Die Poisson-Klammer, benannt nach Siméon Denis Poisson, ist ein bilinearer Differentialoperator in der kanonischen (hamiltonschen) Mechanik. Sie ist ein Beispiel für eine Lie-Klammer, also für eine Multiplikation in einer Lie-Algebra.

Die Poisson-Klammer ist definiert als

${\displaystyle \left\{f,g\right\}:=\sum _{k=1}^{s}{\left({\frac {\partial f}{\partial q_{k}}}{\frac {\partial g}{\partial p_{k}}}-{\frac {\partial f}{\partial p_{k}}}{\frac {\partial g}{\partial q_{k}}}\right)}}$

mit

• ${\displaystyle f}$ und ${\displaystyle g}$ Funktionen der generalisierten Koordinaten ${\displaystyle q_{k}}$ und der kanonisch konjugierten Impulse ${\displaystyle p_{k}}$
• ${\displaystyle s}$ Anzahl der Freiheitsgrade.

Allgemein kann die Poisson-Klammer auch für Funktionen ${\displaystyle F}$ und ${\displaystyle G}$ definiert werden, die nicht von generalisierten Koordinaten und kanonischen Impulsen abhängen. Zur Verdeutlichung, auf welche Variablen sich die Poisson-Klammer beziehen soll, werden diese als Indizes an die Klammer geschrieben:

${\displaystyle \{F,G\}_{ab}:=\sum _{k=1}^{s}\left({\frac {\partial F}{\partial a_{k}}}{\frac {\partial G}{\partial b_{k}}}-{\frac {\partial F}{\partial b_{k}}}{\frac {\partial G}{\partial a_{k}}}\right)}$.

Man sagt ${\displaystyle F}$ und ${\displaystyle G}$ Poisson-kommutieren, wenn die Poisson-Klammer verschwindet ${\displaystyle \{F,G\}=0}$. Man auch, dass ${\displaystyle F}$ und ${\displaystyle G}$ in Involution stehen, weil die Größen, die durch diese Funktionen beschrieben werden, unabhängig voneinander sind und sich in ihrer Entwicklung nicht gegenseitig beeinflussen. Eine Funktion ${\displaystyle F}$, die mit der Hamilton-Funktion ${\displaystyle H}$ Poisson-kommutiert, ist eine Erhaltungsgröße.

• Bilinearität

${\displaystyle \,\{c_{1}f_{1}+c_{2}f_{2},g\}=c_{1}\{f_{1},g\}+c_{2}\{f_{2},g\}}$

• Antisymmetrie

${\displaystyle \{f,g\}=-\{g,f\}}$, insbesondere ${\displaystyle \{f,f\}=0}$

• Produktregel

${\displaystyle \,\{f,gh\}=\{f,g\}h+g\{f,h\}}$

• Jacobi-Identität

${\displaystyle \,\{f,\{g,h\}\}+\{h,\{f,g\}\}+\{g,\{h,f\}\}=0}$

• Invarianz unter kanonischen Transformationen

Physikalisch liegt es nahe, anzunehmen, dass die Zeitentwicklung einer Eigenschaft eines Systems nicht von den verwendeten Koordinaten abhängen sollte; damit sollten auch die Poisson-Klammern unabhängig von den verwendeten kanonischen Koordinaten sein. Seien ${\displaystyle (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}$ und ${\displaystyle (\mathbf {Q} ,\mathbf {P} )}$ zwei verschiedene Sätze von Koordinaten, die durch kanonische Transformationen ineinander übergehen, so gilt:

${\displaystyle \{f,g\}_{\mathbf {qp} }=\{f,g\}_{\mathbf {QP} }=\{f,g\}}$.

Für die kanonische Mechanik wichtig sind die fundamentalen Poisson-Klammern

${\displaystyle \left\{q_{k},q_{l}\right\}=0}$

${\displaystyle \left\{p_{k},p_{l}\right\}=0}$

${\displaystyle \left\{q_{k},p_{l}\right\}=\delta _{kl}}$ (Kronecker-Delta)

Sie folgen aus den trivialen Beziehungen

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}&{\frac {\partial q_{k}}{\partial q_{l}}}=\delta _{kl}\quad &&{\frac {\partial p_{k}}{\partial q_{l}}}=0\\&{\frac {\partial q_{k}}{\partial p_{l}}}=0\quad &&{\frac {\partial p_{k}}{\partial p_{l}}}=\delta _{kl}\end{alignedat}}}$

• Mithilfe der Poisson-Klammer kann die Zeitevolution einer beliebigen Observablen ${\displaystyle f(q_{k},p_{k},t)}$ eines Hamiltonschen Systems ${\displaystyle H(q_{k},p_{k})}$ ausgedrückt werden (Hamiltonsche Bewegungsgleichungen):

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}=\{f,H\}+{\frac {\partial f}{\partial t}}}$.

• Dual zur Bewegungsgleichung der Observablen ist die Liouville-Gleichung, die die Dynamik der Verteilungsdichte in der statistischen Mechanik beschreibt:

${\displaystyle {\dot {\rho }}=\{H,\rho \}.}$

• In der Quantenmechanik wird im Rahmen der kanonischen Quantisierung die Poisson-Klammer ersetzt durch ${\displaystyle \textstyle \left(-{\frac {\rm {i}}{\hbar }}\right)}$ multipliziert mit dem Kommutator:^[1]

${\displaystyle \{H,f\}\rightarrow -{\frac {i}{\hbar }}[{\hat {H}},{\hat {f}}]}$

Außerdem werden Observablen durch Operatoren dargestellt. Die oben angeführte Gleichung der Zeitevolution einer Observablen führt so auf die Zeitevolution von Operatoren eines quantenmechanischen Systems mit Hamiltonoperator ${\displaystyle {\hat {H}}}$ im Heisenberg-Bild. Diese Bewegungsgleichung heißt Heisenbergsche Bewegungsgleichung. Die Liouville-Gleichung findet ihre Entsprechung dabei in der Von-Neumann’schen Bewegungsgleichung.

• Sowohl die Phasenraumfunktionen der kanonischen Mechanik als auch die Operatoren der Quantenmechanik bilden mit ihren Klammern jeweils eine Lie-Algebra.

• Allgemein definiert man auf einer symplektischen Mannigfaltigkeit mit symplektischer Form, die in lokalen Koordinaten gegeben ist durch ${\displaystyle \textstyle \omega =\sum _{ij}\omega _{ij}\,\mathrm {d} x^{i}\wedge \mathrm {d} x^{j}}$, die Poisson-Klammer der Funktionen ${\displaystyle f}$ und ${\displaystyle g}$ durch:

${\displaystyle \{f,g\}=\sum _{ij}\omega ^{ij}\,\partial _{i}f\,\partial _{j}g\,.}$

• Koordinatenunabhängig lässt sich die Poisson-Klammer wie folgt darstellen: es sei ${\displaystyle J:T^{*}M\rightarrow TM}$ der durch ${\displaystyle J^{-1}(v)(w)=\omega (v,w)}$ beschriebene Isomorphismus. Weiter sei für eine Funktion ${\displaystyle f}$ das Vektorfeld ${\displaystyle X_{f}}$ definiert als ${\displaystyle J(\mathrm {d} f)}$. Damit gilt dann

${\displaystyle \{f,g\}=\omega (X_{f},X_{g}).}$

• Eric W. Weisstein: Poisson Bracket. In: MathWorld (englisch).

1. ↑ Hong-Tao Zhang: A Simple Method of Calculating Commutators in Hamilton System with Mathematica Software, arxiv:quant-ph/0204081