Fabry-Pérot-Interferometer

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Das Fabry-Pérot-Interferometer, auch Pérot-Fabry-Interferometer, wurde 1897 von den französischen Physikern Charles Fabry und Alfred Pérot entwickelt. Es ist ein optischer Resonator, der aus zwei teildurchlässigen Spiegeln gebildet wird. Ist der Spiegelabstand unveränderbar (bspw. Glas mit aufgedampften Spiegeln), so werden diese Aufbauten auch als Maßverkörperung benutzt und dann als Fabry-Pérot-Etalon oder einfach Etalon bezeichnet. Ein eintreffender Lichtstrahl wird nur dann durch diesen Aufbau geleitet (transmittiert), wenn er dessen Resonanzbedingung erfüllt.

Damit lässt sich das Fabry-Pérot-Interferometer u. a. als optischer Filter einsetzen, der aus einer breitbandigen Strahlung ein schmalbandiges Spektrum herausfiltert. Spiegelverschiebungen ermöglichen es darüber hinaus, die spektralen Eigenschaften der transmittierten Strahlung einzustellen. Das Transmissionsverhalten lässt sich mit der Airy-Formel berechnen.

Geschichte

Ein Michelson-Interferometer liefert bei monochromatischem Licht eine Interferenz in Form einer Kosinuswelle, die aus der Überlagerung zweier Strahlen resultiert. Charles Fabry verfolgte das Ziel, die Zahl dieser Strahlen zu erhöhen, um schärfere Interferenzstreifen zu erzeugen. Dies ist vergleichbar mit der höheren Auflösung eines Beugungsgitters bei zunehmender Linienzahl.^[1]

Dazu setzte er zwei parallele, teilreflektierende Spiegel ein, deren Reflexionsvermögen die Anzahl der austretenden Teilwellen bestimmte. Dieses physikalische Prinzip ähnelte klassischen Mehrstrahlinterferenzen wie dem Doppelspalt oder dem Fraunhofer-Gitter, doch seine Umsetzung war weitaus komplexer.

Unterstützt von Alfred Pérot entwickelte Fabry im Jahr 1896 ein erstes Gerät mit festen Spiegeln. Es wurde als »Étalon« (französisch für »Eichmaß«) bezeichnet, um es vom variabel aufgebauten Interferometer abzugrenzen.

Aufgrund der hohen Spiegelreflektivität entstanden Interferenzmuster aus zahlreichen Teilwellen, die im monochromatischen Licht als konzentrische, fein aufgelöste Ringe erschienen.

Bis 1902 hatten Fabry und Pérot die Methoden zur Wellenlängenmessung mithilfe von Étalons perfektioniert. Diese hatten den Vorteil, dass aufgrund der sehr hohen Interferenzordnung jede einzelne Linie direkt mit dem Primärnormal verglichen werden konnte. Dadurch konnten die mit der Verwendung eines Gitters verbundenen kumulativen Fehler vermieden werden.^[2] Mit dieser Methode gelang es Fabry und Pérot im Jahr 1902 eine absolute Wellenlängenmessungen durchzuführen und somit das Sonnen- und Eisenspektrum zu ermitteln.^[3]

Wirkungsweise

Transmissionsspektrum eines Fabry-Pérot-Interferometers für verschiedene Finessen F

Ein Fabry-Pérot-Interferometer besteht aus zwei teilreflektierenden Spiegeln mit hoher Reflektivität, die gemeinsam einen optischen Resonator bilden. Zwischen diesen Spiegeln interferieren die mehrfach reflektierten Teilstrahlen je nach Wellenlänge konstruktiv oder destruktiv. Dadurch zeigt das Transmissionsspektrum schmale Maxima für jene Wellenlängen, die die Resonanzbedingung erfüllen, während andere Spektralbereiche nahezu vollständig ausgelöscht werden.

In einem Resonator mit einem Spiegelabstand $L$ und einer optischen Weglänge $nL$ (wobei $n$ der Brechungsindex des Mediums zwischen den Spiegeln ist), kann sich genau dann eine stehende Welle ausbilden, wenn ein ganzzahliges Vielfaches $m$ der halben Wellenlänge ${\textstyle {\frac {1}{2}}}\lambda$ in den Resonator hineinpasst:

m\cdot {\frac {\lambda }{2}}=nL

Mit der Frequenz $\nu =c/\lambda$ ist dies gleichbedeutend damit, dass in Resonanz

m\cdot {\frac {c}{\nu }}=2nL\qquad {\text{bzw.}}\quad m\cdot {\frac {c}{2nL}}=\nu

gilt. Dies definiert den freien Spektralbereich (FSB) des Resonators $\Delta \nu _{\text{FSB}}$ über:^[4]

\Delta \nu _{\text{FSB}}={\frac {c}{2nL}}

und die longitudinale Modenzahl $m$

m\cdot \Delta \nu _{\text{FSB}}=\nu

Mit der Wellenzahl $k=2\pi /\lambda =2\pi \nu n/c$ beträgt die Phasenverschiebung $\phi$ für einen gesamten Umlauf^[5]:

2kL=2\pi \cdot m=\phi

Transmission im Fabry-Pérot-Interferometer mit zwei verschiedenen Spiegeln

Feldamplituden im Fabry-Pérot-Interferometer

Betrachtet man ein Fabry-Pérot-Interferometer, das aus zwei parallelen, teildurchlässigen Spiegeln besteht. Der linke Spiegel hat einen Transmissionskoeffizienten $t$ und einen Reflexionskoeffizienten $r$ , der rechte Spiegel hat einen Transmissionskoeffizienten $t'$ und einen Reflexionskoeffizienten $r'$ . Dabei gilt jeweils $|r|^{2}+|t|^{2}=1$ und $|r'|^{2}+|t'|^{2}=1$ . Einfallendes Licht der Amplitude $E_{\text{I}}$ durchläuft die Struktur als Wanderwelle mehrfach, da es zwischen den Spiegeln reflektiert wird. Der direkt transmittierte Strahl erhält die Amplitude $E_{\text{T,1}}=t\,t'\,{\text{e}}^{{\text{i}}\delta _{0}}E_{\text{I}}$ , wobei ${\text{e}}^{i\delta _{0}}$ eine Phasenverschiebung beim Durchgang beschreibt ( $\delta _{0}=0$ ohne Einschränkung). Der erste reflektierte Strahl durchläuft den Hohlraum im Resonator vor der nächsten Transmission einmal mit der Amplitude $E_{\text{T,2}}=t\,r\,r'\,t'\,{\text{e}}^{{\text{i}}\Delta \phi }E_{\text{I}}=tt'rr'{\text{e}}^{{\text{i}}\Delta \phi }E_{\text{I}}$ . Dabei beschreibt $\Delta \phi$ die Phasenverschiebung pro Umlauf im Resonator und berücksichtigt auch die Phasensprünge, die bei jeder Reflexion auftreten. Der nächste Strahl wird zweimal reflektiert und beträgt $E_{\text{T,3}}=tt'(rr')^{2}{\text{e}}^{{\text{i}}2\Delta \phi }E_{\text{I}}$ und so weiter. Die Gesamtamplitude $E_{\text{T}}$ der transmittierten Welle ist die Summe aller einzelnen Beiträge:^[6]

E_{\text{T}}=E_{\text{T,1}}+E_{\text{T,2}}+E_{\text{T,3}}+\dots =tt'E_{\text{I}}\left[1+(rr'){\text{e}}^{{\text{i}}\Delta \phi }+(rr')^{2}{\text{e}}^{{\text{i}}2\Delta \phi }+(rr')^{3}{\text{e}}^{{\text{i}}3\Delta \phi }+\dots \right]

Dies ist eine geometrische Reihe mit dem Quotienten $rr'{\text{e}}^{{\text{i}}\delta }$ . Für $|rr'{\text{e}}^{{\text{i}}\Delta \phi }|<1$ konvergiert die Reihe und ergibt $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }\left(rr'{\text{e}}^{{\text{i}}\Delta \phi }\right)^{n}={\frac {1}{1-rr'{\text{e}}^{{\text{i}}\Delta \phi }}}$ .^[7] Damit folgt:

E_{\text{T}}={\frac {tt'}{1-rr'{\text{e}}^{{\text{i}}\Delta \phi }}}\,E_{\text{I}}

Die transmittierte Intensität ist proportional zum Betrag der Amplitude zum Quadrat:

I_{\text{T}}=|E_{\text{T}}|^{2}={\frac {|tt'|^{2}}{|1-rr'{\text{e}}^{{\text{i}}\Delta \phi }|^{2}}}|E_{\text{I}}|^{2}={\frac {|tt'|^{2}}{1-2rr'\cos \Delta \phi +(rr')^{2}}}|E_{\text{I}}|^{2}

und wird mit der trigonometrischen Identität $\cos \Delta \phi =1-2\sin ^{2}\Delta \phi /2$ zur Airy-Formel

I_{\text{T}}={\frac {I_{0}}{1+F\sin ^{2}({\tfrac {\Delta \phi }{2}})}}

.

mit dem Finesse-Koeffizient

F={\frac {4rr'}{(1-rr')^{2}}}

und der Maximalintensität

I_{0}={\frac {|tt'|^{2}|E_{\text{I}}|^{2}}{(1-rr')^{2}}}={\frac {(1-r^{2})(1-r'^{2})}{(1-rr')^{2}}}\,|E_{\text{I}}|^{2}

mit $|t|^{2}=1-r^{2}$ , bzw. $|t'|^{2}=1-r'^{2}$ .^[8]

Berücksichtigt man einen pauschalen Verlustkoeffizienten $A$ pro Umlauf, dann ändert sich die Airy-Formel zu:^[9]

I_{\text{T,A}}={\frac {4TT'(1-A)}{(T+T'+A)^{2}}}{\frac {I_{\text{I}}}{1+F_{\text{A}}\sin ^{2}({\tfrac {\Delta \phi }{2}})}}

.

mit $T=|t|^{2}$ , $T'=|t'|^{2}$ , $R=|r|^{2}$ , $R'=|r'|^{2}$ und dem Finesse-Koeffizient

F_{\text{A}}={\frac {4{\sqrt {RR'(1-A)}}}{(1-{\sqrt {RR'(1-A)}}\,)^{2}}}

und der Intensität $I_{\text{I}}=|E_{\text{I}}|^{2}$ .

Reflektierte und umlaufende Welle in einem Fabry-Pérot-Interferometer mit zwei unterschiedlichen Spiegeln

Der zweite Spiegel lässt nur einen Bruchteil des intern umlaufenden Feldes als transmittiertes Feld $E_{\text{T}}=t'E_{\text{int}}$ durch. Für die Feldamplitude $E_{\text{int}}$ im Resonator gilt:

E_{\text{int}}={\frac {1}{t'}}E_{\text{T}}={\frac {1}{t'}}{\frac {tt'}{1-rr'{\text{e}}^{{\text{i}}\Delta \phi }}}\,E_{\text{I}}={\frac {t}{1-rr'{\text{e}}^{{\text{i}}\Delta \phi }}}\,E_{\text{I}}

mit der Intensität

I_{\text{int}}={\frac {1}{|t'|^{2}}}I_{\text{T}}={\frac {|t|^{2}}{(1-rr')^{2}}}{\frac {|E_{\text{I}}|^{2}}{1+F\sin ^{2}({\tfrac {\Delta \phi }{2}})}}={\frac {(1-r^{2})}{(1-rr')^{2}}}{\frac {|E_{\text{I}}|^{2}}{1+F\sin ^{2}({\tfrac {\Delta \phi }{2}})}}

und dem Finesse-Koeffizienten $F=\textstyle {\frac {4rr'}{(1-rr')^{2}}}$ . Bei hoher Amplitudenreflektivität $r\approx r'=1-\varepsilon$ wird die intern umlaufende Intensität mit $I_{\text{int}}=\textstyle {\frac {|E_{\text{I}}|^{2}}{2\varepsilon }}$ sehr hoch!

Aus der Energieerhaltung folgt zwangsläufig eine reflektierte Welle $E_{\text{R}}$ . Sie entsteht durch Interferenz des sofort reflektierten Lichts $rE_{\text{I}}$ mit dem einmal umlaufenden Feld $E_{\text{int}}$ , das am zweiten Spiegel reflektiert wird (Faktor: $r'$ ) und der erste Spiegel transmittiert (Faktor: $t$ ):

E_{\text{R}}=rE_{\text{I}}-r't{\text{e}}^{{\text{i}}\Delta \phi }\,E_{\text{int}}=rE_{\text{I}}-{\frac {r't^{2}{\text{e}}^{{\text{i}}\Delta \phi }}{1-rr'{\text{e}}^{{\text{i}}\Delta \phi }}}\,E_{\text{I}}

Das Minuszeichen resultiert aus einer fehlenden Reflexion am ersten Spiegel im Vergleich zur Umlaufwelle. Mit $r^{2}+t^{2}=1$ wird daraus:^[10]

E_{\text{R}}={\frac {r-r^{2}r'{\text{e}}^{{\text{i}}\Delta \phi }-r't^{2}{\text{e}}^{{\text{i}}\Delta \phi }}{1-rr'{\text{e}}^{{\text{i}}\Delta \phi }}}\,E_{\text{I}}={\frac {r-r'{\text{e}}^{{\text{i}}\Delta \phi }}{1-rr'{\text{e}}^{{\text{i}}\Delta \phi }}}\,E_{\text{I}}

Die reflektierte Intensität ist zwar das Betragsquadrat $I_{\text{R}}=|E_{\text{R}}|^{2}$ der reflektierten elektrischen Feldstärke, im absorptionsfreien Fall aber auch einfach^[8]

I_{\text{R}}=I_{\text{I}}-I_{\text{T}}=|E_{\text{I}}|^{2}-{\frac {(1-r^{2})(1-r'^{2})}{(1-rr')^{2}}}{\frac {|E_{\text{I}}|^{2}}{1+F\sin ^{2}({\tfrac {\Delta \phi }{2}})}}={\frac {(r-r')^{2}+(1-rr')^{2}F\sin ^{2}({\tfrac {\Delta \phi }{2}})}{(1-rr')^{2}[1+F\sin ^{2}({\tfrac {\Delta \phi }{2}})]}}\,|E_{\text{I}}|^{2}

Intensitäten in einem absorptionsfreien Fabry-Pérot-Interferometer mit Spiegeln gleicher Reflektivität

Bei identischen Spiegeln ( $r=r'$ ) wird die maximale Intensität $I_{0}=I_{\text{I}}=|E_{\text{I}}|^{2}$ erreicht und damit auch die transmittierte Intensität.

I_{\text{T}}={\frac {|E_{\text{I}}|^{2}}{1+F\sin ^{2}({\tfrac {\Delta \phi }{2}})}}

Dabei ist $F$ der Finesse-Koeffizient: $F=\textstyle {\frac {4r^{2}}{(1-r^{2})^{2}}}$ . Die reflektierte Intensität vereinfacht sich zu:

I_{\text{R}}={\frac {F\sin ^{2}({\tfrac {\Delta \phi }{2}})}{1+F\sin ^{2}({\tfrac {\Delta \phi }{2}})}}\,|E_{\text{I}}|^{2}

und die Intensität des intern umlaufenden Feldes vergrößert sich

I_{\text{int}}={\frac {1}{1-r^{2}}}{\frac {|E_{\text{I}}|^{2}}{1+F\sin ^{2}({\tfrac {\Delta \phi }{2}})}}

Phasendifferenzen von Fabry-Pérot-Interferometer und Fabry-Pérot-Etalon

Fabry-Pérot-Interferometer (FPI) und Fabry-Pérot-Etalons bezeichnen optische Resonatoren, bestehend aus zwei parallelen, teilreflektierenden Spiegeln. Trotz ihrer identischen physikalischen Struktur unterscheiden sich die Begriffe durch ihren Anwendungsfokus:

Fabry-Pérot-Etalon: Dies ist die Bezeichnung für die Anordnung, wenn sie als passives, frequenzselektives Element eingesetzt wird, beispielsweise zur Modenselektion in Lasern oder zur spektralen Filterung. Der Spiegelabstand ist in der Regel entweder fest oder fein justierbar. Die Durchlassbereiche sind durch Interferenzbedingungen festgelegt. Für die Phasendifferenz (siehe Durchmesser der Interferenzringe unten) und den freien Spektralbereich $\textstyle \Delta \nu _{\text{FSB}}={\frac {c}{2nL}}$ gilt

{\frac {\Delta \phi }{2}}={\frac {2\pi }{\lambda }}\,nL\cos(\alpha )=kL\cos(\alpha )={\frac {2\pi }{c}}\Delta \nu \,nL\cos(\alpha )=\pi {\frac {\Delta \nu }{\Delta \nu _{\text{FSB}}}}\,\cos(\alpha )

mit

\Delta \nu =\nu -\nu _{m}

als Verstimmung der Frequenz von der Mode

m

und damit ergibt sich weiter die transmittierte Intensität eines Fabry-Pérot-Etalons zu:

I_{\text{T}}={\frac {I_{0}}{1+F\sin ^{2}\left(\pi {\frac {\Delta \nu }{\Delta \nu _{\text{FSB}}}}\,\cos(\alpha )\right)}}

.

Fabry-Pérot-Interferometer: Dies ist die Bezeichnung für dieselbe Struktur, wenn die Interferenz aktiv ausgewertet wird, beispielsweise durch die Beobachtung von Transmissions- oder Reflexionsmustern, um Wellenlängen, Frequenzen oder Änderungen des Brechungsindexes präzise zu bestimmen. Der Begriff ist in interferometrischen Messanordnungen üblich. Er bezieht sich auf die Phasenverschiebung

{\frac {\Delta \phi }{2}}={\frac {2\pi }{\lambda }}\,nL=kL={\frac {2\pi }{c}}\Delta \nu \,nL=\pi {\frac {\Delta \nu }{\Delta \nu _{\text{FSB}}}}

nach einem Hin- und Rücklauf einer ebenen Lichtwelle oder einer Mode mit verschwindender Gouy-Phase im Resonator. Damit beträgt die transmittierte Intensität eines Fabry-Pérot-Interferometers

I_{\text{T}}={\frac {I_{0}}{1+F\sin ^{2}\left({\frac {\Delta \phi }{2}}\right)}}={\frac {I_{0}}{1+F\sin ^{2}\left(\pi {\frac {\Delta \nu }{\Delta \nu _{\text{FSB}}}}\right)}}

.

mit $\Delta \nu =\nu -\nu _{m}$ als Frequenzabweichung von der Mode $m$ . Die Resonanzmaxima sind die longitudinalen Moden eines Lasers. Je nach dessen Verstärkungsbandbreite kann er auf einer oder auf mehreren dieser Moden anschwingen bzw. „lasern“.

Wichtige Kenngrößen

Der Finesse-Koeffizient $F$ ist ein dimensionsloser Parameter, der die Schärfe der Resonanzkurve eines Fabry-Pérot-Interferometers beschreibt. Er hängt von der Intensitätsreflektivität $R$ der Spiegel ab und ist gegeben durch

F={\frac {4R}{(1-R)^{2}}}.

Er tritt in der Airy-Formel für die transmittierte Intensität

I_{\text{T}}={\frac {I_{0}}{1+F\sin ^{2}\!\left({\frac {\Delta \phi }{2}}\right)}}={\frac {I_{0}}{1+F\sin ^{2}\!\left(\pi {\frac {\Delta \nu }{\Delta \nu _{\text{FSB}}}}\right)}}

auf, wobei $I_{0}$ die maximale Transmissionsintensität, $F$ der Finesse-Koeffizient und $\textstyle \Delta \nu _{\text{FSB}}={\frac {c}{2nL}}$ der freie Spektralbereich des Interferometers sind, bestimmt durch den Plattenabstand $L$ und den Brechungsindex $n$ des Mediums. Der Finesse-Koeffizient legt die Steilheit der Transmission in der Nähe der Resonanz fest.

Die Halbwertsbreite beim Fabry-Pérot-Interferometer $\delta \nu _{1/2}$ charakterisiert die spektrale Breite eines einzelnen Transmissionsmaximums bei halber Maximalintensität und bestimmt damit unmittelbar die spektrale Auflösung des Resonators.^[11]

Die Halbwertsbreite ist durch die Frequenzdifferenz $\Delta \nu _{+}-\Delta \nu _{-}$ definiert, für die gilt:

I_{\text{T}}(\nu _{\pm })={\frac {1}{2}}I_{0}={\frac {I_{0}}{1+F\sin ^{2}\!\left(\pi {\frac {\Delta \nu _{\pm }}{\Delta \nu _{\text{FSB}}}}\right)}}.

Im Resonanzbereich gilt für kleine Frequenzabweichungen

\textstyle \pi {\frac {\Delta \nu }{\Delta \nu _{\text{FSB}}}}\ll 1\qquad \Rightarrow \qquad \sin \!\left(\pi {\frac {\Delta \nu }{\Delta \nu _{\text{FSB}}}}\right)\approx \pi {\frac {\Delta \nu }{\Delta \nu _{\text{FSB}}}}.

Damit folgt die Bedingung für die Frequenzen bei halber Intensität:

\textstyle {\sqrt {F}}\sin \!\left(\pi {\frac {\Delta \nu _{\pm }}{\Delta \nu _{\text{FSB}}}}\right)\approx \pi {\sqrt {F}}\,{\frac {\Delta \nu _{\pm }}{\Delta \nu _{\text{FSB}}}}=\pm 1,

also

\textstyle \Delta \nu _{\pm }=\pm {\frac {\Delta \nu _{\text{FSB}}}{\pi {\sqrt {F}}}}.

Die Halbwertsbreite ergibt sich zu

\delta \nu _{1/2}=\Delta \nu _{+}-\Delta \nu _{-}={\frac {2\Delta \nu _{\text{FSB}}}{\pi {\sqrt {F}}}},

Der Finesse-Koeffizient $F$ wird im Wesentlichen durch die Spiegelreflektivität bestimmt und beschreibt, wie stark die Resonanzmaxima gegeneinander abgegrenzt sind.

Die Finesse ${\mathcal {F}}$ dient zur Charakterisierung des Resonators. Sie ist definiert als Verhältnis zwischen dem freien Spektralbereich $\Delta \nu _{\text{FSB}}$ und der Halbwertsbreite $\delta \nu _{\text{1/2}}$ eines einzelnen Maximums:

{\mathcal {F}}={\frac {\Delta \nu _{\text{FSB}}}{\delta \nu _{\text{1/2}}}}=\Delta \nu _{\text{FSB}}{\frac {\pi {\sqrt {F}}}{2\Delta \nu _{\text{FSB}}}}={\frac {\pi {\sqrt {F}}}{2}}

.

Je größer die Finesse, desto mehr Strahlenbündel interferieren miteinander und desto schärfer sind also die Interferenzringe. Einfachste Fabry-Pérot-Interferometer erreichen bei sichtbarem Licht Finessen von ungefähr ${\mathcal {F}}=30$ . Bei hohen Reflektivitäten $R$ der Spiegel und geringer Dämpfung im Resonator nimmt die Finesse große Werte an:

{\mathcal {F}}={\frac {\pi {\sqrt {R}}}{1-R}}={\frac {\pi {\sqrt {F}}}{2}}

Mit dielektrischen Dünnschichtbelägen und gekrümmten Spiegeln lassen sich Finessen bis zu $4{,}1\cdot 10^{5}$ erreichen.^[12]

Bei steigender Finesse wächst bei Resonanz die Intensität bzw. Feldstärke der Lichtwellen innerhalb des Interferometers bzw. Resonators auf Werte an, die wesentlich höher sind als diejenigen des durchtretenden Lichtes. Diese Tatsache muss bei Anwendungen, bei denen die Leistung im Vordergrund steht, berücksichtigt werden (z. B. bei Laser-Resonatoren und -Modulatoren).

Modenstruktur im Resonator

Gauß-Mode im Resonator mit sphärischen Spiegeln

Die fundamentale transversale elektromagnetische Mode (TEM₀₀) in einem Resonator mit sphärischen Spiegeln wird als Gauß-Mode bezeichnet. Sie beschreibt die Feldverteilung eines paraxialen Strahls, dessen Querschnitt quer zur Resonatorachse eine Intensitätsverteilung gemäß einer Gauß-Kurve aufweist.

Die elektrische Feldstärke der Gauß-Mode lässt sich durch die folgende Lösung der paraxialen Helmholtz-Gleichung beschreiben:^[13]

E(r,z)=E_{0}\;{\frac {w_{0}}{w(z)}}\cdot \exp \left(-{\frac {r^{2}}{w^{2}(z)}}\right)\cdot \exp \left({\text{i}}k{\frac {r^{2}}{2R(z)}}\right)\cdot \exp \left({\text{i}}(kz-\zeta (z))\right),

wobei:

$E_{0}$ die maximale Feldstärke im Strahlzentrum ist,
$w(z)$ der Strahlradius (1/e Amplitude) in Abhängigkeit von der axialen Position $z$ : $w(z)=\textstyle w_{0}{\sqrt {1+({\frac {z}{z_{R}}})^{2}}},$
$w_{0}$ der minimale Strahlradius (Beam Waist) im Fokus,
$z_{R}=\textstyle {\frac {\pi w_{0}^{2}}{\lambda }}$ die Rayleigh-Länge,
$R(z)$ der Krümmungsradius der Wellenfronten: $R(z)=\textstyle z\,\left(1+{\left({\frac {z_{R}}{z}}\right)}^{2}\right)$ ,
$\zeta (z)=\arctan(z/z_{R})$ die Gouy-Phase,
$\lambda$ die Wellenlänge des Lichts und $k=2\pi /\lambda$ die Wellenzahl sind.

Die Intensitätsverteilung $I(r,z)$ ergibt sich aus dem Betragsquadrat des elektrischen Feldes

I(r,z)=|E(r,z)|^{2}=I_{0}{\frac {w_{0}^{2}}{w^{2}(z)}}\cdot \exp \left(-2{\frac {r^{2}}{w^{2}(z)}}\right)

mit der maximalen Intensität $I_{0}=|E_{0}|^{2}$ im Strahlzentrum bei $z=0$ .

Gauß-Mode im Resonator bei vorgegebenen Spiegelradien

Bei vorgegebenen Krümmungsradien der Spiegel $R_{i}$ und dadurch festgelegten Resonatorparametern $g_{i}=\textstyle 1-{\frac {L}{R_{i}}}$ das folgende Gleichungssystem zu lösen:

{\begin{aligned}R(z_{1})&=\textstyle z_{1}\,\left(1+{\frac {z_{R}^{2}}{z_{1}^{2}}}\right)=-R_{1}\\R(z_{2})&=\textstyle z_{2}\,\left(1+{\frac {z_{R}^{2}}{z_{2}^{2}}}\right)=R_{2}\\L&=z_{2}-z_{1}\\\end{aligned}}

mit der Rayleigh-Länge $z_{R}=\textstyle {\frac {\pi w_{0}^{2}}{\lambda }}$ bei minimalem Strahlradius $w_{0}$ im Fokus bei $z=0$ . Bei dieser Wahl von $z$ wird $z_{1}<0$ und $R(z_{1})=-R_{1}<0$ mit positiven Krümmungsradien $R_{i}>0$ für konvexe Spiegel. Die Spiegellagen $z_{i}$ und die Rayleigh-Länge $z_{R}$ ergeben sich dann zu^[14]:

{\begin{aligned}z_{1}&=-{\frac {(1-g_{1})g_{2}}{g_{1}+g_{2}-2g_{1}g_{2}}}\,L\\z_{2}&={\frac {g_{1}(1-g_{2})}{g_{1}+g_{2}-2g_{1}g_{2}}}\,L\\z_{R}^{2}&={\frac {g_{1}g_{2}(1-g_{1}g_{2})}{(g_{1}+g_{2}-2g_{1}g_{2})^{2}}}\,L^{2}\\\end{aligned}}

Um das Quadrat der Rayleigh-Länge $z_{R}$ positiv zu machen, erhält man die Stabilitätsbedingungen eines Fabry-Pérot-Resonators:^[14]

g_{1}g_{2}\geq 0\quad {\text{und }}(1-g_{1}g_{2})\geq 0\quad \Rightarrow \quad 0\leq g_{1}g_{2}\leq 1

Nebenrechnung $\,$
$z_{R}^{2}=(R_{2}-z_{2})z_{2}{\underset {z_{2}=L+z_{1}}{=}}(R_{2}-L-z_{1})(L+z_{1}){\overset {!}{=}}-(R_{1}+z_{1})z_{1}$ Ausmultiplizieren und Auflösen nach $z_{1}$ ergibt: $z_{1}={\frac {L^{2}-R_{2}L}{R_{1}+R_{2}-2L}}={\frac {-L^{2}R_{2}(1-{\frac {L}{R_{2}}})}{R_{1}R_{2}({\frac {L}{R_{2}}}+{\frac {L}{R_{1}}}-{\frac {2L^{2}}{R_{1}R_{2}}})}}=-{\frac {L}{R_{1}}}{\frac {1-{\frac {L}{R_{2}}}}{{\frac {L}{R_{1}}}+{\frac {L}{R_{2}}}-2{\frac {L}{R_{1}}}{\frac {L}{R_{2}}}}}\,L$ Mit den Resonator- $g$ -Parametern $\textstyle g_{i}=1-{\frac {L}{R_{i}}}$ bzw. $\textstyle {\frac {L}{R_{i}}}=1-g_{i}$ gilt: $z_{1}=-(1-g_{1}){\frac {g_{2}}{1-g_{1}+1-g_{2}-2(1-g_{1})(1-g_{2})}}\,L=-{\frac {(1-g_{1})g_{2}}{g_{1}+g_{2}-2g_{1}g_{2}}}\,L$ Damit wird $z_{2}=L+z_{1}=L-{\frac {(1-g_{1})g_{2}}{g_{1}+g_{2}-2g_{1}g_{2}}}\,L={\frac {g_{1}+g_{2}-2g_{1}g_{2}-g_{2}+g_{1}g_{2}}{g_{1}+g_{2}-2g_{1}g_{2}}}\,L={\frac {g_{1}(1-g_{2})}{g_{1}+g_{2}-2g_{1}g_{2}}}\,L$ Berechnung der Rayleigh-Länge $z_{R}$ : ${\begin{aligned}z_{R}^{2}&=-(R_{1}+z_{1})z_{1}=L^{2}\left({\frac {R_{1}}{L}}-{\frac {(1-g_{1})g_{2}}{g_{1}+g_{2}-2g_{1}g_{2}}}\right){\frac {(1-g_{1})g_{2}}{g_{1}+g_{2}-2g_{1}g_{2}}}\\&=L^{2}{\frac {{\frac {1}{1-g_{1}}}(g_{1}+g_{2}-2g_{1}g_{2})-(1-g_{1})g_{2}}{(g_{1}+g_{2}-2g_{1}g_{2})^{2}}}(1-g_{1})g_{2}=L^{2}{\frac {(g_{1}+g_{2}-2g_{1}g_{2})g_{2}-(1-g_{1})^{2}g_{2}^{2}}{(g_{1}+g_{2}-2g_{1}g_{2})^{2}}}\\z_{R}^{2}&=L^{2}{\frac {g_{1}g_{2}+g_{2}^{2}-2g_{1}g_{2}^{2}-g_{2}^{2}+2g_{1}g_{2}^{2}-g_{1}^{2}g_{2}^{2}}{(g_{1}+g_{2}-2g_{1}g_{2})^{2}}}={\frac {g_{1}g_{2}(1-g_{1}g_{2})}{(g_{1}+g_{2}-2g_{1}g_{2})^{2}}}\,L^{2}\\\end{aligned}}$

Der minimale Strahlradius $w_{0}$ im Fokus oder die Strahltaille (Beam Waist) sowie die Fleckengrößen an den Spiegeln $w(z_{1})$ und $w(z_{2})$ sind weitere Strahlparameter:^[14]

{\begin{aligned}w_{0}^{2}&={\frac {\lambda }{\pi }}z_{R}={\frac {\lambda L}{\pi }}{\frac {\sqrt {g_{1}g_{2}(1-g_{1}g_{2})}}{g_{1}+g_{2}-2g_{1}g_{2}}}\\w^{2}(z_{1})&=w_{0}^{2}(1+z_{1}^{2}/z_{R}^{2})={\frac {\lambda L}{\pi }}{\sqrt {\frac {g_{2}}{g_{1}(1-g_{1}g_{2})}}}\\w^{2}(z_{2})&=w_{0}^{2}(1+z_{2}^{2}/z_{R}^{2})={\frac {\lambda L}{\pi }}{\sqrt {\frac {g_{1}}{g_{2}(1-g_{1}g_{2})}}}\\\end{aligned}}

Nebenrechnung $\,$
${\begin{aligned}1+{\frac {z_{1}^{2}}{z_{R}^{2}}}&=1+{\frac {(1-g_{1})^{2}g_{2}^{2}}{(g_{1}+g_{2}-2g_{1}g_{2})^{2}}}{\frac {(g_{1}+g_{2}-2g_{1}g_{2})^{2}}{g_{1}g_{2}(1-g_{1}g_{2})}}=1+{\frac {g_{2}(1-g_{1})^{2}}{g_{1}(1-g_{1}g_{2})}}=\\&={\frac {g_{1}(1-g_{1}g_{2})+g_{2}-2g_{1}g_{2}+g_{1}^{2}g_{2}}{g_{1}(1-g_{1}g_{2})}}={\frac {g_{1}+g_{2}-2g_{1}g_{2}}{g_{1}(1-g_{1}g_{2})}}\\\end{aligned}}$ Damit wird der Fleckgröße am Spiegel 1 zu: $w^{2}(z_{1})=w_{0}^{2}(1+z_{1}^{2}/z_{R}^{2})={\frac {\lambda L}{\pi }}{\frac {\sqrt {g_{1}g_{2}(1-g_{1}g_{2})}}{g_{1}+g_{2}-2g_{1}g_{2}}}{\frac {g_{1}+g_{2}-2g_{1}g_{2}}{g_{1}(1-g_{1}g_{2})}}={\frac {\lambda L}{\pi }}{\sqrt {\frac {g_{2}}{g_{1}(1-g_{1}g_{2})}}}$ Ebenso berechnet man mit ${\begin{aligned}1+{\frac {z_{2}^{2}}{z_{R}^{2}}}&=1+{\frac {g_{1}^{2}(1-g_{2})^{2}}{(g_{1}+g_{2}-2g_{1}g_{2})^{2}}}{\frac {(g_{1}+g_{2}-2g_{1}g_{2})^{2}}{g_{1}g_{2}(1-g_{1}g_{2})}}=1+{\frac {g_{1}(1-g_{2})^{2}}{g_{2}(1-g_{1}g_{2})}}=\\&={\frac {g_{2}(1-g_{1}g_{2})+g_{1}-2g_{1}g_{2}+g_{1}g_{2}^{2}}{g_{2}(1-g_{1}g_{2})}}={\frac {g_{1}+g_{2}-2g_{1}g_{2}}{g_{2}(1-g_{1}g_{2})}}\\\end{aligned}}$ die Fleckgröße $w^{2}(z_{2})$ am Spiegel 2 zu: $w^{2}(z_{2})=w_{0}^{2}(1+z_{2}^{2}/z_{R}^{2})={\frac {\lambda L}{\pi }}{\frac {\sqrt {g_{1}g_{2}(1-g_{1}g_{2})}}{g_{1}+g_{2}-2g_{1}g_{2}}}{\frac {g_{1}+g_{2}-2g_{1}g_{2}}{g_{2}(1-g_{1}g_{2})}}={\frac {\lambda L}{\pi }}{\sqrt {\frac {g_{1}}{g_{2}(1-g_{1}g_{2})}}}$

Gauß-Strahlen, Matrizenoptik und Resonatorstabilität

Stabilitätsdiagramm von optischen Fabry-Pérot-Resonatoren

Trifft ein Gauß-Strahl auf eine parabolische^[15] Linse oder einen parabolischen Spiegel, bleibt der resultierende Strahl ebenfalls gaußförmig. Daher lassen sich die Übertragungsregeln der Matrizenoptik aus der geometrischen Optik direkt auf Gauß-Strahlen anwenden. Führt man den komplexen Strahlparameter $q(z)=z+iz_{R}$ ein, so transformiert die ABCD-Matrix eines optischen Systems diesen Parameter gemäß^[16]

q_{1}(z)={\frac {Aq_{0}+B}{Cq_{0}+D}}

Auch für den Fabry-Pérot-Resonator lässt sich eine Gesamt-ABCD-Matrix bilden. Zwei Spiegel mit den Radien $R_{1}$ links und $R_{2}$ rechts bei einem Spiegelabstand $L$ sind äquivalent zur Linsenleitung mit zwei Halblinsen und einer Mittellinse $|)-()-(|$ . Sie lautet:^[17]

{\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}=\underbrace {\begin{pmatrix}1&0\\-{\frac {1}{R_{1}}}&1\end{pmatrix}} _{\text{2. Halblinse, rechts}}\cdot \underbrace {\begin{pmatrix}1&L\\0&1\end{pmatrix}} _{\text{freier Raum}}\cdot \underbrace {\begin{pmatrix}1&0\\-{\frac {2}{R_{2}}}&1\end{pmatrix}} _{\text{Mittellinse}}\cdot \underbrace {\begin{pmatrix}1&L\\0&1\end{pmatrix}} _{\text{freier Raum}}\cdot \underbrace {\begin{pmatrix}1&0\\-{\frac {1}{R_{1}}}&1\end{pmatrix}} _{\text{1. Halblinse, links}}={\begin{pmatrix}2g_{1}g_{2}-1&2g_{2}L\\{\frac {2g_{1}}{L}}(g_{1}g_{2}-1)&2g_{1}g_{2}-1\end{pmatrix}}

mit den Resonatorparametern $\textstyle g_{1}=1-{\frac {L}{R_{1}}}$ und $\textstyle g_{2}=1-{\frac {L}{R_{2}}}$ .

Berechnung der ABCD-Matrix $\,$
${\begin{aligned}{\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}1&0\\-{\frac {1}{R_{1}}}&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&L\\0&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&0\\-{\frac {2}{R_{2}}}&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&L\\0&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&0\\-{\frac {1}{R_{1}}}&1\end{pmatrix}}=\\&={\begin{pmatrix}1&L\\-{\frac {1}{R_{1}}}&1-{\frac {L}{R_{1}}}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&0\\-{\frac {2}{R_{2}}}&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1-{\frac {L}{R_{1}}}&L\\-{\frac {1}{R_{1}}}&1\end{pmatrix}}=\\&={\begin{pmatrix}1-{\frac {2L}{R_{2}}}&L\\-{\frac {1}{R_{1}}}-{\frac {2}{R_{2}}}+{\frac {2L}{R_{1}R_{2}}}&1-{\frac {L}{R_{1}}}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1-{\frac {L}{R_{1}}}&L\\-{\frac {1}{R_{1}}}&1\end{pmatrix}}=\\&={\begin{pmatrix}(1-{\frac {2L}{R_{2}}})(1-{\frac {L}{R_{1}}})-{\frac {L}{R_{1}}}&L-{\frac {2L^{2}}{R_{2}}}+L\\(-{\frac {1}{R_{1}}}-{\frac {2}{R_{2}}}+{\frac {2L}{R_{1}R_{2}}})(1-{\frac {L}{R_{1}}})-{\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {L}{R_{1}^{2}}}&-{\frac {L}{R_{1}}}-{\frac {2L}{R_{2}}}+{\frac {2L^{2}}{R_{1}R_{2}}}+1-{\frac {L}{R_{1}}}\end{pmatrix}}\\\end{aligned}}$ Da $g_{1}g_{2}=\textstyle (1-{\frac {L}{R_{1}}})(1-{\frac {L}{R_{2}}})=1-{\frac {L}{R_{1}}}-{\frac {L}{R_{2}}}+{\frac {L^{2}}{R_{1}R_{2}}}$ ist $\textstyle -{\frac {L}{R_{1}}}-{\frac {2L}{R_{2}}}+{\frac {2L^{2}}{R_{1}R_{2}}}+1-{\frac {L}{R_{1}}}=2g_{1}g_{2}-1$ . Außerdem ist $\textstyle L-{\frac {2L^{2}}{R_{2}}}+L=2L(1-{\frac {L}{R_{2}}})=2Lg_{2}$ und mit der Nebenrechnung ${\begin{aligned}\textstyle {\frac {2g_{1}}{L}}(g_{1}g_{2}-1)&=\textstyle {\frac {2}{L}}(1-{\frac {L}{R_{1}}})[(1-{\frac {L}{R_{1}}})(1-{\frac {L}{R_{2}}})-1]=({\frac {2}{L}}-{\frac {2}{R_{1}}})[-{\frac {L}{R_{1}}}-{\frac {L}{R_{2}}}+{\frac {L^{2}}{R_{1}R_{2}}}]=\\&=\textstyle -{\frac {2}{R_{1}}}-{\frac {2}{R_{2}}}+{\frac {2L}{R_{1}R_{2}}}+{\frac {2L}{R_{1}^{2}}}+{\frac {2L}{R_{1}R_{2}}}-{\frac {2L^{2}}{R_{1}^{2}R_{2}}}=\\&=\textstyle -{\frac {2}{R_{1}}}-{\frac {2}{R_{2}}}+{\frac {4L}{R_{1}R_{2}}}+{\frac {2L}{R_{1}^{2}}}-{\frac {2L^{2}}{R_{1}^{2}R_{2}}}\\\end{aligned}}$ Es gilt aber auch ${\begin{aligned}&\textstyle (-{\frac {1}{R_{1}}}-{\frac {2}{R_{2}}}+{\frac {2L}{R_{1}R_{2}}})(1-{\frac {L}{R_{1}}})-{\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {L}{R_{1}^{2}}}\\&=\textstyle -{\frac {1}{R_{1}}}-{\frac {2}{R_{2}}}+{\frac {2L}{R_{1}R_{2}}}+{\frac {L}{R_{1}^{2}}}+{\frac {2L}{R_{1}^{2}R_{2}}}-{\frac {2L^{2}}{R_{1}R_{2}}}-{\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {L}{R_{1}^{2}}}=\\&=\textstyle -{\frac {2}{R_{1}}}-{\frac {2}{R_{2}}}+{\frac {4L}{R_{1}R_{2}}}+{\frac {2L}{R_{1}^{2}}}-{\frac {2L^{2}}{R_{1}^{2}R_{2}}}\\\end{aligned}}$ Beide Ausdrücke sind identisch und entsprechen der C-Komponente der ABCD-Matrix, die nun lautet: ${\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2g_{1}g_{2}-1&2g_{2}L\\{\frac {2g_{1}}{L}}(g_{1}g_{2}-1)&2g_{1}g_{2}-1\end{pmatrix}}$

Außerdem ist

\det {\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}=\det {\begin{pmatrix}2g_{1}g_{2}-1&2g_{2}L\\{\frac {2g_{1}}{L}}(g_{1}g_{2}-1)&2g_{1}g_{2}-1\end{pmatrix}}=(2g_{1}g_{2}-1)^{2}-4g_{1}g_{2}(g_{1}g_{2}-1)=1

Soll der Gauß-Strahl den Fabry-Pérot-Resonator nicht verlassen, so muss bei $m$ -maligem Umlauf die Matrix

{\begin{pmatrix}A_{m}&B_{m}\\C_{m}&D_{m}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}^{m}

immer noch endlich bleiben. Die lineare Algebra zeigt, dass für einen stabilen Resonator ${\textstyle {\frac {1}{2}}}(A+D)\geq 1$ sein muss.

In diesem Fall ist dann mit $\cos \chi :={\textstyle {\frac {1}{2}}}(A+D)$ ^[18]

{\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}^{m}={\frac {1}{\sin \chi }}{\begin{pmatrix}A\sin m\chi -\sin(m-1)\chi &B\sin m\chi \\C\sin m\chi &D\sin m\chi -\sin(m-1)\chi \end{pmatrix}}

Berechnung der Potenz der ABCD-Matrix

\,

Die Potenz $M^{m}$ der $2\times 2$ -Matrix $M$ lässt sich effizient über Diagonalisierung berechnen. Die Eigenwerte $\lambda _{1},\lambda _{2}$ sind Lösungen des charakteristischen Polynoms:^[19]

\det(M-\lambda I)=0

Mit $I=({\begin{smallmatrix}1&0\\0&1\end{smallmatrix}})$ und $\det({\begin{smallmatrix}A&B\\C&D\end{smallmatrix}})=AD-BC=1$ lautet das Polynom

\det {\begin{pmatrix}A-\lambda &B\\C&D-\lambda \end{pmatrix}}=(A-\lambda )(D-\lambda )-BC=\lambda ^{2}-(A+D)\lambda +AD-BC=\lambda ^{2}-(A+D)\lambda +1=0

mit den Nullstellen $\lambda _{1},\lambda _{2}$ :

\lambda _{1,2}={\textstyle {\frac {1}{2}}}(A+D)\pm {\sqrt {{\textstyle {\frac {1}{4}}}(A+D)^{2}-1}}

Die Eigenwerte sind reell falls ${\textstyle {\frac {1}{2}}}(A+D)>1$ . Das Produkt der Eigenwerte $\lambda _{1}\cdot \lambda _{2}={\textstyle {\frac {1}{4}}}(A+D)^{2}-[{\textstyle {\frac {1}{4}}}(A+D)^{2}-1]=1$ und damit ist einer der Eigenwerte $\lambda _{1}>1$ , der andere $\lambda _{2}<1$ . Da $\lambda _{1}^{m}\rightarrow \infty$ geht für $m\rightarrow \infty$ , ist der Resonator instabil, denn der Lichtstrahl verlässt ihn.

Den stabilen Resonator beschreibt der zweite Fall ${\textstyle {\frac {1}{2}}}(A+D)<1$ . Mit $\cos \chi :={\textstyle {\frac {1}{2}}}(A+D)$ sind die Lösungen $\lambda _{1},\lambda _{2}$ komplex konjugiert

\lambda _{1,2}={\textstyle {\frac {1}{2}}}(A+D)\pm {\sqrt {{\textstyle {\frac {1}{4}}}(A+D)^{2}-1}}=\cos \chi \pm {\text{i}}\sin \chi ={\text{e}}^{\pm {\text{i}}\chi }

und liegen auf dem Einheitskreis in der komplexen Ebene^[20]. Die Anwendung der Matrix $M$ ist eine Drehung auf diesem Einheitskreis um den Winkel $\chi$ . Das entspricht einem stabilen Resonator.

Die Eigenvektoren ${\vec {v}}_{1},{\vec {v}}_{2}$ sind Lösungen des linearen Gleichungssystems:

(M-\lambda _{i}I){\vec {v}}_{i}=0

Für $\lambda _{1}={\text{e}}^{+{\text{i}}\chi }$

{\begin{pmatrix}A-{\text{e}}^{+{\text{i}}\chi }&B\\C&D-{\text{e}}^{+{\text{i}}\chi }\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}=0\quad \Rightarrow {\vec {v}}_{1}={\begin{pmatrix}B\\-A+{\text{e}}^{+{\text{i}}\chi }\end{pmatrix}}

Anlog für $\lambda _{2}={\text{e}}^{-{\text{i}}\chi }$ :

{\begin{pmatrix}A-{\text{e}}^{-{\text{i}}\chi }&B\\C&D-{\text{e}}^{-{\text{i}}\chi }\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}=0\quad \Rightarrow {\vec {v}}_{2}={\begin{pmatrix}B\\-A+{\text{e}}^{-{\text{i}}\chi }\end{pmatrix}}

Da die Eigenwerte unterschiedlich sind, ist die Matrix $M$ diagonalisierbar und kann dargestellt werden als:^[21]

M=PM'_{P}P^{-1}

mit:

P={\begin{pmatrix}{\vec {v}}_{1}&{\vec {v}}_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}B&B\\-A+{\text{e}}^{+{\text{i}}\chi }&-A+{\text{e}}^{-{\text{i}}\chi }\end{pmatrix}}

M'_{P}={\begin{pmatrix}\lambda _{1}&0\\0&\lambda _{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\text{e}}^{+{\text{i}}\chi }&0\\0&{\text{e}}^{-{\text{i}}\chi }\end{pmatrix}}

Da $\det P=-2{\text{i}}B\sin \chi \neq 0$ , lautet die inverse Matrix

P^{-1}={\frac {1}{-2{\text{i}}B\sin \chi }}{\begin{pmatrix}-A+{\text{e}}^{-{\text{i}}\chi }&-B\\A-{\text{e}}^{+{\text{i}}\chi }&B\end{pmatrix}}

denn es gilt^[22] $\textstyle P^{-1}=({\begin{smallmatrix}a&b\\c&d\end{smallmatrix}})^{-1}={\frac {1}{\det P}}({\begin{smallmatrix}d&-b\\-c&a\end{smallmatrix}})$

Dann ist:

M^{m}=P(M'_{P})^{m}P^{-1},

wobei

(M'_{P})^{m}={\begin{pmatrix}\lambda _{1}^{m}&0\\0&\lambda _{2}^{m}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\text{e}}^{+{\text{i}}m\chi }&0\\0&{\text{e}}^{-{\text{i}}m\chi }\end{pmatrix}}

Ausmulitiplizieren von nur drei $2\times 2$ -Matrizen statt $M$ Matrizen liefert:

M^{m}={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}^{m}=P(M'_{P})^{m}P^{-1}={\frac {1}{\sin \chi }}{\begin{pmatrix}A\sin m\chi -\sin(m-1)\chi &B\sin m\chi \\C\sin m\chi &D\sin m\chi -\sin(m-1)\chi \end{pmatrix}}

Ausmultiplizieren der $2\times 2$ -Matrizen $\,$
${\begin{aligned}M^{m}&=P(M'_{P})^{m}P^{-1}={\frac {1}{-2{\text{i}}B\sin \chi }}{\begin{pmatrix}B&B\\-A+{\text{e}}^{+{\text{i}}\chi }&-A+{\text{e}}^{-{\text{i}}\chi }\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\text{e}}^{+{\text{i}}m\chi }&0\\0&{\text{e}}^{-{\text{i}}m\chi }\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-A+{\text{e}}^{-{\text{i}}\chi }&-B\\A-{\text{e}}^{+{\text{i}}\chi }&B\end{pmatrix}}=\\&={\frac {1}{-2{\text{i}}B\sin \chi }}{\begin{pmatrix}B&B\\-A+{\text{e}}^{+{\text{i}}\chi }&-A+{\text{e}}^{-{\text{i}}\chi }\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-(A-{\text{e}}^{-{\text{i}}\chi }){\text{e}}^{+{\text{i}}m\chi }&-B{\text{e}}^{+{\text{i}}m\chi }\\(A-{\text{e}}^{+{\text{i}}\chi }){\text{e}}^{-{\text{i}}m\chi }&B{\text{e}}^{-{\text{i}}m\chi }\end{pmatrix}}=\\&={\begin{pmatrix}-B(A-{\text{e}}^{-{\text{i}}\chi }){\text{e}}^{+{\text{i}}m\chi }+B(A-{\text{e}}^{+{\text{i}}\chi }){\text{e}}^{-{\text{i}}m\chi }&-2{\text{i}}B^{2}\sin m\chi \\\|A-{\text{e}}^{+{\text{i}}\chi }\|^{2}{\text{e}}^{+{\text{i}}m\chi }-\|A-{\text{e}}^{-{\text{i}}\chi }\|^{2}{\text{e}}^{-{\text{i}}m\chi }&B(A-{\text{e}}^{+{\text{i}}\chi }){\text{e}}^{+{\text{i}}m\chi }-B(A-{\text{e}}^{-{\text{i}}\chi }){\text{e}}^{-{\text{i}}m\chi }\end{pmatrix}}\end{aligned}}$ Mit den Zwischenrechnungen ${\begin{aligned}\|A-{\text{e}}^{+{\text{i}}\chi }\|^{2}&=-BC=\|A-{\text{e}}^{-{\text{i}}\chi }\|^{2}\\\|A-{\text{e}}^{+{\text{i}}\chi }\|^{2}{\text{e}}^{+{\text{i}}m\chi }-\|A-{\text{e}}^{-{\text{i}}\chi }\|^{2}{\text{e}}^{-{\text{i}}m\chi }&=-2{\text{i}}BC\sin m\chi \\-B(A-{\text{e}}^{-{\text{i}}\chi }){\text{e}}^{+{\text{i}}m\chi }+B(A-{\text{e}}^{+{\text{i}}\chi }){\text{e}}^{-{\text{i}}m\chi }&=-2{\text{i}}AB\sin m\chi +2{\text{i}}B\sin(m-1)\chi \\B(A-{\text{e}}^{+{\text{i}}\chi }){\text{e}}^{+{\text{i}}m\chi }-B(A-{\text{e}}^{-{\text{i}}\chi }){\text{e}}^{-{\text{i}}m\chi }&=2{\text{i}}AB\sin m\chi -2{\text{i}}B\sin(m+1)\chi \\\end{aligned}}$ wird ${\begin{aligned}M^{n}&={\frac {1}{-2{\text{i}}B\sin \chi }}{\begin{pmatrix}-2{\text{i}}AB\sin m\chi +2{\text{i}}B\sin(m-1)\chi &-2{\text{i}}B^{2}\sin m\chi \\-2{\text{i}}BC\sin m\chi &2{\text{i}}AB\sin m\chi -2{\text{i}}B\sin(m+1)\chi \end{pmatrix}}=\\&={\frac {1}{\sin \chi }}{\begin{pmatrix}A\sin m\chi -\sin(m-1)\chi &B\sin m\chi \\C\sin m\chi &-A\sin m\chi +\sin(m+1)\chi \end{pmatrix}}\end{aligned}}$ Aus $\cos \chi :={\textstyle {\frac {1}{2}}}(A+D)$ folgt $-A=D-2\cos \chi$ und damit gilt mit den Produktgesetzen trigonometrischer Funktionen^[23] $2\cos \chi \sin m\chi =2{\textstyle {\frac {1}{2}}}[\sin(\chi +m\chi )-\sin(\chi -m\chi )=\sin(m+1)\chi +\sin(m-1)\chi$ und es folgt: $-A\sin m\chi +\sin(m+1)\chi =D\sin m\chi -\sin(m+1)\chi -\sin(m-1)\chi +\sin(m+1)\chi =D\sin m\chi -\sin(m-1)\chi$ und damit endgültig $M^{m}={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}^{m}={\frac {1}{\sin \chi }}{\begin{pmatrix}A\sin m\chi -\sin(m-1)\chi &B\sin m\chi \\C\sin m\chi &D\sin m\chi -\sin(m-1)\chi \end{pmatrix}}$

Hermite-Gauß-Moden

Verschiedene Intensitätsprofile für einen Resonator mit rechteckigen Spiegeln (TEM_xy)

In einem optischen Fabry-Pérot-Resonator mit gekrümmten Spiegeln und gleichem Krümmungsradius $R$ bilden sich stationäre Lösungen der paraxialen Wellengleichung aus. Diese transversalen Eigenmoden lassen sich in kartesischen Koordinaten als Hermite-Gauß-Moden oder in Zylinderkoordinaten als Laguerre-Gauß-Moden darstellen. Sie sind durch die Gouy-Phasenverschiebung charakterisiert.^[24]

Die transversale Feldverteilung der Hermite-Gauß-Mode $HG_{mn}(x,y,z)$ ist gegeben durch^[24]

{\begin{aligned}HG_{mn}(x,y,z)=&{\frac {C_{mn}}{w(z)}}H_{m}\!\left({\frac {{\sqrt {2}}x}{w(z)}}\right)H_{n}\!\left({\frac {{\sqrt {2}}y}{w(z)}}\right)\exp \left(-{\frac {x^{2}+y^{2}}{w(z)^{2}}}\right)\\&\cdot \exp \left[{\text{i}}k{\frac {x^{2}+y^{2}}{2R(z)}}\right]\exp\{{\text{i}}[kz-(m+n+1)\zeta (z)]\},\\\end{aligned}}

wobei:

$H_{m}(\xi )=(-1)^{m}{\text{e}}^{\xi ^{2}}{\text{d}}^{m}{\text{e}}^{-\xi ^{2}}{\text{d}}\xi ^{m}$ : Hermite-Polynom der $m$ -ten Ordnung ( $m\geq 0$ ) ist,
$w(z)=\textstyle w_{0}{\sqrt {1+({\frac {z}{z_{R}}})^{2}}}$ : Strahltaille in Abhängigkeit von $z$ ,
$w_{0}$ der minimale Strahlradius (Beam Waist) im Fokus,
$z_{R}=\textstyle {\frac {\pi w_{0}^{2}}{\lambda }}$ die Rayleigh-Länge,
$R(z)=\textstyle z\,\left(1+{\left({\frac {z_{R}}{z}}\right)}^{2}\right)$ : Krümmungsradius der Wellenfront,
$\zeta (z)=\arctan(z/z_{R})$ : Gouy-Phase,
$\lambda$ die Wellenlänge des Lichts und $k=2\pi /\lambda$ die Wellenzahl,
$C_{mn}$ : Normierungskonstante.

Der Index $m,n=0,1,2,\dots$ beschreibt die Anzahl der Intensitätsmaxima entlang $x$ - und $y$ -Richtung. $HG_{00}$ ist die Grundmode mit gaußförmigem Intensitätsprofil.

Laguerre-Gauß-Moden

TEM-Profile bei zylindrischen Resonatoren

In Zylinderkoordinaten $(r,\phi ,z)$ ergibt sich die transversale Feldverteilung der Laguerre-Gauß-Mode $LG_{p}^{\ell }(r,\phi ,z)$ zu^[24]

{\begin{aligned}LG_{p}^{\ell }(r,\phi ,z)=&{\frac {C_{p\ell }}{w(z)}}\left({\frac {{\sqrt {2}}r}{w(z)}}\right)^{|\ell |}L_{p}^{|\ell |}\!\left({\frac {2r^{2}}{w(z)^{2}}}\right)\exp \left(-{\frac {r^{2}}{w(z)^{2}}}\right)\\&\cdot \exp \left[{\text{i}}k{\frac {r^{2}}{2R(z)}}\right]\{\cos(\ell \phi ){\text{ oder }}\sin(\ell \phi )\}\exp \left[{\text{i}}(kz-(2p+|\ell |+1)\zeta (z)\right],\\\end{aligned}}

mit:

$L_{p}^{|\ell |}$ : assoziierte Laguerre-Polynome,
$p=0,1,2,\dots$ : Radialindex (Anzahl der Intensitätsringe),
$w(z)=\textstyle w_{0}{\sqrt {1+({\frac {z}{z_{R}}})^{2}}}$ : Strahltaille in Abhängigkeit von $z$ ,
$w_{0}$ der minimale Strahlradius (Beam Waist) im Fokus,
$z_{R}=\textstyle {\frac {\pi w_{0}^{2}}{\lambda }}$ die Rayleigh-Länge,
$R(z)=\textstyle z\,\left(1+{\left({\frac {z_{R}}{z}}\right)}^{2}\right)$ : Krümmungsradius der Wellenfront,
$\zeta (z)=\arctan(z/z_{R})$ : Gouy-Phase,
$\lambda$ die Wellenlänge des Lichts und $k=2\pi /\lambda$ die Wellenzahl sind,
$\ell =0,\pm 1,\pm 2,\dots$ : Azimutalindex (Anzahl der $2\pi$ -Phasendrehungen um die Achse),
$C_{p\ell }$ : Normierungskonstante.

Für $|\ell |>0$ ergibt sich im Zentrum ( $r=0$ ) eine Intensitätsnullstelle, sodass ein charakteristisches ringförmiges Profil entsteht. Diese Moden tragen einen Bahndrehimpuls von $\ell \hbar$ pro Photon.

$LG_{0}^{1}$ hat ein torusförmiges Profil mit einem ringförmigen Maximum und einer Phasensingularität im Zentrum.

Ince-Gauß-Moden

Ince-Gauß-Moden (IG-Moden) bilden eine verallgemeinerte Modenfamilie in der paraxialen Optik. Sie treten in optischen Resonatoren oder Lichtfeldern mit elliptischer Symmetrie auf und erweitern die bekannten Hermite-Gauß- und Laguerre-Gauß-Moden zu einer einheitlichen Beschreibung^[25].

Die transversale Feldverteilung der geraden Ince-Gauß-Mode ergibt sich in elliptischen Koordinaten $(\xi ,\eta )$ , die über

(x,y)=\left({\sqrt {\varepsilon /2}}\,w(z)\cosh \xi \cos \eta ,{\sqrt {\varepsilon /2}}\,w(z)\sinh \xi \sin \eta \right)

definiert sind zu:^[26]

{\begin{aligned}IG_{p,m}^{e}(\xi ,\eta ;\varepsilon )=&D{\frac {w_{0}}{w\left(z\right)}}\mathrm {C} _{p}^{m}\left({\text{i}}\xi ,\varepsilon \right)\mathrm {C} _{p}^{m}\left(\eta ,\varepsilon \right)\exp \left(-{\frac {r^{2}}{w^{2}(z)}}\right)\\&\cdot \exp \left[{\text{i}}k{\frac {r^{2}}{2R(z)}}\right]\exp \left[{\text{i}}(kz-(p+1)\zeta (z)\right],\\\end{aligned}}

mit:

$m,p$ : Modenindizes ( $1\leq m\leq p$ ),
$e$ : Gerade Moden,
$\varepsilon$ : Elliptizitätsparameter,
$\mathrm {C} _{p}^{m}$ : Lösung der Ince-Gleichung (Ince-Polynome),
$w(z)=\textstyle w_{0}{\sqrt {1+({\frac {z}{z_{R}}})^{2}}}$ : Strahltaille in Abhängigkeit von $z$ ,
$w_{0}$ der minimale Strahlradius (Beam Waist) im Fokus,
$z_{R}=\textstyle {\frac {\pi w_{0}^{2}}{\lambda }}$ die Rayleigh-Länge,
$R(z)=\textstyle z\,\left(1+{\left({\frac {z_{R}}{z}}\right)}^{2}\right)$ : Krümmungsradius der Wellenfront,
$\zeta (z)=\arctan(z/z_{R})$ : Gouy-Phase,
$\lambda$ die Wellenlänge des Lichts und $k=2\pi /\lambda$ die Wellenzahl sind,
$D$ : Normierungskonstante.

Ungerade Moden $IG_{p,m}^{o}(\xi ,\eta ;\varepsilon )$ löst das Ince-Polynom $\mathrm {S} _{p}^{m}\left(\eta ,\varepsilon \right)$ statt $\mathrm {C} _{p}^{m}\left(\eta ,\varepsilon \right)$ mit $0\leq m\leq p$ .

Die Ince-Gauss-Moden enthalten als Spezialfälle die Laguerre-Gauss-Moden für zylindrische Symmetrie ( $\varepsilon \to 0$ ) und die Hermite-Gauss-Moden für kartesische Symmetrie ( $\varepsilon \to \infty$ ). Die Ince-Gauss-Moden bilden ein vollständiges, orthonormales Basissystem für Moden mit elliptisch strukturierten Intensitätsprofilen. Deren Symmetrie lässt sich über den Elliptizitätsparameter $\varepsilon$ variabel steuern. Zudem können sie komplexe Polarisations- sowie Drehimpulsstrukturen tragen.

Ince-Gauss-Moden finden breite Anwendung in optischen Systemen, beispielsweise in elliptisch geformten Fallen zur optischen Manipulation, im modenselektiven Laserdesign, in der Freiraumkommunikation, in der Quantenoptik mit strukturiertem Licht sowie bei der adaptiven Strahlenformung bei elliptischen Aberrationen.

Gouy-Phasenverschiebung und Resonanzbedingungen

Hermite-Gauß- bzw. Laguerre-Gauß-Moden sind keine ebenen Wellen mehr. Aufgrund der Gouy-Phasenverschiebung und ihrer Abhängigkeit von der jeweiligen Modenzahl haben die verschiedenen Transversalmoden in einem stabilen Gauß-Resonator unterschiedliche Resonanzfrequenzen und Frequenzverschiebungen. Die gesamte Phasenverschiebung von einem Ende des Hohlraums zum anderen, einschließlich des $k(z_{2}-z_{1})\equiv kL$ −Terms und der Gouy-Phasenverschiebungsterme, lautet:

Hermite-Gauß-Moden der Ordnung $nm$ :^[27]

\phi (z_{2}-z_{1})=kL-(m+n+1)[\zeta (z_{2})-\zeta (z_{1})]=kL-(m+n+1)[\arctan(z_{2}/z_{R})-\arctan(z_{1}/z_{R})]=q\pi \quad q\in \mathbb {Z}

Laguerre-Gauß-Moden der Ordnung $p\ell$ :^[28]

\phi (z_{2}-z_{1})=kL-(2p+|\ell |+1)[\zeta (z_{2})-\zeta (z_{1})]=kL-(2p+|\ell |+1)[\arctan(z_{2}/z_{R})-\arctan(z_{1}/z_{R})]=q\pi \quad q\in \mathbb {Z}

Mit den Parametern $z_{1}$ , $z_{2}$ und $z_{R}$ unseres oben dargestellten Gauss-Strahls vereinfacht sich die gesamte Gouy-Phasenverschiebung entlang der Resonatorlänge $L$ mit den Resonatorparametern $g_{i}=\textstyle 1-{\frac {L}{R_{i}}}$ und den Krümmungsradien $R_{i}$ der Spiegel auf:^[27]

\zeta (z_{2})-\zeta (z_{1})=\arctan(z_{2}/z_{R})-\arctan(z_{1}/z_{R})=\arccos \left(\pm {\sqrt {g_{1}g_{2}}}\right)

Dabei gilt das Plusvorzeichen für den oberen rechten Quadranten des Stabilitätsdiagramms ( $g_{1},g_{2}>0$ ) und das Minusvorzeichen für den unteren linken Quadranten. Diese Gouy-Phasenverschiebung führt im Resonator zu einer Modendispersion. Die Resonanzfrequenzen im sphärischen Fabry-Pérot-Resonator sind gegeben durch:^[29]

\nu _{qmn}={\frac {c}{2L}}\left[q+{\frac {(m+n+1)}{\pi }}\arccos \left(\pm {\sqrt {g_{1}g_{2}}}\right)\right]

für Hermite-Gauß-Moden und

\nu _{qp\ell }={\frac {c}{2L}}\left[q+{\frac {(2p+|\ell |+1)}{\pi }}\arccos \left(\pm {\sqrt {g_{1}g_{2}}}\right)\right]

für Laguerre-Gauß-Moden.

Interne Anordnungen optischer Resonatoren, mit Spiegelradien

Herleitung der Modendispersion $\,$
Die Berechnung der Gouy-Phasenverschiebung ist der nächste Schritt: $\phi (z_{2}-z_{1})=kL-(m+n+1)[\zeta (z_{2})-\zeta (z_{1})]=kL-(m+n+1)[\arctan(z_{2}/z_{R})-\arctan(z_{1}/z_{R})]=m\pi$ Mit $z_{1}=-\|z_{1}\|<0$ folgt für die Differenz der inversen trigonometrischen Funktionen^[30] $\arctan(z_{2}/z_{R})-\arctan(z_{1}/z_{R})=\arctan(z_{2}/z_{R})+\arctan(\|z_{1}\|/z_{R})=\arctan {\frac {{\frac {z_{2}}{z_{R}}}+{\frac {\|z_{1}\|}{z_{R}}}}{1-{\frac {\|z_{1}\|z_{2}}{z_{R}^{2}}}}}$ Der Quotient im Argument von $\arctan$ muss berechnet werden. Mit den folgenden Zwischenergebnissen: ${\begin{aligned}{\frac {\|z_{1}\|}{z_{R}}}&={\frac {g_{2}(1-g_{1})}{\sqrt {g_{1}g_{2}(1-g_{1}g_{2})}}}\\{\frac {z_{2}}{z_{R}}}&={\frac {g_{1}(1-g_{2})}{\sqrt {g_{1}g_{2}(1-g_{1}g_{2})}}}\\{\frac {\|z_{1}\|}{z_{R}}}+{\frac {z_{2}}{z_{R}}}&={\frac {g_{2}(1-g_{1})+g_{1}(1-g_{2})}{\sqrt {g_{1}g_{2}(1-g_{1}g_{2})}}}={\frac {g_{1}+g_{2}-2g_{1}g_{2}}{\sqrt {g_{1}g_{2}(1-g_{1}g_{2})}}}\\1-{\frac {\|z_{1}\|z_{2}}{z_{R}^{2}}}&=1-{\frac {(1-g_{1})(1-g_{2})}{1-g_{1}g_{2}}}={\frac {1-g_{1}g_{2}-1+g_{1}+g_{2}-g_{1}g_{2}}{1-g_{1}g_{2}}}={\frac {g_{1}+g_{2}-2g_{1}g_{2}}{1-g_{1}g_{2}}}\\\end{aligned}}$ ergibt sich ${\frac {{\frac {z_{2}}{z_{R}}}+{\frac {\|z_{1}\|}{z_{R}}}}{1-{\frac {\|z_{1}\|z_{2}}{z_{R}^{2}}}}}={\frac {g_{1}+g_{2}-2g_{1}g_{2}}{\sqrt {g_{1}g_{2}(1-g_{1}g_{2})}}}{\frac {1-g_{1}g_{2}}{g_{1}+g_{2}-2g_{1}g_{2}}}={\sqrt {\frac {1-g_{1}g_{2}}{g_{1}g_{2}}}}$ Die Gouy-Phasenverschiebung vereinfacht sich deutlich zu: $\varphi =\zeta (z_{2})-\zeta (z_{1})=\arctan(z_{2}/z_{R})-\arctan(z_{1}/z_{R})=\arctan {\frac {{\frac {z_{2}}{z_{R}}}+{\frac {\|z_{1}\|}{z_{R}}}}{1-{\frac {\|z_{1}\|z_{2}}{z_{R}^{2}}}}}=\arctan {\sqrt {\frac {1-g_{1}g_{2}}{g_{1}g_{2}}}}$ Eine weitere Vereinfachung lässt sich durch die Beziehung zwischen den trigonometrischen Funktionen^[31] $\tan$ und $\cos$ erreichen: $\cos ^{2}\varphi ={\frac {1}{1+\tan ^{2}\varphi }}={\frac {1}{1+{\frac {1-g_{1}g_{2}}{g_{1}g_{2}}}}}=g_{1}g_{2}$ Das zeigt, dass $\arctan(z_{2}/z_{R})-\arctan(z_{1}/z_{R})=\arccos(\pm {\sqrt {g_{1}g_{2}}})$

Wenn das einfallende Licht exakt an die Grundmode $\nu _{q00}$ angepasst ist, d. h., wenn die Wellenfronten des Gauß-Strahls mit den Spiegelflächen übereinstimmen und der Strahl präzise entlang der optischen Achse ausgerichtet ist, entstehen keine transversalen Moden höherer Ordnung $(m,n>0)$ , bzw. $(p\ell >0)$ . Das Transmissionsspektrum des Resonators besteht dann ausschließlich aus Moden, die sich lediglich durch den Longitudinalmodusparameter $q$ unterscheiden mit einem Frequenzabstand zweier benachbarten Moden als freien Spektralbereich $\Delta \nu _{\text{FSB}}$ :

\nu _{(q+1)00}-\nu _{q00}={\frac {c}{2L}}=\Delta \nu _{\text{FSB}}

Die Frequenzlage höherer transversaler Moden hängt dagegen deutlich vom Spiegelabstand $L$ und den Krümmungsradien $R_{1}$ und $R_{2}$ ab.

Im Spezialfall gleicher Spiegelradien $R_{1}=R_{2}=R$ und eines Spiegelabstands $L=R$ spricht man von einem konfokalen Resonator. In dieser Konfiguration schneiden sich alle Strahlen nach zwei Reflexionen erneut, und das Modenspektrum vereinfacht sich erheblich. Die Resonatorparameter verschwinden $g_{1}=g_{2}=0$ und die Gouy-Phasenverschiebung beträgt $\arccos(\pm {\sqrt {g_{1}g_{2}}})=\pi /2$ . Die Resonanzfrequenzen im konfokalen Fabry-Pérot-Resonator sind für Hermite-Gauß-Moden gegeben durch:^[32]

\nu _{qmn}^{\text{konfokal}}={\frac {c}{2L}}\left[q+{\textstyle {\frac {1}{2}}}(m+n+1)\right]

Aus der Gleichung ergeben sich zwei zentrale Konsequenzen: Erstens zeigt der konfokale Resonator eine Modenentartung, das heißt, mehrere transversale Moden unterschiedlicher Ordnung besitzen dieselbe Resonanzfrequenz wie die Grundmode

\nu _{q00}=\nu _{(q-1)02}=\nu _{(q-1)11}=\nu _{(q-1)20}=\nu _{(q-2)40}=\nu _{(q-2)31}=\nu _{(q-2)22}=\ldots

Zweitens weist das Modenspektrum eine regelmäßige, äquidistante Struktur auf.: Die Frequenzdifferenz zwischen benachbarten Resonanzen beträgt

\Delta \nu _{\text{FSB}}^{\text{konfokal}}=\nu _{q(m+1)n}^{\text{konfokal}}-\nu _{qmn}^{\text{konfokal}}={\frac {c}{4L}}

Ohne gezielte Anpassung der einfallenden Strahlform an die Grundmode ist es daher sehr wahrscheinlich, dass auch höhere Moden angeregt werden, die dann ebenfalls zur Transmission beitragen.

Beim konzentrischen Resonator mit $L=2R$ werden die Resonatorparameter $g_{1}=g_{2}=1$ und die Gouy-Phasenverschiebung wird $\arccos(\pm {\sqrt {g_{1}g_{2}}})=\arccos(\pm 1)=0$ . Die Resonanzfrequenzen im konzentrischen Fabry-Pérot-Resonator lauten für Hermite-Gauß-Moden:^[33]

\Delta \nu _{\text{FSB}}^{\text{konzentrisch}}={\frac {c}{2L}}\cdot (q+1)-{\frac {c}{2L}}\cdot q={\frac {c}{2L}}

Durchmesser der Interferenzringe

Der Wegunterschied $\Delta$ und die Phasendifferenz $\Delta \phi$ sind nach der Skizze gegeben durch

\Delta =2\Delta _{1}-\Delta _{2}={\frac {2L}{\cos(\alpha )}}-{\frac {2L\sin ^{2}(\alpha )}{\cos(\alpha )}}

,

\Delta =2L\,\cos(\alpha )

mit der Phasendifferenz

\Delta \phi ={\frac {2\pi }{\lambda }}\,\Delta

.

Mit der Interferenzordnung $m$ folgt

{\frac {2\pi }{\lambda _{m}}}\,\Delta ={\frac {2\pi \nu _{m}}{c}}\,\Delta =2\pi m

und aufgelöst nach

m={\frac {\nu _{m}}{c}}\Delta

.

Daraus folgen Resonanzwellenlänge und Resonanzfrequenz der Ordnung $m$ :

\lambda _{m}={\frac {2L\cos(\alpha )}{m}}

und

\nu _{m}=c\,{\frac {m}{2L\cos(\alpha )}}

.

Zu jedem Interferenzring gehört also ein Winkel $\alpha$ , wie sich dieser für verschiedene Interferenzordnungen ändert, wird später klarer. Zunächst gilt es noch den freien Spektralbereich als Funktion des Einfallswinkels $\alpha$ auszudrücken. Dieser ergibt sich aus:

\Delta \nu _{FSB}=\nu _{m+1}-\nu _{m}

und führt zu:

\Delta \nu _{FSB}={\frac {c}{2L\cos(\alpha )}}

Um den Abstand der Interferenzringe besser zu veranschaulichen, genügt eine Taylor-Entwicklung von:

\cos(\alpha )\approx 1-{\frac {\alpha ^{2}}{2}}

Mit einer Kleinwinkelnäherung ergibt sich für den Ringdurchmesser $D$ :

D=2f\cdot \tan(\alpha )\approx 2f\cdot \alpha

Setzt man nun $\alpha$ in die Formel für $\Delta \nu _{FSB}$ ein erhält man:

\Delta \nu _{FSB}\approx {\frac {c}{2L{\Bigg (}1-{\frac {1}{2}}{\bigg (}{\frac {D}{2f}}{\bigg )}^{2}{\Bigg )}}}

Gleichzeitig ergibt sich für die Resonanzwellenlänge und Resonanzfrequenz:

\lambda _{m}\approx {\frac {2L{\Bigg (}1-{\frac {1}{2}}{\bigg (}{\frac {D_{m}}{2f}}{\bigg )}^{2}{\Bigg )}}{m}}

und

\nu _{m}\approx c\cdot {\frac {m}{2L{\Bigg (}1-{\frac {1}{2}}{\bigg (}{\frac {D_{m}}{2f}}{\bigg )}^{2}{\Bigg )}}}

Löst man nach $D_{m}$ auf, ergibt sich für den Durchmesser der Interferenzringe folgender wurzelförmiger Zusammenhang:

D_{m}\approx 2f{\sqrt {2-{\frac {\lambda _{m}}{L}}m}}

Dabei ist die Interferenzordnung $m$ gegeben durch:

m=m_{0}-e-(p-1)

m_{0}={\frac {2L}{\lambda _{0}}}

$m_{0}$ ist die Modenzahl im Resonator für $\alpha =0$ und ist nicht zwangsläufig eine natürliche Zahl, weswegen ein Korrekturfaktor $e\in [0,1]$ eingeführt wird. Die Zahl $p$ ist die Nummer des Interferenzringes und wird von innen nach außen gezählt. Nun ist es so, dass $\lambda _{m}$ für moderate Winkel $\alpha$ ungefähr der Resonanzwellenlänge für $\alpha =0$ entspricht ( $\lambda _{m}\approx \lambda _{0}$ ), woraus für den Durchmesser des p-ten Ringes folgendes gilt:

D_{p}\approx 2f{\sqrt {{\frac {\lambda _{0}}{L}}(p+e-1)}}

Für die Resonanzwellenlänge und die Resonanzfrequenz des p-ten Ringes gilt:

\lambda _{p}\approx {\frac {L}{p+e-1}}{\bigg (}{\frac {D_{p}}{2f}}{\bigg )}^{2}

\nu _{p}\approx c\cdot {\frac {p+e-1}{L}}{\bigg (}{\frac {2f}{D_{p}}}{\bigg )}^{2}

Somit lässt sich zu jedem Ringdurchmesser eine Wellenlänge $\lambda _{p}$ und eine Frequenz $\nu _{p}$ bestimmen, bzw. die Durchmesser $D_{p}$ der entstehenden Ringe in guter Näherung berechnen.

Anwendungen des Fabry-Pérot-Interferometers

Präzise abstimmbares optisches Filter

Das Fabry-Pérot-Etalon dient als hochpräzises, abstimmbares optisches Filter oder Spektralanalysator.^[34] Damit keine Mehrdeutigkeiten auftreten, muss die spektrale Breite des einfallenden Lichts kleiner sein als der freie Spektralbereich $\Delta \nu _{\text{FSB}}={\frac {c}{2nd}}$ . Eine Änderung des Spiegelabstands $d$ verschiebt die Resonanzfrequenzen

\nu _{m}=m{\frac {c}{2d}}=m\Delta \nu _{\text{FSB}},

wobei $m$ eine ganzzahlige Ordnungszahl ist. Eine kleine Variation $\Delta d$ führt zu einer Frequenzverschiebung

\Delta \nu _{m}=-{\frac {mc}{2d^{2}}}\Delta d=-\nu _{m}{\frac {\Delta d}{d}}=-m\Delta \nu _{\text{FSB}}{\frac {\Delta d}{d}},

während der freie Spektralbereich nur um

\delta \Delta \nu _{\text{FSB}}=-\Delta \nu _{\text{FSB}}{\frac {\Delta d}{d}}

leicht verändert wird.

Beispiel: Für $d={\text{1,5 cm}}$ und Brechungsindex $n=1$ ergibt sich $\Delta \nu _{\text{FSB}}={\text{10 GHz}}$ . Bei einer optischen Frequenz von $\nu _{m}=10^{14}{\text{ Hz}}$ ( $m\approx 10^{4}$ ) bewirkt eine relative Änderung $\Delta d/d=10^{-4}$ (d. h. $\Delta d={\text{1,5}}\mu {\text{m}}$ ) eine Verschiebung der Resonanzfrequenz um

\Delta \nu _{m}=10\,\mathrm {GHz} .

Währenddessen ändert sich der freie Spektralbereich nur geringfügig um ${\text{1 MHz}}$ auf ${\text{9,999 GHz}}$ .

Kalibrierung von Frequenzskalen

Aufgrund seiner periodischen Resonanzstruktur mit einem freien Spektralbereich

\Delta \nu _{\text{FSB}}={\frac {c}{2nL}},

eignet sich das Fabry-Pérot-Interferometer hervorragend zur Eichung von Frequenzskalen. Dies ist insbesondere dann nützlich, wenn eine Lichtquelle über eine unbekannte oder nichtlineare Frequenzabstimmung verfügt. Dabei dienen die bekannten Resonanzabstände als optisches Lineal.

Modenselektion mit einem Fabry-Pérot-Etalon

Zur Modenselektion kann ein dünnes Fabry-Pérot-Etalon mit einem geringen Spiegelabstand $d_{1}$ eingesetzt werden, der deutlich kürzer ist als die Länge des Laserresonators. Sein freier Spektralbereich $c/2d_{1}$ übersteigt die Verstärkerbandbreite $B$ , sodass nur eine einzelne Etalon-Mode innerhalb dieser Bandbreite liegt. Das Etalon wird so justiert, dass diese Mode mit der Longitudinalmode des Resonators mit maximalem Gewinn (oder einer gezielt gewählten Mode) übereinstimmt. Die Feineinstellung erfolgt durch minimale Rotationen, Temperaturänderungen oder eine präzise Anpassung von $d_{1}$ mittels piezoelektrischer Elemente. Um unerwünschte Reflexionen zu unterdrücken, wird das Etalon leicht zur Resonatorachse verkippt und in der Regel temperaturstabilisiert, um die Frequenzstabilität zu optimieren.^[35]

H-alpha-Filter zur monochromatischen Abbildung der Chromosphäre der Sonne

Die Photosphäre emittiert ein kontinuierliches Spektrum, das an der H $_{\alpha }$ -Linie

\lambda _{{\text{H}}_{\alpha }}=656{,}28\,\mathrm {nm}

durch Absorption in der Chromosphäre abgeschwächt wird. Da die absorbierten Photonen isotrop remittiert werden, gelangt nur ein geringer Bruchteil davon in Richtung des Beobachters, weshalb die Photosphäre in dieser Linie dunkel erscheint (Fraunhofer-C-Linie). Die Chromosphäre selbst emittiert jedoch H $_{\alpha }$ -Strahlung, die als Aufhellung im Linienzentrum sichtbar wird.^[36]

Ein H $_{\alpha }$ -Filter isoliert einen extrem schmalen Spektralbereich ( $\Delta \lambda _{1/2}\approx {\text{0,3 - 1,0}}$ Å) um das Linienzentrum und unterdrückt das kontinuierliche Photosphärenlicht. Das Kernstück des Filters ist ein Fabry-Pérot-Etalon, das aus zwei hochreflektierenden, planparallelen Spiegeln im Abstand $L$ besteht. Für konstruktive Interferenz gilt

2

\,n\,L\cos \alpha =m\lambda _{{\text{H}}_{\alpha }},

Dabei sind $n$ der Brechungsindex, $\alpha$ der Einfallswinkel und $m$ die Interferenzordnung. Bei senkrechtem Einfall $(\alpha =0)$ liegen die Transmissionsmaxima periodisch mit dem freien Spektralbereich (FSB)

\Delta \lambda _{\text{FSB}}={\frac {\lambda _{{\text{H}}_{\alpha }}^{2}}{2nL}}

auseinander. Ein zusätzlicher Blockierfilter unterdrückt höhere Ordnungen. Typisch wird $\Delta \lambda _{\text{FSB}}\approx 1{,}0\,\mathrm {nm}$ gewählt^[37], was bei $n\approx 1{,}5$ eine Etalondicke von

L={\frac {\lambda _{{\text{H}}_{\alpha }}^{2}}{2n\Delta \lambda _{\mathrm {FSB} }}}={\frac {(656{,}28~\mathrm {nm} )^{2}}{2\cdot {\text{1,5}}\cdot 1{,}0~\mathrm {nm} }}\approx 144\,\mu \mathrm {m}

ergibt. Die Halbwertsbreite der Maxima wird durch die Finesse bestimmt:

{\mathcal {F}}={\frac {\Delta \lambda _{\text{FSB}}}{\Delta \lambda _{1/2}}}\sim 14

bei $\Delta \lambda _{1/2}\approx 0{,}7$ Å. Der Reflexionsgrad der Spiegel ergibt sich zu

{\mathcal {F}}={\frac {\pi {\sqrt {R}}}{1-R}}\quad \Rightarrow \quad R=\textstyle (-{\frac {\pi }{2{\mathcal {F}}}}+{\sqrt {({\frac {\pi }{2{\mathcal {F}}}})^{2}+1}})^{2}\approx 0{,}8.

Die optische Ebenheit und Parallelität der Spiegel ist entscheidend. Abweichungen verringern die effektive Finesse und erhöhen das Hintergrundrauschen, wodurch schwache Protuberanzen und kontrastarme Details verloren gehen.^[38]

Für die exakte Abstimmung auf die H $_{\alpha }$ -Linie wird der optische Weg $nL\cos \alpha$ feinjustiert. Dies erfolgt entweder durch Temperaturregelung des Etalons^[39] (Änderung von $n$ ) oder Piezo-Elemente zur Verkippung des Etalons (Änderung von $\alpha$ ).

Fabry-Pérot-Interferometer als Laserresonator

Fabry-Pérot-Interferometer finden beim Aufbau vieler Lasertypen breite Anwendung. In einem Gaslaser etwa werden die Atome angeregt, die dann spontan Strahlung über einen breiten Frequenzbereich und in alle Raumrichtungen emittieren. Wird das Gas jedoch zwischen den Spiegeln eines Fabry-Pérot-Resonators platziert, werden nur bestimmte, stark gebündelte und schmalbandige Moden unterstützt. Diese Resonanzmoden werden im Laser-Resonator durch stimulierte Emission selektiv verstärkt, wodurch der Laserprozess einsetzt.^[40]

Das Fabry-Pérot-Interferometer im Diodenlaser – Diodenlaser besitzen von Natur aus eine Fabry-Pérot-Resonatorstruktur: Die beiden planparallelen Endflächen des Halbleiterchips wirken dabei wie teildurchlässige Spiegel. Bei GaAs beträgt der Brechungsindex $n={\text{3,6}}$ . Damit tritt an der Luft/Halbleiter-Grenzfläche bereits eine Reflektivität von $R=(n-1)^{2}/(n+1)^{2}=32\%$ auf und die Resonatorendflächen müssen nicht verspiegelt werden. Das emittierte Licht wird im aktiven Bereich hin und her reflektiert. Diese Rückkopplung ist entscheidend für die Verstärkung durch stimulierte Emission und die Ausbildung von Laserstrahlung.^[41]

Nur diejenigen Wellenlängen $\lambda$ werden innerhalb des Resonators verstärkt, die die Resonanzbedingung $\textstyle m{\frac {\lambda }{2n}}=L$ erfüllen, wobei $m$ eine ganze Zahl (longitudinaler Modenindex), $n$ der Brechungsindex des Halbleitermaterials und $L$ die Länge des Resonators ist. Die zulässigen Frequenzen liegen äquidistant mit dem Modenabstand (freier Spektralbereich) $\textstyle \Delta \nu _{\mathrm {FSB} }={\frac {c}{2nL}}$ .

Longitudinale Moden – Die Verstärkungsbandbreite des Halbleitermaterials ( $\Delta \nu _{\mathrm {gain} }$ ) ist typischerweise viel größer als der Modenabstand $\Delta \nu _{\mathrm {FSB} }$ . Daher können mehrere Moden im Verstärkungsbereich liegen und werden verstärkt. Ohne zusätzliche Maßnahmen arbeitet der Diodenlaser daher oft multimodal.

Beispiel – Ein GaAs-Diodenlaser mit einer Resonatorlänge von $L=500\,\mu \mathrm {m}$ und einem Brechungsindex $n={\text{3,6}}$ hat einen freien Spektralbereich von $\Delta \nu _{\mathrm {FSB} }=\textstyle {\frac {c}{2nL}}\approx 83\,\mathrm {GHz}$ . Die Verstärkungsbandbreite beträgt typischerweise $\Delta \nu _{\mathrm {gain} }\approx 1{-}2\,\mathrm {THz}$ , sodass ca. $10-20$ longitudinale Moden gleichzeitig verstärkt werden können.

Spektrale Einengung – Um eine einmodige Emission zu erreichen, werden oft zusätzliche Filtermechanismen eingesetzt, beispielsweise durch externe Gitter, Fabry-Pérot-Etalons oder durch integrierte Strukturen wie sie in Distributed-Feedback-(DFB)- und Distributed-Bragg-Reflector-(DBR)-Lasern verwendet werden. Diese verringern die Anzahl der möglichen Moden und ermöglichen so eine präzise spektrale Kontrolle.^[42]

Modenreiniger für Laserstrahlen mit Mehrmodenstruktur

Viele Laser emittieren Strahlen mit komplexem Intensitätsprofil, da mehrere transversale Moden des Laserresonators angeregt sind. Für hochpräzise Anwendungen wird jedoch ein nahezu idealer Gauß-Strahl benötigt. Ein Modenreiniger basiert auf einem Fabry-Pérot-Resonator hoher Finesse, dessen Länge und Spiegelform so gewählt werden, dass ausschließlich die fundamentale TEM $_{00}$ -Mode resonant ist und transmittiert wird. Höhere transversale Moden erfüllen die Resonanzbedingung nicht und werden am Eingangsspiegel reflektiert. Dadurch weist der austretende Strahl eine stark erhöhte Modenreinheit auf.^[40]

Laserstabilisierung nach Pound-Drever-Hall

Die Frequenz eines Lasers lässt sich mit höchster Präzision auf zwei Arten stabilisieren:

durch Kopplung an einen atomaren oder molekularen Referenzübergang,
durch Lock-in an die Resonanzfrequenz eines hochstabilen Fabry-Pérot-Resonators.

Die zweite Methode wird durch die Pound-Drever-Hall-(PDH)-Technik realisiert, die eine empfindliche Messung kleinster Frequenzabweichungen und deren aktive Korrektur ermöglicht.^[43]

Prinzip: Das Laserlicht mit Kreisfrequenz $\omega$ wird zunächst durch einen elektro-optischen Modulator schwach phasenmoduliert,

\omega \rightarrow \omega +\delta \omega ,\qquad \delta \omega =\sigma \cos(\Omega t),\qquad \sigma \ll \delta \omega _{1/2},

wobei $\delta \omega _{1/2}$ die Halbwertsbreite der Resonanzkurve ist. Das modulierte Licht tritt in den Resonator ein; die am Eingang reflektierte Leistung

I_{\text{R}}=I_{0}\,R(\omega +\delta \omega )

hängt von der frequenzabhängigen Reflektivität $R(\omega )$ ab und ist besonders empfindlich auf Abweichungen $\Delta \omega =\omega -\omega _{0}$ von der Resonanzfrequenz $\omega _{0}$ . Für Modulationsfrequenzen $\Omega \ll 1/\tau _{\text{Resonator}}$ kann die Antwort des Resonators als quasistationär beschrieben werden:

I_{\text{R}}\approx I_{0}\left[R(\omega _{0})+{\frac {\mathrm {d} R}{\mathrm {d} \omega }}\,\delta \omega (t)\right].

Die Reflektivität eines Fabry-Pérot-Resonators lautet mit $\Delta \omega =2\pi \Delta \nu$

R(\omega )={\frac {I_{\text{R}}}{I_{0}}}=1-{\frac {I_{\text{T}}}{I_{0}}}=1-{\frac {1}{1+F\sin ^{2}\left(\pi {\frac {\Delta \nu }{\Delta \nu _{\text{FSB}}}}\right)}}=1-{\frac {1}{1+F\sin ^{2}\!\left({\frac {\Delta \omega }{2\Delta \nu _{\text{FSB}}}}\right)}},

wobei $F$ der Finesse-Koeffizient und $\Delta \nu _{\text{FSB}}$ der freie Spektralbereich sind.

In der Resonanznähe ( $\Delta \omega \ll \Delta \nu _{\text{FSB}}$ ) gilt $\textstyle \sin({\frac {\Delta \omega }{2\Delta \nu _{\text{FSB}}}})\approx {\frac {\Delta \omega }{2\Delta \nu _{\text{FSB}}}}$ und $R(\omega )$ lässt sich mittels $\textstyle {\frac {1}{1+\varepsilon }}\approx 1-\varepsilon$ schreiben als

R(\omega )=1-{\frac {1}{1+F\sin ^{2}\left(\pi {\frac {\Delta \nu }{\Delta \nu _{\text{FSB}}}}\right)}}\approx 1-\left[1-F\left({\frac {\Delta \omega }{2\Delta \nu _{\text{FSB}}}}\right)^{2}\right]=F{\frac {(\omega -\omega _{0})^{2}}{4\Delta \nu _{\text{FSB}}^{2}}}

Mit dem Finesse-Koeffizienten $\textstyle F={\frac {4{\mathcal {F}}^{2}}{\pi ^{2}}}$ und dem Zusammenhang der Linienbreite $\delta \nu _{1/2}$ mit der Finesse $\textstyle {\mathcal {F}}={\frac {\Delta \nu _{\text{FSB}}}{\delta \nu _{1/2}}}=2\pi {\frac {\Delta \nu _{\text{FSB}}}{\delta \omega _{1/2}}}$ bzw. $\textstyle {\frac {\mathcal {F}}{\Delta \nu _{\text{FSB}}}}={\frac {2\pi }{\delta \omega _{1/2}}}$ , lautet die Reflektivität:

R(\omega )={\frac {4{\mathcal {F}}^{2}}{\pi ^{2}}}{\frac {(\omega -\omega _{0})^{2}}{4\Delta \nu _{\text{FSB}}^{2}}}={\frac {1}{\pi ^{2}}}\left({\frac {2\pi }{\delta \omega _{1/2}}}\right)^{2}(\omega -\omega _{0})^{2}={\frac {4(\omega -\omega _{0})^{2}}{(\delta \omega _{1/2})^{2}}}

Somit gilt für die Ableitung:

{\frac {\mathrm {d} R}{\mathrm {d} \omega }}\approx {\frac {8(\omega -\omega _{0})}{(\delta \omega _{1/2})^{2}}}.

Damit folgt für die reflektierte Intensität:

I_{\text{R}}\approx I_{0}\left[R(\omega _{0})+{\frac {8(\omega -\omega _{0})}{(\delta \omega _{1/2})^{2}}}\,\sigma \cos(\Omega t)\right].

Der modulierte Anteil ist proportional zur Frequenzabweichung $\omega -\omega _{0}$ und liefert damit ein empfindliches Fehlersignal.

Fehlersignal und Rückkopplung: Das reflektierte Licht wird von einem Photodetektor registriert, der den Wechselstromanteil extrahiert. Dessen Amplitude ist direkt proportional zur Frequenzabweichung und treibt eine Rückkopplungsschleife, welche die Laserfrequenz aktiv auf die Resonanzfrequenz $\omega _{0}$ verriegelt.

Anwendung: Die PDH-Technik wurde von Ronald Drever für Gravitationswellendetektoren entwickelt, basierend auf Arbeiten von Robert Pound, und später von John Lewis Hall realisiert. Heute ist sie ein Standardverfahren für hochpräzise Frequenzstabilisierung in der Laserphysik.^[43]

Einsatz im Gravitationswellendetektor aLIGO

Der Advanced LIGO-Gravitationswellendetektor (aLIGO) ist ein hochempfindliches Michelson-Interferometer mit zwei senkrecht zueinander stehenden Armen von jeweils $L\approx 4\,\mathrm {km}$ Länge. Eine durchlaufende Gravitationswelle wirkt als Quadrupolstörung, d. h., ein Arm wird um $\Delta L$ gedehnt, während der andere um denselben Betrag verkürzt wird. Diese Längenänderung erzeugt eine Phasendifferenz der Teilstrahlen, sodass die Ausgangsintensität $I_{\text{aus}}$ in Abhängigkeit von der Eingangsintensität $I_{\text{ein}}$ durch^[44]

I_{\text{aus}}=I_{\text{ein}}\,\sin ^{2}\!{\bigl (}2k\,\Delta L{\bigr )},\qquad k={\tfrac {2\pi }{\lambda _{\text{Laser}}}},\ \lambda _{\text{Laser}}=1.064\,\mathrm {nm}

gegeben ist. Die durch eine Gravitationswelle induzierte dimensionslose Dehnung

h={\frac {\Delta L}{L}}

ist extrem klein ( $h<10^{-21}$ ), sodass selbst bei Kilometerskalen nur Längenänderungen im Bereich von $10^{-18}\,\mathrm {m}$ entstehen. Um ein messbares Signal zu erzeugen, muss die effektive optische Weglänge daher erheblich vergrößert werden. Gleichzeitig muss die Lichtlaufzeit durch den Resonator kürzer sein als die charakteristische Zeitänderung der Gravitationswelle. Bei einer typischen Frequenz von $f\approx 100\,\mathrm {Hz}$ beträgt die Periodendauer $T=10\,\mathrm {ms}$ . Während einer halben Periode ( $T/2=5\,\mathrm {ms}$ ), in der ein Interferometerarm gedehnt und der andere gestaucht wird, legt das Licht eine Strecke von etwa $c\cdot T/2\approx 1.500\,\mathrm {km}$ zurück. Die Abschätzung zeigt, dass für Gravitationswellen mit einer Frequenz von etwa $100\,\mathrm {Hz}$ eine effektive Armlänge von rund $750\,\mathrm {km}$ erforderlich wäre, da das Licht auf dem Hin- und Rückweg den Arm zweimal durchläuft.^[45]

Solche Dimensionen sind auf der Erde jedoch technisch nicht realisierbar. Um dennoch eine vergleichbare optische Weglänge zu erreichen, nutzt aLIGO in jedem Arm Fabry-Pérot-Resonatoren. In diesen läuft das Licht durch vielfache Reflexionen zwischen Eingangsspiegel (Input Test Masse – ITM) und Ausgangsspiegel (End Test Masse – ETM) hunderte Male hin- und her, wodurch sich der effektive Armpfad stark verlängert.

Die Armresonatoren sind nahezu konzentrische Fabry-Pérot-Systeme, da die Spiegel sphärisch gekrümmt sind mit Radien^[46] von $R_{\text{ITM}}\approx 1.934\,\mathrm {m}$ und $R_{\text{ETM}}\approx 2.245\,\mathrm {m}$ . Damit sind sie halb so lang wie der Resonatorabstand $L=3.994{,}5\,\mathrm {m}$ , etwas weniger als die nominellen $4\,\mathrm {km}$ , um konstruktive Details wie Aufhängung und thermische Längenänderungen zu berücksichtigen. Da die Krümmungsradien der Spiegel annähernd halb so lang wie der Spiegelabstand sind, handelt es sich bei aLIGO um einen konzentrischen Fabry-Pérot-Resonator. Somit kann sich ein gaußförmiger Strahl als Eigenmode ausbilden, da seine Phasenfront ebenfalls sphärisch ist. Resonanz tritt auf, wenn zwei Bedingungen gleichzeitig erfüllt sind:^[47]

Geometrische Bedingung: Die Krümmungsradien der Wellenfront des Strahls stimmen an den Spiegelpositionen exakt mit den Krümmungsradien der Spiegel überein. Dabei sind auch Lage und Größe der Strahltaille konsistent gewählt. Mit den Resonatorparametern $g_{1}=1-L/R_{\text{ITM}}=-{\text{1,0654}}$ und $g_{2}=1-L/R_{\text{ETM}}=-{\text{0,7793}}$ gilt für den Fokusabstand des Eingangsspiegels $z_{1}=-{\text{1.834,2 m}}$ und des Ausgangsspiegels $z_{2}={\text{2.160,3 m}}$ . Die Rayleigh-Länge ist $z_{\text{R}}={\text{427,8 m}}$ . Das Produkt aus den Resonator-g-Parametern^[46] beträgt $g_{1}g_{2}={\text{0,83}}$ und nähert sich damit der Stabilitätsgrenze von $g_{1}g_{2}\rightarrow 1$ . Der Strahlradius am Eingangsspiegel ist $w(z_{1})={\text{5,3 cm}}$ und am Ausgangsspiegel $w(z_{1})={\text{6,2 cm}}$ .
Longitudinale Resonanzbedingung: Die optische Weglänge des Hohlraums muss ein ganzzahliges Vielfaches von $\textstyle {\frac {\lambda }{2}}$ sein, damit stehende Wellen ausgebildet werden können.

Die optische Finesse der Armresonatoren beträgt

{\mathcal {F}}={\frac {\pi {\sqrt {r_{1}r_{2}}}}{1-r_{1}r_{2}}}\approx 205,

mit den Amplitudenreflektivitäten $r_{1}=0{,}984886$ (ITM) und $r_{2}=0{,}999985$ (ETM). Sie gibt die effektive Anzahl der interferierenden Partialwellen im Resonator an.^[46] Dies entspricht auch der Anzahl $N$ der Umläufe einer Welle, bis sie aus einem der Spiegel austritt. Dabei erhöht sich die optische Weglänge von $4\,\mathrm {km}$ auf etwa $800\,\mathrm {km}$ . Damit verbessert sich die Phasenempfindlichkeit von bisher $2k\Delta L$ auf $N\cdot 2k\Delta L$ . Somit verstärkt die Mehrfachdurchstrahlung die Empfindlichkeit des Interferometers gegenüber Längenänderungen um etwa den Faktor $N$ , der etwa 200 beträgt. Diese Mehrfachdurchläufe haben zwei zentrale Effekte:^[46]

Sie erhöhen die gespeicherte Laserleistung im Interferometer und damit das Signal-Rausch-Verhältnis.
Sie verstärken die Phasenempfindlichkeit des Interferometers gegenüber winzigen Längenänderungen um den Faktor $N$ . Dadurch ist aLIGO in der Lage, Gravitationswellen mit Dehnungen im Bereich $h\sim 10^{-22}$ nachzuweisen.

Das Fabry-Pérot-Interferometer wird auch angewendet:

in modifizierter Form in der Forschung als Virtually Imaged Phased Array für spektrometrische Anwendungen oder in der Nachrichtentechnik zum Wellenlängenmultiplexen
als mechanischer Modulator für monochromatische Strahlung, beispielsweise eines CO₂-Lasers bei einer Wellenlänge von 10,6 µm (modulierbare Strahlleistung bis über 100 Watt)

Praktische Aspekte des Fabry-Pérot-Interferometers

Für den erfolgreichen Einsatz eines Fabry-Pérot-Interferometers sind neben der theoretischen Funktionsweise insbesondere praktische Aspekte entscheidend. Dazu zählen die optische Qualität der Spiegel, die mechanische Stabilität des Aufbaus, die Justierung der Resonatorparameter und die Minimierung externer Störungen.^[48]

Spiegelqualität und Planparallelität – Die beiden Spiegel des Fabry-Pérot-Resonators müssen eine extrem hohe optische Qualität aufweisen. Bereits kleinste konvexe oder konkave Abweichungen der Oberflächen führen zu erhöhten Beugungsverlusten und reduzieren die Finesse drastisch. Um die erforderliche Finesse zu erreichen, werden Spiegeloberflächen mit einer Ebenheit von besser als $\lambda /50$ gefertigt. Ebenso entscheidend ist die exakte Parallelität der Spiegel, da selbst geringste Winkelabweichungen die Resonanzbedingungen verändern.
Verwendung gekrümmter Spiegel zur Stabilisierung – Zur Unterdrückung von Instabilitäten und zur Reduzierung von Diffraktionseffekten werden oft leicht gekrümmte Spiegel eingesetzt. Diese verbessern die Modenselektion und tragen zur Stabilisierung der Resonatorgeometrie bei.
Feineinstellung des Spiegelabstands – Die Resonanzfrequenzen des Interferometers sind äußerst empfindlich gegenüber Änderungen des Spiegelabstands. Für die präzise Feineinstellung werden piezoelektrische Elemente verwendet, die eine kontrollierte Variation des Abstands im Bereich von Nanometern ermöglichen. Dies erlaubt sowohl die Grobjustierung als auch die kontinuierliche Abstimmung des Interferometers.
Einfluss externer Störungen – Mechanische Vibrationen und Temperaturschwankungen wirken sich direkt auf die Stabilität der Resonanz aus. Temperaturdrift verändert den Spiegelabstand und damit die Resonanzfrequenzen, während Vibrationen zu Fluktuationen in der optischen Weglänge führen. Daher ist eine thermische Stabilisierung und die Entkopplung von mechanischen Erschütterungen unerlässlich.
Leistungsaspekte im Resonator – Mit steigender Finesse wächst bei Resonanz die Feldstärke im Resonator stark an und kann die einfallende Lichtintensität um Größenordnungen übersteigen. Dies muss bei leistungskritischen Anwendungen wie Lasermodulatoren oder hochleistungsfähigen Resonatoren berücksichtigt werden.

Literatur

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Einzelnachweise

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↑ Charles Fabry, Alfred Pérot: Mesures de longueurs d'onde en valeur absolue, spectre solaire et spectre du fer. Gauthier-Villars, Paris 1902.
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↑ Wolfgang Demtröder: Laser Spectroscopy - Basic Concepts and Instrumentation. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 1982, ISBN 3-540-10343-0, S. 156.
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↑ ^a ^b Kip S. Thorne, Roger D. Blandford: Modern Classical Physics - Optics, Fluids, Plasmas, Elasticity, Relativity, and Statistical Physics. 1. Auflage. Princeton University Press, Princeton 2017, ISBN 0-691-15902-5, S. 497.
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Weblinks

Commons: Fabry-Pérot-Interferometer – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

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[2] J.C.D. Brand: Lines of Light. Routledge-Verlag, New York 2017, ISBN 978-1-351-43516-1, S. 57.

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[Siegman-761-27] Anthony E. Siegman: Lasers -. 1. Auflage. University Science Books, Mill Valley 1986, ISBN 978-0-935702-11-8, S. 761.

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[36] Jürgen Banisch: Die Sonne - Eine Einführung für Hobby-Astronomen. 2. Auflage. Oculum, Erlangen 2014, ISBN 978-3-938469-68-2, S. 156.

[cloudynights_480925-37] BYoesle: Everything you always wanted to know about Fabry Perot etalons but were afraid to ask. 2. November 2014, abgerufen am 30. August 2025.

[38] Wolfgang Demtröder: Laser Spectroscopy - Basic Concepts and Instrumentation. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 1982, ISBN 3-540-10343-0, S. 157.

[39] Jürgen Banisch: Die Sonne - Eine Einführung für Hobby-Astronomen. 2. Auflage. Oculum, Erlangen 2014, ISBN 978-3-938469-68-2, S. 158.

[Thorne496-40] Kip S. Thorne, Roger D. Blandford: Modern Classical Physics - Optics, Fluids, Plasmas, Elasticity, Relativity, and Statistical Physics. 1. Auflage. Princeton University Press, Princeton 2017, ISBN 0-691-15902-5, S. 496.

[41] Fritz Kneubühl, Markus Werner Sigrist: Laser. 2. Auflage. Teubner, Stuttgart 1988, ISBN 978-3-322-93875-6, S. 320.

[42] Fritz Kneubühl, Markus Werner Sigrist: Laser. 2. Auflage. Teubner, Stuttgart 1988, ISBN 978-3-322-93875-6, S. 328.

[Thorne-497-43] Kip S. Thorne, Roger D. Blandford: Modern Classical Physics - Optics, Fluids, Plasmas, Elasticity, Relativity, and Statistical Physics. 1. Auflage. Princeton University Press, Princeton 2017, ISBN 0-691-15902-5, S. 497.

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[45] Hartmut Grote: Gravitationswellen - Geschichte einer Jahrhundertentdeckung. 1. Auflage. C. H. Beck, München 2018, ISBN 978-3-406-71941-7, S. 46.

[LIGO-P1400177-v5-46] LIGO-P1400177-v5: Advanced LIGO. LIGO Scientific Collaboration, August 2014, abgerufen am 4. September 2025.

[47] Kip S. Thorne, Roger D. Blandford: Modern Classical Physics - Optics, Fluids, Plasmas, Elasticity, Relativity, and Statistical Physics. 1. Auflage. Princeton University Press, Princeton 2017, ISBN 0-691-15902-5, S. 490.

[48] Fritz Kneubühl, Markus Werner Sigrist: Laser. 2. Auflage. Teubner, Stuttgart 1988, ISBN 978-3-322-93875-6, S. 77.

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