Das Blumenthalsche 0-1-Gesetz , benannt nach R. M. Blumenthal, ist ein mathematischer Satz auf dem Gebiet der Wahrscheinlichkeitstheorie . Wie alle Null-Eins-Gesetze beschreibt er eine Klasse von Ereignissen, deren Wahrscheinlichkeiten stets 0 oder 1 sind.
Sei
(
Ω
,
A
,
P
)
{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mathbb {P} )}
ein Wahrscheinlichkeitsraum und
(
B
t
)
t
≥
0
{\displaystyle (B_{t})_{t\geq 0}}
eine darauf definierte Brownsche Bewegung mit Filtrierung
F
t
=
σ
(
{
B
s
∣
s
≤
t
}
)
{\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}=\sigma (\{B_{s}\mid s\leq t\})}
. Dann ist die σ-Algebra
F
0
+
{\displaystyle {\mathcal {F}}_{0}^{+}}
, definiert durch
F
0
+
=
⋂
t
>
0
F
t
{\displaystyle \textstyle {\mathcal {F}}_{0}^{+}=\bigcap _{t>0}{\mathcal {F}}_{t}}
,
P
{\displaystyle \mathbb {P} }
-trivial , d. h. es gilt:
P
(
A
)
∈
{
0
,
1
}
{\displaystyle \mathbb {P} (A)\in \{0,1\}}
für alle
A
∈
F
0
+
{\displaystyle A\in {\mathcal {F}}_{0}^{+}}
.
Anschaulich beinhaltet
F
0
+
{\displaystyle {\mathcal {F}}_{0}^{+}}
genau jene Ereignisse, die nur von
(
B
t
)
0
≤
t
≤
ε
{\displaystyle (B_{t})_{0\leq t\leq \varepsilon }}
, für beliebig kleines
ε
{\displaystyle \varepsilon }
abhängen. Beispielsweise ist das Ereignis
A
=
{
∀
ε
>
0
∃
t
>
0
:
t
<
ε
∧
B
t
=
0
}
∈
F
0
+
{\displaystyle A=\{\forall \varepsilon >0\exists t>0:\;t<\varepsilon \wedge B_{t}=0\}\in {\mathcal {F}}_{0}^{+}}
, es gilt also
P
(
A
)
∈
{
0
,
1
}
{\displaystyle \mathbb {P} (A)\in \{0,1\}}
.
Blumenthal, R.M.: An extended Markov property. In: Transactions of the American Mathematical Society. Band 85, 1957, S. 52–72.
Klenke, Achim: Wahrscheinlichkeitstheorie , Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-76317-8