Das Bochner-Integral, benannt nach Salomon Bochner, ist eine Verallgemeinerung des Lebesgue-Integrals auf Banachraum-wertige Funktionen. Das Integral lässt sich aber auch auf lokalkonvexe Räume verallgemeinern.

Es seien ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )}$ ein ${\displaystyle \sigma }$-endlicher, vollständiger Maßraum und ${\displaystyle (B,\|\cdot \|)}$ ein Banachraum.

Das Bochner-Integral ${\displaystyle \int _{\Omega }f\,{\rm {d}}\mu }$ einer Funktion ${\displaystyle f\colon \Omega \to B}$ ist nun folgendermaßen definiert:

Als einfache Funktion bezeichnen wir Funktionen der Gestalt

${\displaystyle s(x)=\sum _{i=1}^{m}\alpha _{i}\chi _{X_{i}}(x)}$

mit Faktoren ${\displaystyle \alpha _{i}\in B}$ und messbaren Mengen ${\displaystyle X_{i}\in {\mathcal {A}}}$, wobei ${\displaystyle \chi _{X_{i}}}$ deren Indikatorfunktion bezeichnet. Das Integral einer einfachen Funktion ist nun auf naheliegende Weise definiert:

${\displaystyle \int _{\Omega }s\,{\rm {d}}\mu :=\sum _{i=1}^{m}\alpha _{i}\mu (X_{i})}$,

wobei dies wohldefiniert, also unabhängig von der konkreten Zerlegung von ${\displaystyle s}$ ist.^[1]

Eine Funktion ${\displaystyle f\colon \Omega \rightarrow B}$ heißt ${\displaystyle \mu }$-messbar oder Bochner-messbar, wenn es eine Folge ${\displaystyle (s_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ einfacher Funktionen gibt, so dass ${\displaystyle \textstyle \lim _{n\to \infty }s_{n}(x)=f(x)}$ für ${\displaystyle \mu }$-fast alle ${\displaystyle x\in \Omega }$ gilt.^[2]

Eine ${\displaystyle \mu }$-messbare Funktion ${\displaystyle f\colon \Omega \rightarrow B}$ heißt Bochner-integrierbar^[3], falls es eine Folge ${\displaystyle (s_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ einfacher Funktionen gibt, so dass

• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }s_{n}(x)=f(x)}$ für ${\displaystyle \mu }$-fast alle ${\displaystyle x\in \Omega }$ gilt und
• zu jedem ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ein ${\displaystyle n_{0}=n_{0}(\varepsilon )\in \mathbb {N} }$ existiert mit

${\displaystyle \int _{\Omega }\|s_{n}-s_{k}\|{\rm {d}}\mu <\varepsilon }$ für alle ${\displaystyle n,k\geq n_{0}}$.

In diesem Fall ist

${\displaystyle \int _{\Omega }f\,{\rm {d}}\mu :=\lim _{n\to \infty }\int _{\Omega }s_{n}\,{\rm {d}}\mu }$

wohldefiniert, das heißt unabhängig von der Wahl der konkreten Folge ${\displaystyle (s_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ mit obigen Eigenschaften.^[4] Falls ${\displaystyle M\in {\mathcal {A}}}$ und ${\displaystyle f\colon M\rightarrow B}$, so schreibt man

${\displaystyle \int _{M}f{\rm {d}}\mu :=\int _{\Omega }{\tilde {f}}{\rm {d}}\mu }$ mit ${\displaystyle {\tilde {f}}(x):=\left\{{\begin{array}{ll}f(x)\ ,&{\rm {falls}}\ x\in M\ ,\\0\ ,&{\rm {falls}}\ x\in \Omega \setminus M,\\\end{array}}\right.}$

sofern ${\displaystyle {\tilde {f}}}$ Bochner-integrierbar ist.^[5]

Der folgende auf Billy James Pettis zurückgehende Satz charakterisiert die ${\displaystyle \mu }$-Messbarkeit:

Die Funktion ${\displaystyle f\colon \Omega \to B}$ ist genau dann ${\displaystyle \mu }$-messbar, wenn die folgenden beiden Bedingungen erfüllt sind:

• Für jedes stetige lineare Funktional ${\displaystyle \phi \in B'}$ ist ${\displaystyle \phi \circ f\colon \Omega \to {\mathbb {K} }}$ ${\displaystyle \mu }$-messbar.
• Es gibt eine ${\displaystyle \mu }$-Nullmenge ${\displaystyle N\subset \Omega }$, so dass ${\displaystyle f(\Omega \setminus N)\subset B}$ separabel bzgl. der Normtopologie ist.

Ist ${\displaystyle B}$ ein separabler Banachraum, so ist die zweite Bedingung automatisch erfüllt und damit entbehrlich. Insgesamt ist die ${\displaystyle \mu }$-Messbarkeit ${\displaystyle B}$-wertiger Funktionen mit diesem Satz auf die ${\displaystyle \mu }$-Messbarkeit skalarer Funktionen zurückgeführt.

Die folgende von Bochner gefundene äquivalente Charakterisierung Bochner-integrierbarer Funktionen erlaubt es, einige klassische Resultate der lebesgueschen Integrationstheorie wie z. B. den Satz von der majorisierten Konvergenz auf das Bochner-Integral zu übertragen:

Eine ${\displaystyle \mu }$-messbare Funktion ${\displaystyle f\colon \Omega \to B}$ ist genau dann Bochner-integrierbar, wenn ${\displaystyle \|f\|:\Omega \to \mathbb {R} }$ Lebesgue-integrierbar ist.

In diesem Abschnitt ist ${\displaystyle B}$ ein Banachraum und ${\displaystyle f,g\colon \Omega \rightarrow B}$ sind integrierbare Funktionen.

Das Bochner-Integral ist linear, das heißt, für Bochner-integrierbare Funktionen ${\displaystyle f,g\colon \Omega \rightarrow B}$ und beliebige ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {K} }$ ist auch ${\displaystyle \alpha f+\beta g}$ integrierbar, und es gilt:

${\displaystyle \int _{\Omega }(\alpha f+\beta g)\,\mathrm {d} \mu =\alpha \int _{\Omega }f\,\mathrm {d} \mu +\beta \int _{\Omega }g\,\mathrm {d} \mu }$.

Es sei ${\displaystyle D}$ ein Banachraum und ${\displaystyle T\in L(B,D)}$ ein stetiger linearer Operator. Dann ist ${\displaystyle Tf\colon \Omega \to D}$ eine integrierbare Funktion und es gilt^[6]

${\displaystyle T\left(\int _{\Omega }f(x)\mathrm {d} \mu (x)\right)=\int _{\Omega }T(f(x))\mathrm {d} \mu (x)}$.

Der Satz von Radon-Nikodým gilt für das Bochner-Integral im Allgemeinen nicht. Banachräume, für die dieser Satz gilt, bezeichnet man als Banachräume mit der Radon-Nikodym-Eigenschaft. Reflexive Räume besitzen stets die Radon-Nikodym-Eigenschaft.^[7]

Ist ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )}$ ein ${\displaystyle \sigma }$-endlicher, vollständiger Maßraum und ${\displaystyle (B,\|\cdot \|)}$ ein Banachraum, so nennt man für ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$ den Raum ${\displaystyle L^{p}(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu ,B)}$ der Bochner-integrierbaren Funktionen ${\displaystyle \Omega \rightarrow B}$ einen Bochner-Lebesgue-Raum, wobei wie üblich ${\displaystyle \mu }$-fast gleiche Funktionen identifiziert werden durch Äquivalenzklassen. Man erhält mit der Norm

${\displaystyle \|f\|_{p}:=\left(\int _{\Omega }\|f(\omega )\|^{p}\mathrm {d} \mu (\omega )\right)^{1/p},\quad 1\leq p<\infty }$

${\displaystyle \|f\|_{\infty }:=\mathrm {ess} \sup \|f(\omega )\|,\quad \quad p=\infty }$

einen Banachraum. Dieser lässt sich für ${\displaystyle p=1}$ wie folgt als Tensorprodukt beschreiben. Man rechnet nach, dass durch

${\displaystyle L^{1}(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )\times B\rightarrow L^{1}(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu ,B),\,(f,\alpha )\mapsto f(\cdot )\alpha }$

eine bilineare Abbildung gegeben ist, die einen isometrischen Isomorphismus

${\displaystyle L^{1}(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )\mathbin {{\hat {\otimes }}_{\pi }} B\cong L^{1}(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu ,B)}$

definiert, wobei ${\displaystyle {\hat {\otimes }}_{\pi }}$ das projektive Tensorprodukt bezeichne.^[8]

Es ist möglich das Bochner-Integral auf lokalkonvexe Räume zu erweitern, dies wurde 1975 von Wjatscheslaw Rybakow^[9], 1981 durch Chris Blondia^[10] und 2015 von Ralf Beckmann und Anton Deitmar gemacht^[11], wobei Beckmann und Deitmar den ursprünglichen Ansatz von Bochner für vektorwertige Integrale auf Netze erweiterten.

Die nachfolgende Definition stammt von Blondia:^[12]

Es seien ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )}$ ein ${\displaystyle \sigma }$-endlicher, vollständiger Maßraum. Weiter sei ${\displaystyle (X,{\mathcal {P}})}$ ein hausdorffscher lokalkonvexer Raum, der vollständig ist und dessen Topologie durch eine Familie von Seminormen ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ erzeugt wird. Eine Funktion ${\displaystyle f\colon \Omega \to X}$ heißt stark-integrierbar oder Bochner-integrierbar, wenn eine Folge ${\displaystyle (f_{n})}$ existiert, so dass

• ${\displaystyle f_{n}(\omega )\to f(\omega )}$ für ${\displaystyle \mu }$-fast alle ${\displaystyle \omega \in \Omega }$ gilt.
• ${\displaystyle p(f(\omega )-f_{n}(\omega ))\in L^{1}(\Omega ;\mathbb {R} )}$ für jedes ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ und alle Seminormen ${\displaystyle p\in {\mathcal {P}}}$, das heißt

${\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }\int _{\Omega }p(f(\omega )-f_{n}(\omega ))d\mu =0.}$

• ${\displaystyle \int _{A}f_{n}(\omega )d\mu }$ konvergiert für jede messbare Teilmenge ${\displaystyle A}$ von ${\displaystyle \Omega }$.

Beckmann und Deitmar verwenden den Begriff der Bochner-Approximierbarkeit für ${\displaystyle f\colon \Omega \to X}$ als Voraussetzung für die Bochner-Integrierbarkeit und geben eine Charakterisierung dieses Begriffs. Eine Funktion heißt Bochner-approximierbar falls ein Netz ${\displaystyle (s_{j})_{j\in J}}$ von einfachen Funktionen existiert, so dass für jede stetige Seminorm ${\displaystyle p}$ auf ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \int _{\Omega }p(f-s_{j})d\mu \to 0}$

gilt. Eine alternative Bedingung ohne den Begriff des Netzes lautet wie folgt: ${\displaystyle f}$ ist Bochner-approximierbar, falls für jede stetige Seminorm ${\displaystyle p}$ eine einfache Funktion ${\displaystyle s_{p}}$ mit der Eigenschaft

${\displaystyle \int _{\Omega }p(f-s_{p})d\mu <1}$

existiert.

Sie unterscheiden zwischen drei Fällen an Anforderungen an den lokalkonvexen Raum ${\displaystyle X}$^[13]

• ${\displaystyle X}$ ist vollständig
• ${\displaystyle X}$ ist quasivollständig und die Funktion ${\displaystyle f}$ ist beschränkt,
• ${\displaystyle X}$ ist quasivollständig und das Maß ist endlich ${\displaystyle \mu (\Omega )<\infty }$.

• Birkhoff-Integral
• Pettis-Integral

• Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis. Band 3. Birkhäuser, Basel u. a. 2001, ISBN 3-7643-6613-3.
• Malempati M. Rao: Measure Theory and Integration (= Pure and Applied Mathematics. A Program of Monographs, Textbooks, and Lecture Notes. Bd. 265). 2nd edition, revised and expanded. Dekker, New York NY u. a. 2004, ISBN 0-8247-5401-8, S. 505 ff.

• Salomon Bochner: Integration von Funktionen, deren Werte die Elemente eines Vektorraumes sind. (PDF; 799 kB). In: Fundamenta Mathematicae. Bd. 20, 1933, S. 262–276.
• V. I. Sobolev: Bochner integral. In: Encyclopaedia of Mathematics (englisch).
• Integrale vektorwertiger Funktionen. In: Matroids Matheplanet.

1. ↑ Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis. Band 3. 2001, Bemerkung X.2.1 (a).
2. ↑ Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis. Band 3. 2001, S. 65.
3. ↑ Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis. Band 3. 2001, S. 87.
4. ↑ Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis. Band 3. 2001, Korollar X.2.7.
5. ↑ Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis. Band 3. 2001, S. 94.
6. ↑ Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis. Band 3. 2001, S. 92.
7. ↑ Joseph Diestel, John Jerry Uhl: Vector Measures (= Mathematical Surveys. Bd. 15). American Mathematical Society, Providence RI 1977, ISBN 0-8218-1515-6, Corollary III.2.13.
8. ↑ Raymond A. Ryan: Introduction to Tensor Products of Banach Spaces, Springer-Verlag 2002, ISBN 1-85233-437-1, Beispiel 2.19
9. ↑ Vyacheslav I. Rybakov: A generalization of the Bochner integral to locally convex spaces. In: Mathematical Notes of the Academy of Sciences of the USSR. Band 18, 1975, S. 933–938, doi:10.1007/BF01153047. 
10. ↑ Chris Blondia: Integration in locally convex spaces. In: Simon Stevin, (A Quarterly Journal of Pure and Applied Math.). Band 55, Nr. 3, 1981, S. 81–102. 
11. ↑ Ralf Beckmann und Anton Deitmar: Two applications of nets. In: Ann. Funct. Anal. Band 6, Nr. 3, 2015, S. 176 - 190, doi:10.15352/afa/06-3-15. 
12. ↑ Valeria Marraffa: A Birkhoff Type Integral and the Bourgain Property in a Locally Convex Space. In: Michigan State University Press (Hrsg.): Real Analysis Exchange. Band 32, Nr. 2, 2006, S. 410 (projecteuclid.org). 
13. ↑ Ralf Beckmann und Anton Deitmar: Two applications of nets. In: Ann. Funct. Anal. Band 6, Nr. 3, 2015, S. 183, doi:10.15352/afa/06-3-15 (Theorem 1.15 und Theorem 1.16).