Der Binnendruck, der von den Kohäsionskräften der Teilchen eines Gases abhängt,[1][2] ist ein Maß für die Änderung der inneren Energie eines Gases, wenn es sich bei konstanter Temperatur ausdehnt oder zusammenzieht. Es hat dieselbe Einheit wie der Druck, die SI-Einheit ist also Pascal.
Der Binnendruck eines idealen Gases ist immer Null.
Der Binnendruck
ist definiert als partielle Ableitung der inneren Energie
nach dem Volumen bei konstanter Temperatur:
Damit kann man schreiben:
,
wobei
die Wärmekapazität bei konstantem Volumen und
die Änderung der inneren Energie bei Volumenänderung
und Temperaturänderung
ist.
Es gilt zudem die Umformung:
Herleitung:
Nach der Fundamentalgleichung der Thermodynamik lautet das vollständige Differential der inneren Energie bei fester Stoffmenge:
![{\displaystyle \mathrm {d} U=T\mathrm {d} S-p\mathrm {d} V\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8024d48d833bf97a991c96f8371fef30109e9ed4)
Differenziert man die innere Energie bei konstanter Temperatur partiell nach dem Volumen, dann gilt:
![{\displaystyle \left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T}=T\left({\frac {\partial S}{\partial V}}\right)_{T}-p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc2daca780d87ebedbf62b885cfde69792de77b7)
Mit der Maxwell-Beziehung folgt also:
|
Der Joule-Koeffizient
(nicht zu verwechseln mit dem viel häufiger vorkommenden Joule-Thomson-Koeffizienten
) ist definiert durch:[3][4][5]
, also die partielle Ableitung der Temperatur nach dem Volumen (bei gleichbleibender innerer Energie).
Nach Maxwell-Beziehung#Allgemeine Maxwell-Relation gilt:
Daraus folgt:
Wenn der Binnendruck
ist, dann ist der Joule-Koeffizient
und somit kühlt sich das Gas bei freier Expansion ab.
Im Folgenden ist
die allgemeine Gaskonstante,
die Stoffmenge und
das molare Volumen.
Beim Modell des idealen Gases gilt:
![{\displaystyle p={\frac {nRT}{V}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba95b750112d10ce635627e9e2f19eb92ef743aa)
Also ist
und somit:
![{\displaystyle \pi _{T}=T\left({\frac {\partial p}{\partial T}}\right)_{V}-p=T\cdot {\frac {nR}{V}}-{\frac {nRT}{V}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af0940607070f286900dfd7c4bce7391a747e5ca)
Beim idealen Gas ist der Binnendruck also immer 0, die Gasteilchen üben aufeinander keine Kräfte aus.
Beim Modell des Van-der-Waals Gases gilt:
![{\displaystyle p={\frac {RT}{V_{\mathrm {m} }-b}}-{\frac {a}{V_{\mathrm {m} }^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef0c685d379f400b95b1734eeac01a2bdaa15f85)
mit den (positiven) Van-der-Waals Konstanten
und
.
Also ist
und somit:
[6]
Beim Van-der-Waals Gas (mit
) ist der Binnendruck also immer positiv und unabhängig von der Temperatur, strebt aber für
gegen 0.
Beim Modell nach Redlich-Kwong gilt:
![{\displaystyle p={\frac {RT}{V_{\mathrm {m} }-b}}-{\frac {a}{{\sqrt {T}}V_{\mathrm {m} }\left(V_{\mathrm {m} }+b\right)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/071be21d249b8fb184d1acc1eac0cbc7b7b039a4)
Also ist
[3]
Nach diesem Modell wird die Kohäsion zwischen den Teilchen bei höherer Temperatur (und damit höherer Geschwindigkeit der Teilchen) kleiner.
- ↑ Grundlagen der Physikalischen Chemie (W. Moore, D. Hummel, Verlag: Walter de Gruyter, 1986)
- ↑ Das reale Gas (www.uni-marburg.de, abgerufen am 3. November 2016)
- ↑ a b Physikalische Chemie (T. Engel, P. J. Reid, Verlag Pearson Deutschland GmbH, 2006), Seite 77
- ↑ CHAPTER 10 THE JOULE AND JOULE-THOMSON EXPERIMENTS (orca.phys.uvic.ca, abgerufen am 5. November 2016)
- ↑ Physical Chemistry (R. G. Mortimer, Academic Press, 2008)
- ↑ siehe auch Formelsammlung (Tabelle 12, staff.mbi-berlin.de, abgerufen am 3. November 2016)