Das Euler-Produkt ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Analysis und insbesondere der Zahlentheorie. Es ist eine Darstellung einer Dirichlet-Reihe mittels eines unendlichen Produktes indiziert über die Menge der Primzahlen. Benannt ist das Euler-Produkt nach Leonhard Euler, der das unendliche Produkt bezüglich der Dirichlet-Reihe der Riemannschen Zeta-Funktion untersuchte.^[1]

Sei ${\displaystyle f}$ eine multiplikative zahlentheoretische Funktion und ${\displaystyle \textstyle F(s):=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)}{n^{s}}}}$ die entsprechende Dirichlet-Reihe von ${\displaystyle f}$. Falls diese Reihe für eine komplexe Zahl ${\displaystyle s}$ absolut konvergiert, dann gilt

${\displaystyle F(s)=\prod _{p\ {\rm {prim}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {f(p^{k})}{p^{ks}}}}$.

Im Falle einer vollständig multiplikativen Funktion ${\displaystyle f}$ vereinfacht sich dieses Produkt zu

${\displaystyle F(s)=\prod _{p\ \operatorname {prim} }{\frac {1}{1-f(p)p^{-s}}}}$.

Diese unendlichen Produkte über alle Primzahlen heißen Euler-Produkte.^[2] Der Wert dieser Produkte ist definiert als Grenzwert ${\displaystyle \textstyle \lim _{N\to \infty }P_{N}}$ der Folge endlicher Produkte ${\displaystyle P_{N}}$, die entsteht, indem man das Produkt nur auf Primzahlen unterhalb einer Schranke N erstreckt.

Es gibt mehrere Beweise für die Gültigkeit des Euler-Produktes.

Zunächst ist klar, dass mit absoluter Konvergenz der Reihe ${\displaystyle F(s)}$ auch jeder Faktor ${\displaystyle \textstyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {f(p^{k})}{p^{ks}}}}$ absolut konvergiert. Es folgt, dass für jedes ${\displaystyle N}$ das Partialprodukt

${\displaystyle F_{N}(s)=\prod _{p\leq N \atop p\ {\text{Primzahl}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {f(p^{k})}{p^{ks}}}}$

existiert. Damit sieht man sogleich mit der Cauchy-Produktformel und der aufsteigenden Folge der Primzahlen ${\displaystyle 2=p_{1}<p_{2}<\cdots <p_{j}\leq N<p_{j+1}}$:

${\displaystyle F_{N}(s)=\sum _{k_{1}=0}^{\infty }\cdots \sum _{k_{j}=0}^{\infty }{\frac {f(p_{1}^{k_{1}})\cdots f(p_{j}^{k_{j}})}{(p_{1}^{k_{1}}\cdots p_{j}^{k_{j}})^{s}}}=\sum _{k_{1}=0}^{\infty }\cdots \sum _{k_{j}=0}^{\infty }{\frac {f(p_{1}^{k_{1}}\cdots p_{j}^{k_{j}})}{(p_{1}^{k_{1}}\cdots p_{j}^{k_{j}})^{s}}}.}$

Im zweiten Schritt wurde die Multiplikativität von ${\displaystyle f}$ benutzt. Damit folgt

${\displaystyle F_{N}(s)=\sum _{n\leq N}{\frac {f(n)}{n^{s}}}+\sum _{n>N}{'}{\frac {f(n)}{n^{s}}},}$

wobei der Strich an der zweiten Summe anzeigt, dass nur über alle ${\displaystyle n>N}$ summiert wird, deren Primteiler sämtlich ${\displaystyle \leq N}$ sind. Damit folgt: für jedes ${\displaystyle \varepsilon >0}$ existiert ein ${\displaystyle N>0}$ mit

${\displaystyle |F(s)-F_{N}(s)|\leq \sum _{n=N+1}^{\infty }\left|{\frac {f(n)}{n^{s}}}\right|<\varepsilon .}$

Somit konvergiert die Folge der Partialprodukte ${\displaystyle F_{N}(s)}$ für jedes ${\displaystyle s}$ im Bereich der absoluten Konvergenz gegen ${\displaystyle F(s)}$ (sogar gleichmäßig auf kompakten Teilmengen) und der Satz ist gezeigt.

Im Fall ${\displaystyle f(n)=1}$ für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ist ${\displaystyle f}$ offenbar vollständig multiplikativ. Es gilt demnach für alle ${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>1}$

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\prod _{p\ \mathrm {prim} }{\frac {1}{1-{\frac {1}{p^{s}}}}}.}$

Die Funktion ${\displaystyle \zeta (s)}$ ist dabei auch bekannt als Riemannsche Zeta-Funktion.

Die Idee dieses Herleitungsweges wurde bereits von Euler verwendet. Man nehme eine Teilmenge ${\displaystyle M\subset \mathbb {N} }$ und eine Primzahl ${\displaystyle p}$, so dass ${\displaystyle 1\in M}$ und ${\displaystyle pM\subset M}$. Ist also ${\displaystyle m\in M}$, so folgt ebenfalls ${\displaystyle pm\in M}$. Dann gilt ganz allgemein für ${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>1}$

${\displaystyle \left(1-{\frac {1}{p^{s}}}\right)\sum _{m\in M}{\frac {1}{m^{s}}}=\sum _{m\in M}{\frac {1}{m^{s}}}-\sum _{m\in M}{\frac {1}{(pm)^{s}}}=\sum _{m\in M\setminus pM}{\frac {1}{m^{s}}}.}$

Bezeichnen wir jetzt ${\displaystyle p_{n}}$ als die Folge der Primzahlen in aufsteigender Folge, und ${\displaystyle M_{k}}$ als die Menge der Zahlen, die nicht durch ${\displaystyle p_{1},\dots ,p_{k}}$ teilbar sind (z. B. ${\displaystyle M_{1}=\{1,3,5,7,\dots \}}$). Setze zudem ${\displaystyle M_{0}:=\mathbb {N} }$. Dann hat jedes ${\displaystyle M_{k}}$ die obere Eigenschaft mit der nächsten Primzahl ${\displaystyle p_{k+1}}$ und es gilt ${\displaystyle M_{k+1}=M_{k}\setminus p_{k+1}M_{k}}$. Also:

${\displaystyle \left(1-{\frac {1}{p_{k+1}^{s}}}\right)\sum _{m\in M_{k}}{\frac {1}{m^{s}}}=\sum _{m\in M_{k+1}}{\frac {1}{m^{s}}}}$

und damit induktiv

${\displaystyle \left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{3^{s}}}\right)\cdots \left(1-{\frac {1}{p_{k}^{s}}}\right)\zeta (s)=\sum _{m\in M_{k+1}}{\frac {1}{m^{s}}}.}$

Bildet man auf beiden Seiten den Limes, ergibt sich

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{3^{s}}}\right)\cdots \left(1-{\frac {1}{p_{k}^{s}}}\right)\zeta (s)=\lim _{k\to \infty }\sum _{m\in M_{k+1}}{\frac {1}{m^{s}}}=1,}$

da die 1 die einzige natürliche Zahl ist, die durch keine Primzahl teilbar ist.

• Eric W. Weisstein: Euler Product. In: MathWorld (englisch).
• S.A. Stepanov: Euler product. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org). Vorlage:EoM/id

1. ↑ Euler-Produkt. In: Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. 1. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Mannheim/Heidelberg 2000, ISBN 3-8274-0439-8. 
2. ↑ Rainer Schulze-Pillot: Einführung in Algebra und Zahlentheorie. 2. korrigierte und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-79569-8, S. 53.