{für }}x>0\end{cases}}\;.}
Die dazugehörige Dichtefunktion ist
ϕ
α
(
x
)
=
{
0
für
x
≤
0
α
x
−
(
α
+
1
)
exp
(
−
x
−
α
)
für
x
>
0
.
{\displaystyle {\phi }_{\alpha }(x)={\begin{cases}0&{\text{für }}x\leq 0\\\alpha \;x^{-(\alpha +1)}\;\exp(-x^{-\alpha })&{\text{für }}x>0\end{cases}}\;.}
Im Folgenden sei
X
{\displaystyle X}
α
{\displaystyle \alpha }
Γ
(
x
)
{\displaystyle \Gamma \left(x\right)}
Gamma-Funktion .
Der Median ist
Med
(
X
)
=
(
1
log
e
(
2
)
)
1
/
α
{\displaystyle \operatorname {Med} (X)=\left({\frac {1}{\log _{e}(2)}}\right)^{1/\alpha }}
Die k-ten Momente der Fréchet-Verteilung existieren genau dann, wenn
α
>
k
{\displaystyle \alpha >k}
Der Erwartungswert ist
E
(
X
)
=
Γ
(
1
−
1
α
)
{\displaystyle \operatorname {E} (X)=\Gamma \left(1-{\frac {1}{\alpha }}\right)}
Die Varianz ist
Var
(
X
)
=
Γ
(
1
−
2
α
)
−
(
Γ
(
1
−
1
α
)
)
2
{\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\Gamma \left(1-{\frac {2}{\alpha }}\right)-\left(\Gamma \left(1-{\frac {1}{\alpha }}\right)\right)^{2}}
Die Schiefe ist
γ
m
(
X
)
=
Γ
(
1
−
3
α
)
−
3
Γ
(
1
−
2
α
)
Γ
(
1
−
1
α
)
+
2
Γ
3
(
1
−
1
α
)
(
Γ
(
1
−
2
α
)
−
Γ
2
(
1
−
1
α
)
)
3
2
{\displaystyle \gamma _{m}(X)={\frac {\Gamma \left(1-{\frac {3}{\alpha }}\right)-3\Gamma \left(1-{\frac {2}{\alpha }}\right)\Gamma \left(1-{\frac {1}{\alpha }}\right)+2\Gamma ^{3}\left(1-{\frac {1}{\alpha }}\right)}{\left(\Gamma \left(1-{\frac {2}{\alpha }}\right)-\Gamma ^{2}\left(1-{\frac {1}{\alpha }}\right)\right)^{\frac {3}{2}}}}}
Die Kurtosis ist
Kurt
(
X
)
=
−
6
+
Γ
(
1
−
4
α
)
−
4
Γ
(
1
−
3
α
)
Γ
(
1
−
1
α
)
+
3
Γ
2
(
1
−
2
α
)
[
Γ
(
1
−
2
α
)
−
Γ
2
(
1
−
1
α
)
]
2
{\displaystyle \operatorname {Kurt} (X)=-6+{\frac {\Gamma \left(1-{\frac {4}{\alpha }}\right)-4\Gamma \left(1-{\frac {3}{\alpha }}\right)\Gamma \left(1-{\frac {1}{\alpha }}\right)+3\Gamma ^{2}\left(1-{\frac {2}{\alpha }}\right)}{\left[\Gamma \left(1-{\frac {2}{\alpha }}\right)-\Gamma ^{2}\left(1-{\frac {1}{\alpha }}\right)\right]^{2}}}}
Ist
X
{\displaystyle X}
α
{\displaystyle \alpha }
ln
X
{\displaystyle \ln X}
Gumbel-verteilt mit Parametern
μ
=
0
{\displaystyle \mu =0}
β
=
1
α
{\displaystyle \beta ={\frac {1}{\alpha }}}
Nach dem Theorem von Fisher-Tippett kann eine standardisierte, nicht-degenerierte Extremwertverteilung nur gegen eine der drei generalisierten Extremwertverteilungen (GEV) konvergieren, von denen eine die Fréchet-Verteilung ist.
Sie ist daher eine wichtige Verteilung zur Bestimmung von Risiken in der Finanzstatistik, wie zum Beispiel des Value at Risk und des Expected Shortfall.
J. Franke, W. Härdle, C. M. Hafner: Statistics of Financial Markets: An Introduction. 2. Auflage. Springer, Berlin / Heidelberg / New York 2008, ISBN 978-3-540-76269-0 .
J. Franke, C. M. Hafner, W. Härdle: Einführung in die Statistik der Finanzmärkte. 2. Auflage. Springer, Berlin / Heidelberg / New York 2004, ISBN 3-540-40558-5 .
Diskrete univariate Verteilungen
Kontinuierliche univariate Verteilungen
Multivariate Verteilungen
![{\displaystyle \operatorname {Kurt} (X)=-6+{\frac {\Gamma \left(1-{\frac {4}{\alpha }}\right)-4\Gamma \left(1-{\frac {3}{\alpha }}\right)\Gamma \left(1-{\frac {1}{\alpha }}\right)+3\Gamma ^{2}\left(1-{\frac {2}{\alpha }}\right)}{\left[\Gamma \left(1-{\frac {2}{\alpha }}\right)-\Gamma ^{2}\left(1-{\frac {1}{\alpha }}\right)\right]^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b8c2d96f77fcae915045ec32d86e995a7375d2c)
